2026秋高三数学复习 函数与导数：基本不等式(原卷版)

基本不等式专项训练

考点目录

利用基本不等式求代数式最值利用基本不等式求解三角形中的最值问题

利用基本不等式求函数中的最值问题利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题

基本不等式的实际应用

考点一利用基本不等式求代数式最值

1．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知a,b0且ab=1，则a+1b+1的最小值为（）

A．4B．6C．22D．8

2

a+312b2

2．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知a0，b0，则+的最小值为（）

b2a

A．4B．6C．12D．24

14

3．（24-25高二下·江西九江·期末）设0<m<1，若+³k2-8k恒成立，则k的最小值为（）

m1-m

A．9B．8C．－1D．－2

4．（25-26高二上·河北衡水·开学考试）已知正数a,b满足a9´b27=3，则3a+2b的最小值为（）

A．9B．12C．18D．24

2024

5．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）若x0，则x+³a恒成立的一个充分条件是（）

x

A．a80B．a<80C．a100D．a<100

6．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）已知x，y为正实数，x+y=4，则（）

A．xy的最大值为4B．x+y的最小值为22

34

C．+的最小值为3D．x2+1y2+1的最小值为16

xy

7．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习·多选）已知正实数a，b满足a+b³2，则（）

A．ab³1B．a2+2³2b

11

C．+³2D．2a+2b³4

ab

8．（25-26高二上·云南·开学考试·多选）已知正数a，b满足a+2b=2ab-3，则（）

æ1ö9

A．b的取值范围是ç,+¥÷B．ab的最小值为

è2ø2

111

C．a+的最小值为2D．2a+b的最小值

a2

y2x+y

9．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知x0，y0，则+的最小值为.

2xy

b1

10．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知a0，b0，且a+b=1，则+的最小值为．

ab

22

11．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若实数x,y满足x+1-xy+4-y=2，则4x+2y-1的最小值

为．

12．（25-26高三上·陕西·阶段练习）已知a0,b0，且2a+3b=3．

(1)求ab的最大值；

1

(2)求a-的最大值；

6b

23

(3)求+的最小值．

ab+1

考点二利用基本不等式求解三角形中的最值问题

1．（25-26高二上·黑龙江·开学考试）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a2=b2+c2，则A

的最大值为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

1111

2．（25-26高二上·安徽·阶段练习）在锐角VABC中，已知sin2B=cos2A-cos2C，则++的最小值

2tanAtanBtanC

为（）

1313

A．3B．C．D．13

23

3．（25-26高三上·山东济南·开学考试·多选）已知a,b,c分别为VABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是

（）

A．若acosA=bcosB，则VABC为等腰三角形

B．在锐角VABC中，不等式sinAcosB恒成立

π

C．若B=,a=23，且VABC有两解，则b的取值范围是2,23

3

D．若ÐABC=120°，ÐABC的平分线交AC于点D，BD=1，则4a+c的最小值为9

4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）在VABC中，D为AC的中点，且BD=2，若AB=AC，则当BC×CD取得

最大值时，cosA=.

2π

5．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=，角A的平

3

分线交BC边于点D.若AD=1，则4b+c的最小值为.

a-bsinC-sinB

6．（25-26高三上·山东·开学考试）已知VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=

csinA+sinB

(1)求A；

(2)若VABC的面积为43，且BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．

∠

7．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且3a-3bcosC=c.

(1)求cosB；

(2)若VABC的面积为32，求b的最小值.

8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且VABC的周长为

3bsinC

sinB+sinC-sinA

(1)求角A；

(2)若a=3，求VABC面积的最大值．

9．（25-26高三上·河北·开学考试）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

3sinCsinA+cosCsinA=sinB+sinC.

(1)求角A；

(2)若VABC边BC上的中线AD的长度为23，求VABC面积的最大值．

10．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形ABC中，记a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

3

asinB=c．

2

11

(1)求+的值；

tanAtanB

(2)求角C的最大值．

11．（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，O为其外心，且满足

uuuruuuruuuruuur

AO×BC=BO×CA.

(1)证明：a2+b2=2c2；

(2)求角C的最大值.

12．（25-26高二上·山东日照·开学考试）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足c-2bcosA=b．

(1)求证：A=2B；

3

(2)若cosB=,a+4=2c，求b；

4

3b+c

(3)求的最小值．

bcosB

13．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知在VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足

tanB+tanC2a

=.

tanBb

(1)求角C的大小；

(2)若VABC的外接圆半径为1，求VABC面积的最大值.

考点三利用基本不等式求函数中的最值问题

1．（24-25高二下·浙江·阶段练习）设函数fx=x-a-blnx-1，其中a0,b0，若fx³0恒成立，则

a2+b2的最小值是（）

e2e2

A．B．C．e2D．2e2

24

x

2．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知x1,y1和x2,y2是函数y=2图象上的两点，则（）

y+yx1+x2

A．y+y³2x1+x2B．12£22

122

y+yx1+x2

C．yy³4x1-1+4x2-1+2x1+x2-1D．12³22

122

3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知m,n是正实数，若函数f(x)=ex-n的图象与g(x)=x+m的图象相切，

12

则+的最小值是（）

mn

A．22B．3+22C．1+2D．3

x

4．（24-25高二下·云南丽江·期末）若a1，设函数fx=a+x-4的零点为m，gx=logax+x-4的零点为

11

n，则+的取值范围（）

mn

æ7öæ9ö

A．ç,+¥÷B．1,+¥C．4,+¥D．ç,+¥÷

è2øè2ø

5．（25-26高三上·安徽·阶段练习·多选）下列函数中最小值为4的是（）

1

A．y=4lnx+B．y=2x+22-x

lnx

2x2+3

C．y=8+x+8-xD．y=

x2+2

x2

625-26··æö

．（高二上湖南益阳开学考试）直线ax+by-1=0a0,b0经过函数fx=log3ç÷-+x-1图

è4-xøx-2

21

象的对称中心，则+的最小值为.

ab

7．（24-25高三下·山东·阶段练习）设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，其中0<a<b<c，若f(x-1)×f(4-x)£0，求

2b4a

+的最小值．

ac

8．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数fx=ax（a0，且a¹1）.

(1)若f1=e，求函数fx在点ln2,fln2处的切线方程；

(2)已知0<a<1，若关于x的不等式f2mx£fx2+1fx+3在区间1,2上有解，求实数m的取值范围.

924-25··é2ù

．（高一下甘肃平凉开学考试）已知fx=logaë-x+2a+1x-2aû，（a0且a¹1）

(1)求函数fx的定义域A；

æ1ö

(2)若aç0,÷，函数fx的最小值为2，求a的值；

è2ø

(3)在（2）的条件下，存在xA，使得不等式41-x+41+x-3m-28£m2-x-2x成立，求m的取值范围．

1

10．（2025·四川自贡·三模）函数fx=2lnx-x+

x

(1)求fx的单调区间；

111

(2)设nN*，证明：ln2<++L+；

nn+12n-1

1133

(3)若x2x10，lnx1+2=lnx2+2，比较x1+x2与2的大小，并说明理由.

x1x2x2x1

11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数fx=ex+te-xtR.

(1)若曲线y=fx在x=0处的切线平行于直线x+y=0，求t的值以及函数fx的最小值；

a-ba+b

(2)证明：对一切的a，b0，a¹b，都有<；

lna-lnb2

(3)当t=0时，若曲线y=fx与曲线y2=2pxpe存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明：k<p.

考点四利用基本不等式求圆锥曲线中的最值问题

1．（2025·江西·模拟预测）已知l为抛物线y=x2的切线，且l交圆M:x2+(y-1)2=4于A,B两点，则AB的最大值

是（）

A．23B．13C．15D．4

2222

2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知圆C1：x+y=4和圆C2：x-2+y-2=4，若点

19

Pa,b(a0,b0)在两圆的公共弦上，则+的最小值为（）

ab

A．5B．6C．7D．8

x2y2

3．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知椭圆+=1，焦点是F1，F2，动点P在椭圆上，则cosÐF1PF2的

32

最小值（）

2111

A．B．C．D．

3236

22

424-25··xy

．（高二下上海杨浦期中）已知椭圆+=1ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆存在一点

a2b2

o

P，若ÐF1PF2=120，则椭圆的离心率取值范围为（）

é23ùæ1öé3öé13ù

A．ê,úB．ç,1÷C．ê,1÷D．ê,ú

ë22ûè2øë2øë22û

5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点.若

°

ÐF1PF2=60，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）

33

A．B．C．1D．3

42

2

2y

6．（2025·湖北襄阳·模拟预测·多选）若双曲线C：x-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P

8

2

作圆x-3+y2=1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（）

uuuruuuur

A．若PF1×PF2=0，则VPF1F2的面积为8

22PFPQ

B．若Q为圆x-3+y=1上的一动点，则2+的最小值为3

uuuruuur

C．PA×PB的最小值为22-3

D．四边形PAF2B面积的最小值为3

x2y211

7．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点，点M在C上，则+的最小

94MF1MF2

值为.

x2y2x2y2

8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆C:+=1mn0与双曲线C:-=1a0,b0有共同

1m2n22a2b2

o

的焦点F1，F2，点P为两曲线的一个公共点，且ÐF1PF2=60，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，那么

22

e1+e2的最小值为.

1x2y2

9．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知直线y=x与双曲线C:-=1a0相交于A，B两点，且A，B两

2a22

8

点的横坐标之积为-．

3

(1)求双曲线C的离心率；

(2)M是双曲线C上的一个动点，过M作C的渐近线的两条垂线，垂足分别为D，E，求四边形MDOE周长的最

小值．

x2y23

10．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为，过点(-2,0)的直线l1交

a2b22

E于B,C两点，当l1^y轴时，|BC|=42．

(1)求E的标准方程；

xxyy

(2)设点O为坐标原点，Px,y为E上一点，且P在第一象限，过点P的直线l:0+0=1交x轴y轴分别于

00a2b2

点S,T，且当点P与点A重合时，VOST的面积最小．

（ⅰ）求点A的坐标；

（ⅱ）记VABC的垂心为点H，求点H的横坐标的最小值．

x2y2

11．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知A,B分别为椭圆C:+=1ab0的左、右顶点，ab=62,M,N均为

a2b2

椭圆C上异于顶点的点，H为椭圆C上的点，直线HM经过左焦点F1，直线HN经过右焦点F21,0．

(1)求椭圆C的标准方程．

HFHF

(2)试问1+2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．

MF1NF2

SVHMN

(3)设△HMN的面积与VHFF的面积分别为SHMN,SHFF，求的最小值．

12VV12S

VHF1F2

x2y2

12．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2，且F1F2=4.

a2b2

(1)求C的实轴长与虚轴长之积的最大值.

(2)若过点F2的直线与C的右支交于P，Q两点，直线PF1与y轴交于点A,VPAF2的内切圆与边AF2相切于点B，且

|AB|=1.

（i）求C的方程；

（ii）记VPF1F2的内切圆面积为S1,VQF1F2的内切圆面积为S2，求S1+S2的取值范围.

考点五基本不等式的实际应用

1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平

4H

方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=，则该类昆虫的最大跳跃高度为

1-Hv2

（）

A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米

2．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的

方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单

4H

位：米）近似满足v2=的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

1-Hv2

A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米

3．（24-25高二下·广西南宁·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，

售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘

中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客得到的黄金实际克数

（）

A．大于10克B．等于10克C．小于10克D．与砝码放置顺序有关

4π

4．（24-25高二下·河北保定·期末）若要用铁皮制作一个容积为m3的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积的最

3

小值为（）

A．22πm2B．23πm2C．4πm2D．25πm2

5．（25-26高三上·广东·开学考试）两次购买同一种物品，现采用两种不同的策略进行购买，第一种是不考虑物品

价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一

定．购物方式比较经济的是第种，针对上述现象，对于任意两个正实数a，b，可得到不等关系

是．

6．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于

空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元

/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为

m3．

7．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色

发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为x6,10（单位：米），

地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：

方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为Px；

æ3ö

方案二：其给出的整体报价为fx=1200mç+1÷元，m0

èxø

(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求m的值；

(2)求Px的函数解析式，并求报价的最小值；

(3)若对任意的x6,10时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围.

8．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人

研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形ACDE中，在点A

处放置机器狗，在AC的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知AC=8米，足球运

动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形ACDE内（含边界），则捕捉成功．记足球和机

uuuræπö

器狗的运动方向与AC所成夹角分别为a(0£a£π),bç0£b£÷．

è2ø

π

(1)当AE长度不受限制，a=时，机器狗以3v米/秒的速度捕捉足球，则b为何值时，机器狗能捕捉成功？

3

π

(2)已知足球与机器狗运动方向所成夹角为,AE长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动

3

的总路程的最大值．

9．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）国家规定：中小学校每年组织一次在校学生乙肝病毒筛查体检.某学校现有

学生4000名，假设每名学生携带乙肝病毒的概率是m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者.如果对

每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k

个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈

阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性

还是阳性相互独立.

(1)若m=0.4，记每人血样平均化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小；

(2)若m=0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用共k+4元.求当k取何值时，每人血样

平均化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.

n

参考数据及公式：10»3.16，1+x»1+nxnN*,n³2,x£0.01.