2026年山东省部编版高二数学第七章导数练习题

2026年山东省部编版高二数学第七章导数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则f(x)在区间（-1，3）内的极值点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个解析：首先求导f′(x)=3x²-6x，令f′(x)=0得x₁=0，x₂=2，接着分析导数符号变化：当x∈（-1，0）时f′(x)＞0，当x∈（0，2）时f′(x)＜0，当x∈（2，3）时f′(x)＞0，因此x=0为极大值点，x=2为极小值点，共2个极值点，选C。2.若函数g(x)=ln(x+a)在x=1处取得极小值，则a的值为（）A.-1B.0C.1D.2解析：g′(x)=1/(x+a)，极小值点需满足g′(1)=0，即1/(1+a)=0，解得a=-1，验证当a=-1时g(x)=ln(x-1)在x=1处导数为0且左侧导数＜0，右侧导数＞0，故a=-1正确，选A。3.已知函数h(x)=x²e^(-kx)（k＞0），若h(x)在x=2处取得最大值，则k的取值范围是（）A.k＞0B.0＜k＜1C.k=1D.k＞1解析：h′(x)=2xe^(-kx)-kx²e^(-kx)=e^(-kx)x(2-kx)，令h′(x)=0得x=0或x=2/k，因k＞0，当x=2/k时取得极值，由题意需2/k=2，解得k=1，验证当k=1时h(x)=x²e^(-x)在x=2处取得最大值，故k=1正确，选C。4.函数f(x)=x³-ax在x=1处有拐点，则a的值为（）A.3B.2C.1D.0解析：f′(x)=3x²-a，f′′(x)=6x，拐点处需满足f′′(1)=0，即6=0，此方程无解，说明原题设矛盾，但若改为f(x)=x³-ax在x=1处曲率最大，则需f′(1)=3-a=0，解得a=3，选A。5.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，则方程f(x)=0在区间（-1，3）内的实根个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=0，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(3)=10，由零点判定定理知存在零点x₁∈（-1，1-√3/3），x₂∈（1-√3/3，1+√3/3），故实根个数为2个，选B。6.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处有水平切线且在x=-2处取得极小值，则p、q的值分别为（）A.p=-3，q=2B.p=3，q=-2C.p=-2，q=3D.p=2，q=-3解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g′′(x)=6x+2p，g′′(-2)=6(-2)+2(-3)=-18≠0，但需满足g′(-2)=0，即12-6p=0，解得p=-2，矛盾，重新分析：若改为g(x)在x=-2处取得极大值，则需g′(-2)=0且g′′(-2)＜0，此时p=-2，g′′(-2)=6(-2)+2(-2)=-16＜0，同时g′(1)=0得p=-2，g(-2)=8-4p+q=8+8+q=16+q=0，解得q=-16，故p=-2，q=-16，但选项无对应，说明题设矛盾，正确答案为p=-2，q=-16。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为（）A.3，-2B.2，-2C.3，-1D.2，-1解析：f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)=1+√3/3，f(1+√3/3)=1-√3/3，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-5，但选项无对应，说明题设矛盾，若改为f(x)在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为2和-2，则需f(1-√3/3)=2，f(1+√3/3)=-2，解得矛盾，正确答案为f(1-√3/3)=1+√3/3，f(1+√3/3)=1-√3/3，但需调整题设为f(x)在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为1+√3/3和1-√3/3。8.若函数h(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，且曲线y=h(x)在点（1，h(1)）处的切线方程为y=3x-2，则p、q的值分别为（）A.p=-1，q=1B.p=1，q=-1C.p=-2，q=2D.p=2，q=-2解析：h′(x)=3x²+2px，由题意h′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又h(1)=1+p+q，切线斜率为3，即h′(1)=3，解得p=-3，h(1)=-2+q=1，解得q=3，矛盾，重新分析：若改为曲线y=h(x)在点（1，h(1)）处的切线方程为y=3x-2，则需h′(1)=3且h(1)=1，即3+2p=3且1+p+q=1，解得p=0，q=0，但选项无对应，说明题设矛盾，正确答案为p=0，q=0，但需调整题设为曲线y=h(x)在点（1，h(1)）处的切线方程为y=3x-2，则需h′(1)=3且h(1)=1，即3+2p=3且1+p+q=1，解得p=0，q=0，但选项无对应，说明题设矛盾。9.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势是（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1，在x=1处导数为0，但f′′(1)=6＞0，说明x=1为极小值点，在x=1左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，故在x=1附近先减后增，选D。10.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，且g(1)=2，则p的取值范围是（）A.p＜-3B.p＞3C.p=-3D.p=3解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=2，解得q=4，验证当p=-3时g(x)=x³-3x²+4在x=1处取得极值，g′′(1)=6-6=0，需g′′(1)≠0，矛盾，重新分析：若改为g(x)在x=1处取得极值且g(1)=2，则需g′(1)=0且g(1)=2，即3+2p=0且1+p+q=2，解得p=-3，q=4，但选项无对应，说明题设矛盾，正确答案为p=-3，但需调整题设为g(x)在x=1处取得极值且g(1)=2，则需g′(1)=0且g(1)=2，即3+2p=0且1+p+q=2，解得p=-3，q=4，但选项无对应，说明题设矛盾。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的曲率为______解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，f′(2)=2，f′′(2)=6，曲率k=|f′′(2)|/（1+f′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6/5√5=6√5/25。2.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极小值，且g(1)=0，则p______，q______解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=0，解得q=2，故p=-3，q=2。3.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点坐标为______解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点坐标为（1，0）。4.若函数f(x)=x³+px²+q在x=1处有水平切线且在x=-2处取得极大值，则p______，q______解析：f′(x)=3x²+2px，由题意f′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又f′(-2)=12-6p=0，解得p=2，矛盾，重新分析：若改为f(x)在x=-2处取得极大值，则需f′(-2)=0且f′′(-2)＜0，即12-6p=0且-12+2p＜0，解得p＞6，同时f′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，矛盾，正确答案为p＞6，但需调整题设为f(x)在x=-2处取得极大值，则需f′(-2)=0且f′′(-2)＜0，即12-6p=0且-12+2p＜0，解得p＞6，同时f′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，矛盾。5.函数g(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势是______解析：g′(x)=3x²-6x+2，g′′(x)=6x-6，在x=1处g′(1)=0，g′′(1)=0，需g′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增，但需g′′(1)≠0，矛盾，正确答案为先减后增，但需调整题设为g(x)在x=1附近的变化趋势是先减后增。6.若函数h(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，且h(1)=2，则p______，q______解析：h′(x)=3x²+2px，由题意h′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又h(1)=1+p+q=2，解得q=4，故p=-3，q=4。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为______，______解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)≈0.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。8.函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，且曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=3x-2，则p______，q______解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=1，解得q=3，矛盾，重新分析：若改为曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=3x-2，则需g′(1)=3且g(1)=1，即3+2p=3且1+p+q=1，解得p=0，q=0，但选项无对应，说明题设矛盾，正确答案为p=0，q=0，但需调整题设为曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=3x-2。9.函数h(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势是______解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，在x=1处h′(1)=0，h′′(1)=0，需h′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增，但需h′′(1)≠0，矛盾，正确答案为先减后增，但需调整题设为h(x)在x=1附近的变化趋势是先减后增。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为______，______解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)≈0.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1处取得极大值。（×）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增，为极小值点。2.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，则p=3。（×）解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3。3.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点个数为1个。（×）解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，故拐点个数为1个。4.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处取得极值。（×）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(2)=2≠0，故x=2处不取极值。5.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，则q=1。（×）解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，g(1)=1+p+q=1，解得q=3。6.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的最大值与最小值分别为2和-2。（×）解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，计算h(-1)=-5，h(1-√3/3)≈0.44，h(1+√3/3)≈0.56，h(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。7.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势是单调递增。（×）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。8.若函数g(x)=x³+px²+q在x=1处取得极值，且g(1)=2，则p=-3。（√）解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，g(1)=1+p+q=2，解得q=4。9.函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点坐标为（1，0）。（√）解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点坐标为（1，0）。10.函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处取得极值。（×）解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(2)=2≠0，故x=2处不取极值。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的极值点。解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f′′(x)=6x-6，f′′(1-√3/3)＜0，f′′(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。2.求函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值时p、q的关系式。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=极值，故q=1/2-极值。3.求函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点。解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点为（1，0）。4.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=2处的曲率。解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，f′(2)=2，f′′(2)=6，曲率k=|f′′(2)|/（1+f′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6√5/25。5.求函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值时p的取值范围。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，需g′′(1)≠0，即-2p≠0，故p≠0，但需g′(1)=0，即3-2p=0，解得p=3/2，矛盾，正确答案为p=3/2。6.求函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的最大值与最小值。解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，计算h(-1)=-5，h(1-√3/3)≈0.44，h(1+√3/3)≈0.56，h(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。7.求函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势。解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，在x=1处f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。8.求函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值且g(1)=2时p、q的值。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=2，解得q=5/2，故p=3/2，q=5/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，求f(x)在区间（-1，3）内的最大值与最小值。案例背景：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（x为产量），求该工厂在产量区间（-1，3）内的最大利润与最小利润。解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=x³-3x²+2x-（x³-3x²+2x）=0，故最大利润与最小利润均为0，但需调整题设为L(x)=R(x)-C(x)=x³-3x²+2x-（x³-3x²+2x+100）=-100，此时最大利润为-100，最小利润为-100。2.已知函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，且g(1)=2，求p、q的值。案例背景：某公司生产某种产品，需求函数为g(x)=x³-px²+q（x为销量），若在销量x=1时取得极值，且售价为2元，求p、q的值。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=2，解得q=5/2，故p=3/2，q=5/2。3.已知函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点为（1，0），求h(x)在x=2处的曲率。案例背景：某桥梁的挠度函数为h(x)=x³-3x²+2x（x为距离），求该桥梁在距离x=2处的曲率。解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，h′(2)=2，h′′(2)=6，曲率k=|h′′(2)|/（1+h′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6√5/25。4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势为先减后增，求f(x)在区间（-1，3）内的极值点。案例背景：某城市交通流量的变化率函数为f(x)=x³-3x²+2x（x为时间），求该城市交通流量在时间区间（-1，3）内的极值点。解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f′′(x)=6x-6，f′′(1-√3/3)＜0，f′′(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。5.已知函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，且曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=3x-2，求p、q的值。案例背景：某产品的成本函数为g(x)=x³-px²+q（x为产量），若在产量x=1时取得极值，且边际成本为3，求p、q的值。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。6.已知函数h(x)=x³-3x²+2x在区间（-1，3）内的拐点为（1，0），求h(x)在x=2处的曲率。案例背景：某桥梁的挠度函数为h(x)=x³-3x²+2x（x为距离），求该桥梁在距离x=2处的曲率。解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，h′(2)=2，h′′(2)=6，曲率k=|h′′(2)|/（1+h′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6√5/25。7.已知函数f(x)=x³-3x²+2x在x=1附近的变化趋势为先减后增，求f(x)在区间（-1，3）内的极值点。案例背景：某城市交通流量的变化率函数为f(x)=x³-3x²+2x（x为时间），求该城市交通流量在时间区间（-1，3）内的极值点。解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f′′(x)=6x-6，f′′(1-√3/3)＜0，f′′(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。8.已知函数g(x)=x³-px²+q在x=1处取得极值，且曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=3x-2，求p、q的值。案例背景：某产品的成本函数为g(x)=x³-px²+q（x为产量），若在产量x=1时取得极值，且边际成本为3，求p、q的值。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.D4.A5.B6.无对应选项（需调整题设）7.无对应选项（需调整题设）8.无对应选项（需调整题设）9.D10.无对应选项（需调整题设）解析：2.f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f′′(x)=6x-6，f′′(1-√3/3)＜0，f′′(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点，共2个极值点。3.g′(x)=1/(x+a)，极小值点需满足g′(1)=0，即1/(1+a)=0，解得a=-1，验证当a=-1时g(x)=ln(x-1)在x=1处导数为0且左侧导数＜0，右侧导数＞0，故a=-1正确。4.h(x)=x²e^(-kx)，h′(x)=2xe^(-kx)-kx²e^(-kx)=e^(-kx)x(2-kx)，令h′(x)=0得x=0或x=2/k，因k＞0，当x=2/k时取得极值，由题意需2/k=2，解得k=1，验证当k=1时h(x)=x²e^(-x)在x=2处取得最大值，故k=1正确。5.f(x)=x³-ax，f′(x)=3x²-a，f′′(x)=6x，拐点处需满足f′′(1)=0，即6=0，此方程无解，说明原题设矛盾，但若改为f(x)=x³-ax在x=1处曲率最大，则需f′(1)=3-a=0，解得a=3，选A。6.f(x)=x³-3x²+2x，f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)＜0，f(1+√3/3)＞0，f(3)=6，由零点判定定理知存在零点x₁∈（-1，1-√3/3），x₂∈（1-√3/3，1+√3/3），故实根个数为2个。7.g(x)=ln(x+a)，极小值点需满足g′(1)=0，即1/(1+a)=0，解得a=-1，验证当a=-1时g(x)=ln(x-1)在x=1处导数为0且左侧导数＜0，右侧导数＞0，故a=-1正确。8.f(x)=x³-3x²+2x，f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，计算f(-1)=-5，f(1-√3/3)≈0.44，f(1+√3/3)≈0.56，f(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。9.g(x)=x³+px²+q，g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=1，解得q=3，矛盾，重新分析：若改为g(x)在x=1处取得极值，则需g′(1)=0且g(1)=1，即3+2p=3且1+p+q=1，解得p=0，q=0，但选项无对应，说明题设矛盾，正确答案为p=0，q=0，但需调整题设为g(x)在x=1处取得极值且g(1)=1。10.f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。11.g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=2，解得q=4，故p=-3，q=4。二、填空题1.6√5/25解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，f′(2)=2，f′′(2)=6，曲率k=|f′′(2)|/（1+f′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6√5/25。2.-3，2解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又g(1)=1+p+q=0，解得q=2，故p=-3，q=2。3.（1，0）解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点坐标为（1，0）。4.>6，无对应选项（需调整题设）解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(-2)=0得12-6p=0，解得p=2，又g′′(x)=6x+2p，g′′(-2)=6(-2)+2p=-12+4p＜0，解得p＞3，同时g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，矛盾，正确答案为p＞3，但需调整题设为g(x)在x=-2处取得极大值。5.先减后增解析：g′(x)=3x²-6x+2，g′′(x)=6x-6，在x=1处g′(1)=0，g′′(1)=0，需g′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。6.-3，4解析：h′(x)=3x²-6x+2，由题意h′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，又h(1)=1+p+q=2，解得q=4，故p=-3，q=4。7.6，-5解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，计算h(-1)=-5，h(1-√3/3)≈0.44，h(1+√3/3)≈0.56，h(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。8.3/2，1/2解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。9.先减后增解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，在x=1处h′(1)=0，h′′(1)=0，需h′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。10.6，-5解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，计算h(-1)=-5，h(1-√3/3)≈0.44，h(1+√3/3)≈0.56，h(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。三、判断题1.×解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增，为极小值点。2.×解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3。3.×解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，h′(x)在x=1左侧递减，右侧递增，故拐点个数为1个。4.×解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(2)=2≠0，故x=2处不取极值。5.×解析：g′(x)=3x²+2px，由题意g′(1)=0得3+2p=0，解得p=-3，g(1)=1-p+q=1，解得q=3。6.×解析：h′(x)=3x²-6x+2，令h′(x)=0得x=1±√3/3，计算h(-1)=-5，h(1-√3/3)≈0.44，h(1+√3/3)≈0.56，h(3)=6，故最大值为6，最小值为-5。7.×解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(1)=0，需f′′′(x)=6，故在x=1附近先减后增。8.√解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=2，解得q=5/2，故p=3/2，q=5/2。四、简答题1.极值点为x=1±√3/3解析：f′(x)=3x²-6x+2，令f′(x)=0得x=1±√3/3，f′′(x)=6x-6，f′′(1-√3/3)＜0，f′′(1+√3/3)＞0，故x=1-√3/3为极大值点，x=1+√3/3为极小值点。2.p=-3/2，q=1/2解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。3.拐点为（1，0）解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点坐标为（1，0）。4.曲率k=6√5/25解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′′(x)=6x-6，f′(2)=2，f′′(2)=6，曲率k=|f′′(2)|/（1+f′(2)²）^3/2=6/（1+4）^3/2=6√5/25。5.p=3/2，q=1/2解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。6.拐点为（1，0）解析：h′(x)=3x²-6x+2，h′′(x)=6x-6，令h′′(x)=0得x=1，计算h(1)=0，故拐点坐标为（1，0）。7.先减后增解析：f′(x)=3x²-6x+2，f′(1)=0，f′′(x)=6x-6，在x=1处f′(x)在左侧递减，右侧递增，故先减后增。8.p=3/2，q=5/2解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=2，解得q=5/2，故p=3/2，q=5/2。五、应用题1.最大利润为-100，最小利润为-100案例背景：某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x³-3x²+2x（x为产量），求该工厂在产量区间（-1，3）内的最大利润与最小利润。解析：利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=x³-3x²+2x-（x³-3x²+2x+100）=-100，故最大利润与最小利润均为-100。2.p=3/2，q=1/2案例背景：某公司生产某种产品，需求函数为g(x)=x³-px²+q（x为销量），若在销量x=1时取得极值，且售价为2元，求p、q的值。解析：g′(x)=3x²-2px，由题意g′(1)=0得3-2p=0，解得p=3/2，g(1)=1-p+q=1，解得q=1/2，故p=3/2，q=1/2。3.曲率k=6√5/25案例背景：某桥梁的挠度函数为h(x)=x³-3x²+2x（x为距