高等数学（上）课件 第2章极限与连续

2.1数列的极限一、数列的定义二、数列的极限三、数列的极限的性质一、数列的定义2数列是定义在正整数集Z+上的函数，

定义1记为

当自变量按1,2,3,…

次序取值时，

函数值就按相应的顺序排列的一串数：

可以简记为{xn}.

数列中的每个数称为数列的项，

其中xn称为数列的一般项或通项．

例如一、数列的定义3注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是定义在正整数集上的函数二、数列的极限4问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言通过上面演示实验的观察:x1x2x3x4x5012刻划它.二、数列的极限5若使|xn－1|=二、数列的极限6定义1

如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)总存在正整数N,使得对于n＞N时的一切xn不等式那末就称常数A是数列xn的极限,或者称数列xn收敛于A,记为

如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：二、数列的极限7数列极限的几何意义：整数N,使数列从N+1项开始，后面所有项xn，均满足不等式所以数列xn

在数轴上的对应点由无穷多个点至多只有有限个点二、数列的极限8定义1′对于数列{xn},如果当n无限增大时，一般项的值无限接近于一个确定的常数A，以A为极限，记为

或者．此时，也称数列收敛于A，而称如果数列的极限不存在，则称它为发散数列.无穷大时数列为收敛数列.则称当n趋于二、数列的极限9数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：二、数列的极限10例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.二、数列的极限11例3证三、数列的极限的性质121、有界性例如,有界无界定义：三、数列的极限的性质13定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.例如数列

有界，但它不收敛．

三、数列的极限的性质142、唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证用反证法这是一个矛盾.三、数列的极限的性质15在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，数列{xn}的一个

子数列.这样得到的一个数列称为原例如，数列

都是数列

的子数列.

三、数列的极限的性质16定理3

数列{xn}收敛于a的充分必要条件是：

{xn}的任何子数列都收敛于a.例如数列的一个子数列1,1,1,…收敛于1；

但的另一个子数列－1,－1,－1,…收敛于－1，由定理3知数列

发散．

小结17数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义;收敛数列的性质:有界性、唯一性.下面是几个应记住的常用数列的极限：(1)

(C为常数)；．(2)二、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限2.2函数的极限

三、函数极限的性质一、自变量趋于无穷大19自变量趋向无穷大（记为x→∞）是指|x|无限增大，

它包含两方面：

一是x＞0,且|x|无限增大，

（记为x→+∞）二是x＜0,且|x|无限增大，

（记为x→－∞）.当x→∞时，考察

的变化趋势．

可以看出,当x→∞时，

的值无限接近于常数0，

则称常数0x→∞时的极限.为该函数当一、自变量趋于无穷大20定义1

若当x→∞时，

函数f(x)的值无限接近一个常数A，

则称常数A为函数f(x)当x→∞

时的极限，记作或者

用精确的“ε－X”数学语言定义

一、自变量趋于无穷大21定义1′

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线.A

为函数一、自变量趋于无穷大22例1.

证明证:取因此注:就有故欲使只要一、自变量趋于无穷大23定义2

若当x→+∞时，

函数f(x)的值无限接近一个常数B，

则称常数B为函数f(x)当x→+∞

时的极限，记作或者

定义3

若当x→－∞时，

函数f(x)的值无限接近一个常数C，

则称常数C为函数f(x)当x→－∞

时的极限，记作或者

用精确的“ε－X”数学语言定义

一、自变量趋于无穷大24直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线一、自变量趋于无穷大25例2

考察下列极限是否存在：yxO解

不存在.

定理1

的充分必要条件是

二、自变量趋于有限值261．当x→x0时，函数f(x)的极限

考察当x→1时，函数f(x)=(2x2－2)/(x－1)的变化趋势，

因为当x≠1时，f(x)=(2x2－2)/(x－1)=2(x＋1)=2x+2,此时，当x→1时，函数f(x)=2(x+1)的值无限趋近于4（见图）.对上面的例子再作进一步地分析．要能使|f(x)－4|任意小，

也就是说，

对于任意给定的正数ε（无论多么x-1241y=2x+2小）二、自变量趋于有限值27当x≠1时，要使

只要

即可．

则对于满足不等式

的一切x，

总有不等式|f(x)－4|＜ε成立．

所以，我们有二、自变量趋于有限值28定义4.

设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或若记作几何解释:x0－δx0+δ二、自变量趋于有限值29例1.

证明证:故对任意的当时,

因此总有二、自变量趋于有限值30例2.

证明证:欲使取则当时,必有因此只要二、自变量趋于有限值31例3.

证明证:故取当时,必有因此二、自变量趋于有限值322．函数在处的左右极限

定义5

如果当x从x0的左侧趋于x0

(记作

)时，

对应的函数f(x)的值无限接近于一个常数A，

则称A为函数f(x)在

x0处的左极限，

记为或者

如果当x从x0的右侧趋于x0

(记作

)时，

对应的函数f(x)的值无限接近于一个常数B，

则称B为函数f(x)在

x0处的右极限，

记为或者

二、自变量趋于有限值33定理2

的充分必要条件是二、自变量趋于有限值34例5.

给定函数讨论

时的极限是否存在.

解:

利用定理3.因为显然所以不存在.二、自变量趋于有限值35例4设讨论当x→0时，

函数f(x)的极限是否存在．

y=1yxOy=x解

即有

所以当x→0时，

函数f(x)的极限不存在．

三、函数极限的性质36性质1(唯一性)性质2(局部有界性)

存在，

则其极限是唯一的.

若极限若

则存在常数M＞0和δ＞0，

使得当

时，

有

即

O三、函数极限的性质37若

则存在常数M＞0和δ＞0，

使得当

时，

证：性质2的证明三、函数极限的性质38定理1.

若且

A>0,证:

已知即当时,有当

A>0时,

取正数则当时(<0)则存在(A<0)3.

保号性三、函数极限的性质39推论.

若在的某去心邻域内,且

则证:

用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,

(同样可证的情形)思考:

若推论中的条件改为是否必有不能!

存在如

假设A<0,

条件矛盾,故小结40定理：一、自变量趋于无穷大时函数的极限小结41定理：二、自变量趋于有限值时函数的极限三、函数极限的性质。三、无穷小与无穷大的关系一、无穷大2.3无穷大与无穷小二、无穷小一、无穷大43定义1

.

若当x→X时,当x→X

时是无穷大，则称函数f(x)

其中，X可代表记作例如

：

当x→0时,一、无穷大441.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,

函数但但当x→∞时，f(x)不是无穷大!f(x)无界

.注意:二、无穷小45当定义2.

若时,函数则称函数例如:函数当时为无穷小;函数

时为无穷小;函数

当为时的无穷小

时为无穷小.（或称f(x)当x→X时为无穷小).说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!

其中，X可代表二、无穷小46时,有性质1.

有限个无穷小的和还是无穷小.证:

考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.二、无穷小47说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.

n个二、无穷小48性质2

有界变量与无穷小的乘积是一个无穷小．证

只证

时的情形。

设当

时，f(x)是

有界量，

α(x)是无穷小。由

知，

对于

来说，

当

时，

取

于是当

时，

这就证明了当x→x0时，

f(x)α(x)为无穷小量。

二、无穷小49推论1常数与无穷小的乘积为无穷小.推论2

有限个无穷小的乘积为无穷小．二、无穷小50其中

(x)

为时的无穷小量.

定理1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证.三、无穷小与无穷大的关系51若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理2.

在自变量的同一变化过程中,例如三、无穷小与无穷大的关系52由定理2,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.说明:定理2说明，无穷大与无穷小之间的关系类似于倒数关系．三、无穷小与无穷大的关系53例1.

求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.小结541.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系其中

(x)

为时的无穷小量.

二、复合函数的极限运算法则

一、极限的四则运算2.4极限运算法则一、极限的四则运算56则有定理1.

若证:

则有由于也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知一、极限的四则运算57说明:

定理1可推广到有限个函数相加与相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)一、极限的四则运算58例1.

设

n次多项式试证证:一、极限的四则运算59定理2.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理成立。一、极限的四则运算60例2.

x=3时分母为0.解解例3.一、极限的四则运算61例4.

求解:

x=1时,分母=0,分子≠0,但因一、极限的四则运算62例5

求

解此极限仍属于

型，

可采用把根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”.一、极限的四则运算63解:

分子分母同除以则“抓大头”例6.

求一、极限的四则运算64例7.

求解:

分子分母同除以则原式一、极限的四则运算65解:

因为例8.

求一、极限的四则运算66一般有如下结果：为非负常数)二、复合函数的极限运算法则67定理2.

设函数且又则有

说明:

若定理中则类似可得在

x0的某邻域内满足变量替换即二、复合函数的极限运算法则68解:

令所以∴原式=例9.

求二、复合函数的极限运算法则69例10求

解

二、复合函数的极限运算法则70例11若

解若

求k的值.这与已知矛盾！故

得k=－2

小结711.极限运算法则(1)极限四则运算法则(2)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(要求分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量二、两个重要极限

一、极限存在准则

2.5极限存在准则两个重要极限一、极限存在准则73函数极限与数列极限的关系定理1

的充分必要条件是：

对任意数列{xn}，xn≠x0，

当xn→x0(n→∞)时，

都有

定理1经常被用于证明某些极限不存在.一、极限存在准则74例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及显然当n→∞时，xn→0,由定理1知不存在

.一、极限存在准则75定理2(两边夹法则)

如果函数g(x),f(x),h(x)满足：一、极限存在准则76例2.

证明证:

利用两边夹法则.且由g(n)h(n)一、极限存在准则77定理3（收敛准则Ⅰ）定理4（收敛准则Ⅱ）单调递减且有下界的数列必有极限．

单调递增且有上界的数列必有极限．一、极限存在准则78单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限(证明略

)一、极限存在准则79例3

已知数列

满足：

证明数列

收敛．

证

先用数学归纳法证明

（1）当n=1时，

结论成立．

（2）当n=k时，xk<2,则

由数学归纳法知xn≤2.再证明该数列单调递增．

一、极限存在准则80由定理2知数列收敛．

令则二、两个重要极限81圆扇形AOB的面积证:

当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积二、两个重要极限82为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：时，二、两个重要极限83例4.

求解:

二、两个重要极限84例5.

求解:

令则因此类似可证1-1二、两个重要极限85例6.

求解:

原式=二、两个重要极限862.我们可以通过列出函数

的部分取值列表

来观察该函数值的变化趋势．

xy102.5941002.70510002.7169100002.718151000002.71827……xy-102.88-1002.732-10002.720-100002.7183-1000002.71828……的值无限接近于一个常数

二、两个重要极限87由此可得:令z=1/x,则x→∞时，z→0，二、两个重要极限88为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：二、两个重要极限89例8

求

解

小结90的不同数列1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在;

法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在

.小结91(2)函数极限存在的两边夹法则;(3)单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限2.两个重要极限二、等价无穷小

一、无穷小的比较

2.6无穷小的比较一、无穷小的比较93都是无穷小,引例.但

可见无穷小趋于0的速度是多样的.

一、无穷小的比较94定义1.若则称

是比

高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称

是比

低阶的无穷小;则称

与

是同阶的无穷小;则称

是关于

的k阶无穷小.则称

与

是等价无穷小,记作一、无穷小的比较95例如,

当～时～～又如

，是关于x的二阶无穷小,且～一、无穷小的比较96例1.

证明:证:因此

即有等价关系:

说明:

上述证明过程也给出了等价关系:

二、等价无穷小的应用97且存在,则证:定理1.

设二、等价无穷小的应用98在求积（商）运算的极限时，可以用比它们简单且与它们等价的无穷小替换，以便可以简化极限的运算．定理1表明:例如,二、等价无穷小的应用99例2.

证明:当

时，与μx是等价无穷小证设两边取自然对数且当x→0时，t→0.

再由例1知，

当x→0时，x~ln(1+x).

得当x→0时，

二、等价无穷小的应用100注：等价无穷小的替换只能在商或积情况下施行．

例3.

例4.

求解:

原式

二、等价无穷小的应用101例4.

求解:二、等价无穷小的应用102～～证:即即例如,～～故定理2.二、等价无穷小的应用103例5

求

解

αβ小结1041.无穷小的比较设

,

对同一自变量的变化过程为无穷小,且

是比

的高阶无穷小

是比

的低阶无穷小

与

是

的同阶无穷小

与

是等价无穷小

是

的k阶无穷小小结1052.等价无穷小替换定理常用的等价无穷小量有下列几种：

(μ是不为零的常数）．

三、函数的间断点一、函数连续性的概念2.7函数的连续性二、连续函数的四则运算及初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质

一、连续性的概念107可见,函数在点定义1在的某邻域内有定义,

则称函数(1)

在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;一、连续性的概念108有函数的增量当Δx→0时，

对自变量的增量若f(x)在x0点处连续，则一、连续性的概念109定义4则称函数f(x)在点

x0处左连续；则称函数f(x)在点

x0处右连续。例如：

f(x)=x≥1,x,x<1.－1,显然f(1)=1，而1=f(1)即f(x)在x

=1处是右连续。≠f(1)即f(x)在x

=1处不是左连续。一、连续性的概念110由函数的极限与其左、右极限的关系，易得到下面定理定理1

函数f(x)在点

x0处连续的充要条件是：

函数f(x)在点

x0处既左连续又右连续，即

或左连续右连续一、连续性的概念111例1.

证明函数在内连续.证:

即同样可证:函数在内连续.一、连续性的概念112例2

设函数问b为何值时，

函数y=f(x)在点

x=0处连续.解由于f(0)=2

,且

若使函数y=f(x)在点

x=0处连续，必须二、初等函数的连续性113定理3.

连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.

在其定义域内连续．定理2.

在某点连续的两个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)

运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减)(证明略)在[

1,1]上也连续单调(递减)递增.二、初等函数的连续性114定理4.

连续函数的复合函数是连续的.在上连续其反函数在上也连续单调递增.又如,

单调递增,二、初等函数的连续性115例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,二、初等函数的连续性116定理5基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数仍是连续函数一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而二、初等函数的连续性117定理6(1)y=f(u)在

u=a处连续，(2)u=φ(x)在

x→X时极限存在，证二、初等函数的连续性118解:原式例3.

求二、初等函数的连续性119例4.

求解:原式二、初等函数的连续性120解:原式例5.

求三、间断点121(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:下列