2026-2027学年第二章有理数的运算-含有理数运算的数轴与绝对值题型梳理专题练上学期七年级上册数学人教版（2024）（含答案）

/第二章有理数的运算含有理数运算的数轴与绝对值题型梳理专题练2026-2027学年上学期初中数学人教版（2024）七年级上册一、用数轴上的点表示有理数1.已知5个数分别为0，，，，(1)将题中5个数在数轴上表示出来；(2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来．2.（1）请你在数轴上表示下列有理数：，，，，．（2）将上列各数用“”号连接起来：_________．3.已知下列有理数：(1)中，底数是_______，指数是_______．(2)在数轴上表示出这些有理数，并找出一对相反数．(3)把这些有理数用“＜”号连接起来．4.有理数：，0，，，，．(1)将上面各数在数轴上表示出来，并用“”连接起来；(2)将上面的数填入相应的圈内．二、利用数轴比较有理数的大小5．实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．6．数轴上表示数a，b的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（

）A． B．C． D．7．已知有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．8．如图，数轴上的两个点所表示的数分别为，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．三、数轴上的动点问题9．数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位．(1)几秒后相遇？(2)相遇时点对应的数是多少？10．如图，已知数轴的单位长度为1，的长度为1个单位长度．(1)如果点A，B表示的数是互为相反数，求点C表示的数．(2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数．(3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？11．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________．(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？12．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒．(1)当时，数轴上的点、表示的数分别是______和______；(2)当时，求、两点间的距离；(3)在运动过程中是否存在时间使、两点间的距离与、两点间的距离相等，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．四、绝对值的非负性13．，那么．14．若，则的值为．15．当时，的值最小．16．若式子有最小值，则该最小值为五、利用数轴化简绝对值17．有理数a，b，c在数轴上表示的点如图所示，(1)比较大小：______0，______0，______0，(2)化简18．已知、、为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．(1)根据数轴化简：________：________；________；(2)若，，，求的值．19．如图，数轴上有a，b，c三点．(1)0；0；0；（填“”，“”，“”）(2)化简．20．已知有理数在数轴上的对应点的位置如图．

(1)请在数轴上表示出数对应的点的位置；(2)请将，，，，0按从小到大的顺序排列；(3)化简：．六、分类讨论化简绝对值21.已知、、均为不等式0的有理数，则的值为．22.已知、，那么＝23.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题：(1)若时，的值为___________；(2)若成立，则___________；(3)若，则___________；(4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________．提升练1．在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们按照从小到大的顺序排列．2．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：(1)用“”，“”填空：_____；______；_____；(2)化简：．3．根据这一性质，解答下列问题：(1)当时，有最小值，此时最小值为；(2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？(3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？4．如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数．5．在解决问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的思想解决问题的过程，请仔细阅读并填空，根据要求解决下列问题．【提出问题】若非零有理数，同号，求的值．【解决问题】解：由，同号可知，，有两种可能．（1）若，，有，，所以__________；（2）若_____0，，有，_____，所以_____．综上所述，的值为2或．【拓展探究】若三个有理数，，满足，求的值．答案一、用数轴上的点表示有理数1.(1)作图见解析(2)【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键．（1）首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可；（2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可．【详解】（1）解：，，在数轴上表示出来，如图所示；（2）解：由各点在数轴上的位置可知：．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据绝对值，有理数的乘方，多重符号的化简整理各数，再利用有理数与数轴对应的关系在数轴上表示各有理数；（2）根据各有理数在数轴上的位置比较大小，即可解题．【详解】解：（1）因为，，，则在数轴上表示有理数如下图所示：（2）由数轴可知：．故答案为：．(1)，(2)数轴见解析，与1是相反数(3)【分析】（1）根据乘方的意义解答即可；（2）先化简乘方、多重符号，然后在数轴上准确找出各数对应的点；（3）从数轴上按照从左到右的顺序用“<”号把这些数连接起来即可．【详解】（1）解：中，底数是，指数是3．故答案为：，3；（2）解：，如图，与1是相反数，

（3）．4.(1)见解析，(2)见解析【分析】本题主要考查了利用数轴比较有理数大小比较，绝对值与相反数，有理数的分类，解题的关键是熟练掌握数轴上点的特点．（1）根据数轴上点的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【详解】（1）解：，，，，如图所示：，故．（2）解：如图所示：二、利用数轴比较有理数的大小5．D【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可．【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误；B．，互为相反数，，，故B错误；C．，互为相反数，，故C错误；D．，互为相反数，，，故D正确．故选∶D．A【分析】本题考查了数轴上点表示数，相反数的意义，利用数轴比较大小．先在数轴上表示出，，然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可．【详解】解：将，在数轴上表示出来，如图，，∴由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得．故选：A．A【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴比大小，利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．观察数轴可得，，，即可求解．【详解】解：观察数轴得：，，，，，故选：A．C【分析】本题考查了数轴上表示数，有理数的大小比较，根据数轴可知，，然后逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：、由数轴可知，∴，∴，原选项正确，不符合题意；、由数轴可知，，∴，∴，原选项正确，不符合题意；、由数轴可知，∴不能判定与的大小，原选项错误，符合题意；、由数轴可知，∴，原选项正确，不符合题意；故选：．三、数轴上的动点问题9．(1)秒(2)【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，两点之间距离的计算，掌握数轴的特点是关键．（1）根据题意，运用路程等于速度和乘以时间，由此列式即可求解；（2）运用两点之间距离的计算即可．【详解】（1）解：∵单位，∴秒，∴秒后相遇；（2）解：点对应的数是：．10．(1)点C表示的数为5；(2)点表示的数为或1；(3)运动4秒后，点P可以追上点Q．【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解．（1）、互为相反数，就知道、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数；（2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时；（3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间．【详解】（1）解：、互为相反数，且，如图：表示，表示1，表示的数为5；（2）解：由题意，可知点在点的左边或右边：当点在点的左边时，如图：由图可知点表示的数是；当点在点的右边时，如图：由图可知点表示的数为1，故当时，点表示的数为或1；（3）解：、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为，点C表示的数为，∴点P追上点Q所用时间为，答：运动4秒后，点P可以追上点Q．(1)；1(2)①；②1或9秒【分析】（1）由已知得，则，因为点B在原点左边，即可求出；当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出；（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可．此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键．【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，∴，则，∵点B在原点左边，∴数轴上点B所表示的数为；当点P运动到的中点时，它所表示的数是故答案为：，1；（2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得，解得，∴当点P运动5秒时，点P追上点Q；∴点P运动距离为∴∵此时P点在负半轴，∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是；②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度当P不超过Q，则，解得；当P超过Q，则，解得；答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度．(1)；(2)(3)或【分析】本题考查了数轴上的点的移动，距离，熟悉掌握数轴上点的特征是解题的关键．（1）列出点的表达式，代入运算即可；（2）根据表达式代入运算即可；（3）分类讨论点的位置，列出方程运算即可．【详解】（1）解：由题意可得：，∴当时，，故答案为：；；（2）解：把代入，可得：，，∴；（3）解：∵点到点的时间为：；点到点的时间为：；∴当时，大致如图所示：∵，，，，∴，∴解得：；当时，大致如图所示：∴，∴解得：；当时，大致如图所示：∴，∴解得：（舍去）；综上所述：或．四、绝对值的非负性13．/【分析】本题考查绝对值的非负性及非负数和为0成立的条件，根据题意，由绝对值的非负性及非负数和为0的条件列方程求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为0成立的条件是解决问题的关键．【详解】解：，，且，，且，解得，，∴，故答案为：．14．5【分析】本题考查绝对值的非负性，代数式求值，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴；故答案为：5．【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解．【详解】解：∵∴当时，的值最小，此时，,故答案是：．【分析】本题考查的是非负数的性质，根据任何数的绝对值都是非负数解答即可．【详解】解：∵，∴当时，式子有最小值，最小值为．故答案为：．五、利用数轴化简绝对值17．(1)(2)【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项等知识点，能根据数轴得出，是解此题的关键．（1）根据数轴得出，，再根据有理数的加减运算法则得出答案即可；（2）根据（1）中结果，结合绝对值的性质，去括号法则，计算即可．【详解】（1）解：由数轴，可得，，∴，，．故答案为：．（2）∵，，，∴．18．(1)；；(2)【分析】本题主要考查了有理数与数轴，代数式求值，求一个数的绝对值等等，熟知绝对值的定义是解题的关键．（1）根据数轴可判断出，据此根据绝对值的定义求解即可；（2）根据（1）结合已知条件可得a、b、c的值，再代值计算即可得到答案．【详解】（1）解：由数轴可得，∴，∴，，；（2）解：∵，，，且，∴，∴．(1)；；；(2)【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，整式的加减，绝对值化简，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负．（1）根据数轴分别判断，，的正负，即可解题；（2）根据（1）中式子正负结合绝对值性质进行化简，即可解题．【详解】（1）解：由图知，，所以，，，故答案为：；；；（2）解：．(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查了有理数大小比较，掌握数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键．（1）根据相反数的意义在数轴上描点即可；（2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大即可解答；（2）根据绝对值的意义即可解答．【详解】（1）解：对应的点的位置如图所示：

（2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得：．（3）解：．六、分类讨论化简绝对值21.3，-3，1，−1．【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论．【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3；(2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3；(3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1；同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1．(4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1；同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1．故答案为：3，-3，1，−1．22.±2或0【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可．【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2，当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0，当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0，当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2，故答案为：±2或0．(1)(2)2(3)0或(4)；7【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可；（2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解；（3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可；（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解．【详解】（1）解：时，，故答案为：；（2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，∵与9的距离为，∴中点到的距离为7，∴，∴，故答案为：2；（3）∵，∴分情况讨论：当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；综上可得：值为0或，故答案为：0或；（4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，当时，距离和即为到4的距离，故答案为：；7．提升练数轴见解析，【分析】本题考查了相反数和绝对值的性质，用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，注意，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．先将各数能化简的化简，再在数轴上表示出来，根据数轴上右边的数总大于左边的数，进行排列即可作答．【详解】，，，，，在数轴上表示为：．(1)，，(2)【分析】（1）观察数轴判断，，的正负和绝对值的大小关系，然后再根据有理数的加减法则进行判断即可；（2）根据有理数的加减法则判断，和的正负，然后根据绝对值的性质进行化简即可．本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握绝对值的性质．【详解】（1）解：（1）观察数轴可知：，，∴，，，故答案为：，，；（2）∵观察数轴可知：，，∴，，，．3.(1)4，0(2)，3(3)，4【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键．（1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值