2027年高考数学一轮复习(创新设计)第10节　指、对、幂的大小比较方法

数学

高考总复习第二章

函数第10节指、对、幂的大小比较方法INNOVATIVEDESIGN备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群1013654970指数与对数是高中一个重要的知识点,也是高考必考考点,其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点,主要考查指数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对数函数和幂函数的性质.题型分析例1(1)设a＝0.60.3,b＝0.30.3,c＝0.30.6,则a,b,c的大小关系为(

)A.b<a<c B.b<c<aC.a<b<c D.c<b<aD因为指数函数y＝0.3x在R上为单调递减函数,所以0.30.3>0.30.6,即b>c,又幂函数y＝x0.3在[0,＋∞)上为增函数,所以0.60.3>0.30.3,即a>b,所以a>b>c.题型一求同存异

D依题意,a＝log37＝log949,故a>b;而a<log39＝2<c,故b<a<c,故选D.感悟提升求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同,则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系,要熟练运用指数、对数公式、性质,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.

D

D

D

题型二用特殊值作中间变量

A感悟提升

训练2(1)(2026·河北邢襄联盟联考)若a＝0.30.4,b＝0.40.3,c＝2log83,则a,b,c的大小关系为(

)A.c<a<b B.b<a<cC.a<b<c D.a<c<bC因为y＝0.3x在定义域上单调递减,所以a＝0.30.4<0.30.3.因为y＝x0.3在区间(0,＋∞)上单调递增,所以0.30.3<0.40.3＝b<1,故a<b<1.又c＝2log83＝log89>1,所以c>b>a.故选C.

C

C

题型三构造函数比较大小感悟提升如果要比较大小的数或式子,或题目中所给的条件具有相同的结构特征,则可根据这种结构特征构造函数,然后利用该函数的单调性或其他性质比较大小.训练3(2026·烟台质检)若2a＋log2a<22b＋log2b＋1,则(

)A.ln(2b－a＋1)<0 B.ln(2b－a＋1)>0C.ln|a－2b|>0 D.ln|a－2b|<0B对已知不等式变形可得2a＋log2a<22b＋log22b,令f(x)＝2x＋log2x,x>0.易知函数y＝2x与y＝log2x在(0,＋∞)上均为增函数.所以函数f(x)＝2x＋log2x在(0,＋∞)上为增函数,2a＋log2a<22b＋log22b,即f(a)<f(2b),故a<2b,即2b－a>0,所以2b－a＋1>1,则ln(2b－a＋1)>0,故A错,B正确.无法确定|a－2b|与1的大小,故无法确定ln|a－2b|与0的大小,C,D都错,故选B.1.教材母题(人教A必修一P43T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.本题得到的不等式称为糖水不等式:对数型糖水不等式教考衔接(1)设>>0,

>0,则有<.(2)糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有>.2.对数型糖水不等式(1)设n∈N*,且n>1,则有log(n＋1)n<log(n＋2)(n＋1);(2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a＋m)(b＋m);(3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b＋m)(a＋m).

A

课时对点精练03一、单选题1.已知a＝20.3,b＝30.2,c＝log0.20.3,则(

)A.b>c>a B.c>b>aC.a>b>c D.b>a>cD依题意,b＝30.2＝90.1>80.1＝20.3＝a>1,c＝log0.20.3<log0.20.2＝1,所以b>a>c.

A

D

4.(2026·铜仁质监)已知0<m<n<1,x＝lognm,y＝mn,z＝nm,则(

)A.x<y<z B.y<x<zC.z<y<x

D.y<z<x D因为0<m<n<1,所以x＝lognm>lognn＝1,0<y＝mn<m0＝1,0<z＝nm<n0＝1,易知函数f(x)＝mx(0<m<1)单调递减,则y＝mn<mm,函数g(x)＝xm(0<m<1)单调递增,则mm<nm＝z,所以y<z,因此y<z<x.故选D.5.已知实数a,b满足2a＋2a<2b＋2b,则a,b的大小关系为(

)A.a>b B.a＝bC.a<b D.不能确定C设f(x)＝2x＋2x,x∈R,则f(a)<f(b),因为函数y＝2x和y＝2x在R上都为增函数,所以函数f(x)在R上为增函数,所以a<b.6.(2026·白银模拟)若a＝log53,b＝log5018,c＝lg6,则(

)A.b<c<a B.a<c<bC.c<a<b D.a<b<cD

7.(2025·赣州三模)已知a＝log23＋log32,b＝log45＋log54,则下列结论正确的是(

)A.a>b>2 B.a>2>bC.b>a>2 D.2>a>bA

C

9.(2025·重庆模拟)若b>c>1,0<a<1,则下列结论正确的是(

)A.ba<ca B.logba>logcaC.cba<bca D.blogca>clogbaBC

二、多选题且b>c>1,∴ba－1<ca－1,∴cba<bca,故C正确;对于D,由选项B可知0>logba>logca,∴0<－logba<－logca,∵b>c>1,∴c(－logba)<b(－logca),∴blogca<clogba,故D错误.

ABD11.设a＝ln4,b＝lg4,c＝20.6,则(

)A.b>a B.c>aC.a－b>ab D.a＋b>abBD

12.已知a＝log20.5,b＝20.5,c＝sin2,则a,b,c的大小关系为_______________.

a<c<b