新版2026年秋季高中数学选修二数学讲义合集

第1讲数列的概念数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项。数列的分类：①按项的个数分类：有穷数列，无穷数列；数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这5、(多选题)数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是()。6、已知数列{a}的通项公式为a。=3n²-28n。(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问-49是否是该数列的一项?如果是，应是哪一项?68是否是该数列的一项?(1)这个数列的第4项是多少?(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项，它是第几项?(3)该数列从第几项开始各项都是正数?(1)若a=-1,写出这个数列的前5项，并推测它的通项公式；(2)若a₁=3,写出这个数列的前5项，并推测它的通项公式。2、数列{a}满足a₁=1,且a₁-a=n+1(n∈N*),则数列前10项的和为()。BCD、B、数列的前100项和为C、数列的前100项和为D、数列{a}的前100项和为50050(1)S,=3"-22、已知数列{a}的前n项和为S,=2n²+n+1,求数列{a}的通项公式。4、已知数列{a}的前n项和为S,若S,=n²+n,」,则数列{b}前2024项_第2讲等差数列6、将等差数列1,4,7,……,按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是斐波那契数列满足S,=a+-1.1们称之为神奇数。具体数列为：1,1,2,3,5,8,.….,即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和。已知数列{a}为斐波那契数列，S,为数列{a)的前n项的和，若8、已知首项为3的数列{a满则a,=._·10、(师大附中2025年春期中)已知f(x)+f(1-x)=2,则数列{a}的通项公式为()。(2)m+n=1+k=am+a。=a₂+a(反之不一定成立):当m+n=2p时，有a+aa=2a。:3、在等差数列{a}中，as=33,as=66,则a₃₅=.”7、已知{a,}为等差数列，a₃+ag=2210、在等差数列{a}中，前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为1、在数列{a}中，已知a₁=1,且na+1=(1)设c,=an+1-a,求证：数列{c}是等差数列；3、(2021年全国乙卷理)记S,为数列{a}的前n项和，b,为数列{S)的前n项积，已知(2)求{a}的通项公式。4、(2022年全国甲卷理)记S,为数列{a}的前n项和，已(1)证明：{a}是等差数列；(2)若a₄,a,a,成等比数列，求S的最小值。(1)已知a,a,及n,则(2)已知a,d及n,则2、已知等差数列{a}满足a₂+a₄=4,a₃+a₅=10,则它的前10项的和S₀=()3、等差数列{a}的首项为1,公差不为0,若a₂·a₆=a²,则{a}前6项的和为(),5、设S,是等差数列{a)的前n项的和，若a₁+a₃+a₅=3,则S₅=()。9、(2020年新高考1卷)将数列{2n-1)与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a),则11、(多选题)设公差小于0的数列{a的前n项为S,若S₀=S₁,则()。14、(多选题)(师大附中2025年秋期末)已知数列{a}的前n项的和为S。,则下列说法正确的有(。20、(2020年全国卷1文)若数列{a)满足a扞+2+(-1)*a。=3n-1,前16项的和为540,则(1)求数列{a}的通项公式；(2)令求数列{b,}的前n项的和T,。(裂项求和)22、(明德2024年秋期末)已知数列{a满足a=1,(1)若求证：{b}为等差数列；(2)求数列{a,aa+的前n项和T。(裂项求和)(1)求证：数列{a}为等差数列；(2)若a=-2,c,=13+a,数列{c}的前n项和为T。第3讲等比数列成等比数列→G²=ab若等比数列{a的首项为a,公比是q,则其通项公式为an=a₁q"¹;第18页共90页2、等比数列{a}中，ay+ag=124,a₄·a₂=-512,公比q为整数，则a10=·3、设等比数列满足a₁+a₂=-1,a₁-a₃=-3,则a₄=。4、设{a}是等比数列，且a₁+a₂=1,ag+a₄=2,则a₅+a₆=.a6、已知等比数列{a}的公比,则8、(麓山国际2023年秋月考)已知各项都为正数的等比数列{a,若ag·a₂+5a=14,则log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+logza₁9=9、若数列{a}的前n项和则数列{a}的通项公式a。=。10、(明德2024年秋期末)已知a=1,an+1=3a,+2(n∈N*),则通项公式a,=11、数列{a}中，若a,=1,ag+L=2a,+3(n∈N*),则该数列的通项a=()。12、已知数列{a)满足a₁=-2,a+1=2a-3,求a。13、已知数列{a)满足a₁=2,a+=3a,-6。(1)记b,=a-3,证明：{b}是(2)求数列{a}的前n项和T。(分组求和)2、设等比数列{a}前n项的和为S,若S₃=9,S₆=36,则a₁₀+a+a₁₂4、(2018年全国卷1理)若S,为数列{a}的前n项和，若S。=2a+1,则S₆=.A、14B、26C、14或26D、12或267、(2023年全国甲眷理)已知正项等比数列{a}中，a=1,S,为{a的前n项和，8、(2023年新高考2卷)记S,为等比数列{a的前n项和，若S₄=-5,S₆=21S₂,则S₈=(1)求数列{a,}的通项公式；(2)记b₀=a+log₂a+L,求数列{b,}的前n项和T。。(分组求和)10、(2024年全国甲卷文)已知等比数列{a}的前n项和为S。,且25,=3a+-3。(2)求数列{S)的前n项和。(分组求和)11、已知公差不为0的等差数列{a(1)求数列{a}的通项公式；(2)数列{b,)满足求数列{b,}的前n项的和S,。(裂项求和)设(2)求数列{a}的前n项的和T。(2)若b₄=(2n-1)a,求数列b}的前n项的和T。(错位相减求和)14、设数列{a是等差数列，数列{b}是各项都为正数的等比数列，且a=1,b₁=2,(2)设c,=a,b,数列{c}的前n项和为T,求证：T,≤n²·2"⁻¹+2。(错位相减求和)15、(2020年全国卷1理)设{a)(1)求{a}的公比；(2)若a=1,求数列{na,)的前n项和。(错位相减求和)(1)求数列{a,{b,}的通项公式；(2)求数列{a·b,}的前n项和D。(2)求数列的前n项和T,。(错位相减法求和)(2)设b₅=(-1)"⁻¹na,求数列{b}的前n项和T。(错位相减法求和)19、(麓山国际2023年秋月考)已知数列{a}满足a₁=1,a+=3a,+2(n∈N*),数列{b)(2)令,求数列{c.}的前n项和T,并证明：第4讲导数的概念及其意义(3)计算平均变化率：平均速度：设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),在t。到t₀+△t这瞬时速度：作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫作瞬时速度。设物体运动的路程与时间之间的关系是s=f(t),当△趋近于0时，函数f(t)在t。到1、一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系式是s=3t-t²。(1)求此物体在t=2附近的平均速度；(2)求此物体在t=2时的瞬时速度；(3)求此物体的初始速度。(1)物体在t∈[3,5]上的平均速度；(2)物体在t=1时的瞬时速度。(2)求平均变化率：(3)取极限得导数：割线PQ的斜率函数y=f(x)在x=x₀处的导数就是曲线第31页共90页第5讲导数的运算f(x)=C(C为常数)函数导数y=c(c为常数)y=a⁸(a>0且a≠1)y=logx(a>0且a≠1)1、两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数导数的和(差)。2、若函数f(x)=ax⁴+bx²+c满足f(1)=2,则f(-1)=()。5、(2020年全国卷3文)设函数,若,则a=6、若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x8、函数f(x)=ecosx在点(0,f(0))处的切线斜率为(。A、0B、-1C、1D9、(2019年全国卷1理)曲线y=3(x²+x)eˣ在点(0,0)处的切线方程为_四12、(2021年全国甲卷理)曲线在点(-1,-3)处的切线方程为_13、(2023年全国甲卷文)曲线在点处的切线方程为()。17、(2016年全国卷2理)若直线y=kx+b是曲线y=Inx+2的切复合函数的导数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'=[f(g(x))]'=f(g(x))·g((1)y=e²+第6讲导数在研究函数中的应用注意：在某个区间内f(x)>0(或f(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充(1)求函数f(x)的定义域；(2)求出f(x);是下图中的(。AA解集为(。(1)求a的值：(2)求函数f(x)的单调区间。已知函数的单调性求参数范围时，f(x)为增函数时，则f(x)≥0;f(11、(2023年新高考2卷)已知函数f(x)=aeˣ-Inx在区间(1,2)单调递增，则a的最小值为减，则m的取值范围为()。(1)求f(x)的极值；已知函数y=f(x),设x₀是定义域(a,b)内任一点，如果对x₀附近的所有点x,都有bby(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)=0的全部实根；右侧f(x)<0右侧f(x)>0则f(x)的极大值与极小值分别是(。A、在(-∞,0)上为减函数B、在x=0处取极小值A、x=1为f(x)的极大b=B(1)求常数a,b,c的值；8、已知函数f(x)=ax³-2x²+x+c在R上有极值点，则a的取A、f(x)有两个极值点10、(多选题)(2022年新高考1卷)已知函数f(x)=x³-x+1,则()。A、f(x)有两个极值点11、(多选题)(2024年新高考1卷)设函数f(x)=(x-1)²(x-4),则(),13、(多选题)已知,则下列结论正确的是()。14、若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是a的取值范围是(。(2)求f(x)的单调区间和极值。(2)若a=-3,求函数f(x)的极值。(1)当a=-1时，求f(x)的单调区间；(1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m三、函数的最大(小)值与导数如果在函数定义域I内存在x₀,使得对于则称f(x₀)为函数f(x)在定义域I上的最大值(或最小值)。的最大值是2,则的值为5、(师大附中2024年秋期末)函数y=5√x-1+√10-2x的最大值为()。6、已知关于x的函,其导函数为f(x),(1)求实数b,c的值；(2)求函数f(x)在[-1,2]上的最7、(长郡2024年秋期末)已知函数(a∈R)在x=-3处取得极值。(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)在区间[-3.3]上的最大值。(1)若a=e,且求函数f(x)的最值；第7讲导数综合题1、已知f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数。当x<0时，f(x)g(x)<f(x)g'(x),且f(-3)=0,则的解集为(,则f(x)>3e×的解集为()。5、设函数f(x)的导函数为f(x),且对任意x∈R都有f(x)>f(x)成立，则()。(1)对于不等式f(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e'f(x);(2)对于不等式f(x)-f(x)>0(或<0),构造函数(3)对于不等式xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);(4)对于不等式xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数大小)比大小)3、(长郡2025年秋期末)已知,则a,b,c的大小关系为(。(利用比大小)4、(师大附中2023年春月考)已知a=In√3,b=e⁻¹,,则a,b,c的大小关系为5、(多选题)对于函数下列说法正确的是(。6、(多选题)已知下列说法正确的是()。11一eC、f(x)的极大值为e00xyx,则(。(利用e≥x+1和x-1≥Inx比较大小)4、(2018年全国卷3文)已知函数(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程：(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0。(1)若,求f(x)的单调区间；(2)当x≥0,f(x)≥0时，求a的取值范围。1、(2013年全国卷1文)已知函数f(x)=e(ax+b)-x²-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))(1)求a,b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。2、(2015年全国卷2文)已知函数f(x)=Inx+a(1-x)。(1)讨论f(x)的单调性；第60页共90页3、(2024年新高考2卷)已知函数f(x)=eˣ-ax-a³。(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围。1、(2012年全国卷1文)设函数f(x)=e⁶-ax-2,其导函数为f(x)。(1)求函数f(x)=e-ax-2第62页共90页2、已知函数f(x)=ax-eˣ(a∈R,e为自然对数的底数)。(1)讨论f(x)的单调性；(1)讨论f(x)的单调性；2、已知函数f(x)=(2a+2)Inx+2ax²+5,则实数a的取值范围是(),(1)求a,b的值：(2)商型：(3)和差型：6、已知实数x,x₂分别满足xe=e³,x₂(Inx₂-2)=e⁵,7、已知函若f(x)>0恒成立，则实数a的10、(2020年新高考1卷)已知函数f(x)=ae⁻¹-1nx+lna,(2)若f(x)≥1,求a的取值范围。11、(雅礼2023年春期末)已知函数f(x)=Inx-x²+x。(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；2、(2018年全国卷1文)已知函数f(x)=aeˣ-Inx-1。(2)证明：当时，f(x)≥0。(1)求a;(2)设函数,证明：g(x)<1。6、(2024年全国甲卷文)已知函数f(x)=a(x-1)-1nx+1。1、已知函数f(x)=eˣ-x,g(x)=x²-2mx,若对任意x∈R,存在x₂∈[1,2],满足2、(雅礼2025年春期末)已知m,n为实数，f(x)=e-mx+n-1,若f(x)≥0对x∈R恒成立，则的最小值是()。(零点比大小)4、已知不等式eˣ-4x+2≥ax+b(a,b∈R,a≠4)数法)7、(2017年全国卷1文)已知函数f(x)=e(e⁵-a)-a²x。(1)讨论f(x)