学案平面向量的应用

平面向量的应用

【第一学时】

学习重难点学习目标核心素养

会用向量方法解决平面几何中的

向量在平面几何中的应用平行、数学建模、逻辑推理

垂直、长度、夹角等问题

会用向量方法解决物理中的速度、

向量在物理中的应用数学建模、数学运算

力学问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

2.如何用向量方法解决物理问题？

二、合作探究

探究点1：

向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

匐I如图所示，在正方形A8CQ中，E,尸分别是A8,8c的中点，求证：AF1DE.

R

证明：法一:设劝=a,A^=b,

则⑷=|臼，。山=0,

又瓦=DA+油=—0+与，#=3+砂=方+%,

所以疗.阮=(万+%).(_〃+；，=_力+12=一肯32+如2=0.

故/J_DE,即Ar_LDE.

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E

(1,0),F(2,1),AP=(2,1),Dt=(1,-2).

因为乔江=(2,1)-(1,-2)=2-2=0,

所以#J_彼，即A/J_OE.

角度二：平面几何中的平行(或共线)问题

__CFAF

值如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E,尸分别在边CDA8上，且器=转=

LurD

求证：点E,。，厂在同一直线上.

证明：设息二帆，Ab=n,

CFAP\

由慌=而=5，知匕/分别是C。，AA的三等分点,

所以协=网+我)=!成+;祀

=­T//i+z(帆+〃)=

ok=ot+ci：=%t、+；e

=21/(m-Itn)、-q1m

所以初=无.

乂。为劭和碇的公共点，收点、E,O,尸在同一直线上.

角度三：平面几何中的长度问题

(HT31如图，平行四边形A8CO中，已知A3=l,AB=2,对角线8。=2,求对角线AC

解：设口力=a,m=b,则沉)=〃一》，祝=。+〃，

而|歹力|=|々一例=yjct~—2ah~\~b~=71+1—=75—2a.b=2,

所以5—2〃6=4,所以。6=今又|祀]2=1。+肝=层+2。。+/=]+4+2a.b=6,所以何

|=2%,即AC=加.

探究点2：

向量在物理中的应用

丽(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25

km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力人=(3,4),Fi=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)

移动到点8(7,0),求Q,乃分别对质点所做的功.

W：(1)如图，设牯表示水流的速度，劝表示渡船的速度，祝表示渡船实

际垂直过江的速度.

因为牯+劝=祀，所以四边形4BCO为平行四边形.

在RSACZ)中，Z/1CD=900,|碇|=|掂|=12.5.

|初|=25,所以NC4Q=30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力尸作用下的位移为s,则所做的功为W=*s.

因为初=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

所以用=八牯=(3,4).(-13,-15)

=3x(-13)+4x(-15)=-99(焦)，

肌=尸2•初=(6,-5)•(-13,-15)

=6x(-13)+(-5)x(-15)二-3(焦).

三、学习小结

1.用向量方法解决平面几何问题/J“三个步骤”

建立平面几何与向■的联系，用向一―

〈找夕一示问题中涉及的几何元东，将平而几何

Y向胭转化为向员问题

&端、一通过向量运算，研究几何元素之时的关

、、7n系，如距离、夹角等问题

■片＞T把运算结果“翻译”成几何关系一

2.向量在物理学中的应用

(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法

相似，可以用向量的知识来解决.

(2)物理学中的功是一个标量，即为力尸与位移s的数量积，即W=Es=|尸||s|cos。

为尸与s的夹角).

四、精炼反馈

1.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在

静水中的速度大小为()

A.10m/sB.2A/26m/s

C.4&m/sD.12m/s

解析：选B.由题意知饮水|=2m/s,仅幻|=10m/s,作出示意图如图.

所以小船在静水中的速度大小/可

|V|=^/102+22=2V26(m/s).

2.已知三个力力=(—2,—1),力=(—3,2),力=(4,-3)同时作用于某物体上一

点，为使物体保持平衡，再加卜.一个力力，则人=()

A.(-1,-2)B.(1,-2)

C.(-1,2)D.(1,2)

解析：选D.由物理知识知£+力+力+,=0,故4=一(/+力+力)=(1,2).

3.设P,。分别是梯形48CO的对角线AC与3。的中点，A8〃QC,试用向量证明：PQ

//AB.

证明：设力t=九或(丸＞0且闿1),因为殓=双一#=磊+地一#=油+；(勤一双)

=AS+1[(Ab-A^)-(初+阮)]

=油+义(cb—Ah)

=z(Cf)+m)=z(—2+1)戏,

乙乙

所以匝〃初，又RQ,人，A四点不共线，所以PQ〃人正

【第二学时】

学习重难点学习目标核心素养

余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理

掌握余弦定理的几种变形公式及应

余弦定理的推论数学运算

用

能利用余弦定理求解三角形的边、角

三角形的元素及解三角形数学运算

等问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.余弦定理的内容是什么？

2.余弦定理有哪些推论？

二、合作探究

探究点1：

已知两边及一角解三角形

_____rA(5

(1)(2018・高考全国卷II)在4八8。中，cos5=V，BC=1,AC=5,则A8=()

A.4啦B.同

C.^29D.2小

（2）已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为小b,c,a=小,c=2,cosA=|,则力

=（）

A.y/2B.小

C.2D.3

解析；（1）因为COSC=2COS2y—1=2x^—1=—1,所以由余弦定理，得+

-2ACBCcosC=25+l-2x5x|x-|j=32,所以A8=4&,故选A.

（2）由余弦定理得5=22+/—2X2〃COSA,

2

因为cosA=y,所以3b2—8〃-3=0,

所以6=3,=―1舍去）.故选D.

答案：（1）A

（2）D

互动探究：

变条件：将本例（2）中的条件"=小，c=2,cos4=/改为、=2,c=25，cosA=坐”，

求〃为何值？

解：由余弦定理得：

2bccosA,

所以22=y|（26）22K3K2，5K坐，

即//—6力+8=0,解得匕=2或匕=4.

探究点2：

已知三边（三边关系）解三角形

喧（1）在AABC中，已知a=3,b=5,c=5,则最大角与最小角的和为（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

（2）在△ABC中，若（a+c）（a-c）=b（。-8,则A等于（）

A.90°B.60°

C.120°D.150°

解析：（1）在△/WC中，因为4=3,b=5,c=y[\9,

所以最大角为8,最小角为A,

/+/一029+25—191

所以cosC=-ZL-U7U—=«X入。入"J=5L,所以。=60。，所以4+8=120。，所以△A8C中

的最大角与最小角的和为120。.故选B.

一(T1

(2)因为(〃+c)(〃-C)=/?"—C),所以/+<?—〃2=bc,所以COSA==T.因

2.DC2

为4W(0°,180°),所以A=60。.

答案：(1)B

(2)B

探究点3：

判断三角形的形状

倒⑶在aABC中，若序5而。+/5*8=2/？80$氏05。，试判断△ABC的形状.

解：将已知等式变形为

b1(1—cos2C)+c2(1—COS2B)=2/?CCOS8cosC.

由余弦定理并整理，得

仅+廿_%2

从+c2—加I2*J

I奇"")

H+c2一//+/―/

=2Z?cxlac*lab

[(〃+〃2-62)+(c/+c2-〃)]24/

所以〃+c2=

所以A=90。.所以△A8C是直角三角形.

三、学习小结

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角

文字语言

的余弦的积的两倍

/=y+/—2bccos_A

符号语言序=42+《2-2accos8

d=42+-2—2出？COSC

2.余弦定理的推论

〃+C2—/

cosA=

2bc

序十一一及

cosB=2ac;

^+店―/

cosC=-2ab-

3.三角形的元素与解三角形

（1）三角形的元素

三角形的三个角A,B,。和它们的对边&b,c叫做三角形的元素.

（2）解三角形

已知三角形的息金元素求其他谴的过程叫做解三角形.

四、精炼反馈

1.在△ABC中，已知a=5,b=7,c=8,则A+C=（）

A.90°B.120°

C.135°D.150°

a2+c2—b225+64—491

解析：选B.COSB——荻一=2x5x8

所以8=60。，所以4+C=120。.

2.在△A8C中，已知（〃+/?+<?）(〃+c—a)=3hc,则角A等于()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

解析:选B.因为(b+c)2-a2=b2+c2-\-2bc-a2=3bc,

所以tr-\-(r—cr=bc,

〃+c，-cr1

所以cosA=-ZJ--=5,所以A=60。.

乙UI4

3.若的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+Z?)2-？=4,且C=60。，则必

解析：因为C=60。，所以/=/+〃一2出。）560°,

即<?=/+/—,成①

又因为（〃+万）2—仃2=4,

所以/=/+〃+2，山一4.②

4

由①②知一4,所以

答案：|4

4.在A48C中，acosA+/?cos8=ccosC,试判断△ABC的形状.

/?，+Q-/C2+a?—〃/+­02

解：由余弦定理知cos4=2”,，cosB=",cosC=7,,代入已知

〃+/—cr，+/-//，―/一扶

条件得2ab

通分得/（庐+c2-/）+-（/+/一〃）+。2（一一片一炉）=0,

展开整理得（/一〃）2=c4.

所以/一加=±/,即/=/十寸或/=。2+/.

根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

【第三学时】

学习重难点学习目标核心素养

通过对任意三角形边长和角度关系

正弦定理的探索，掌握正弦逻辑推理

定理的内容及其证明方法

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题：

1.在直角三角形中，边与凭之间的关系是什么？

2.正弦定理的内容是什么？

二、合作探究

探究点1：

已知两角及一边解三角形

(STT在△A8C中，已知c=10,4=45°,C=30°,解这个三角形.

解：因为A=45°,C=30°,所以8=180。一(4+C)=105°.

.acZQcsinA[八sin45°r-

由而又=砧得〃=高下=1°X而/=l0^

A/2csi

因为sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos450+cos30°sin45。=丫4丫，所以b=春

SI

lOxsin(4+C)巾+#r,r-

探究点2：

已知两边及其中一边的对角解三角形

*己知△/WCU」的下列条件，解三角形：

(1)。=10,〃=20,A=60°；

(2)。=2,c=y[6,C=^.

ha

解：(因为

1)sinBsin4'

匚匚i、i♦n"sinA20sin60Jr-

所以sinB=—^—=——=«3>l,

所以三角形无解.

/c、e“acrr.u.4asinC\]2

(2)因为一而所以sinA一一^一2・

因为c>〃，所以04所以A寸

Sn

K二［、iD57cLcsinB''12r-

所以8=五，h=—=小+1・

sin3

互动探究：

变条件：若本例(2)中改为A=:,其他条件不变，求C,B,b.

解：因为总=卷，所以sinC=^^=^・

oI■1o111Cl乙

所以C=E或号.

当C=?时，8=万，"=^"=小+1.

当C=3时'8=五,b=—x=yl3-\.

探究点3：

判断三角形的形状

(SI31已知在^ABC中，角A,8所对的边分别是〃和江若acos8=AosA,贝IJAABC一

定是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

解析：由正弦定理得：acosB=/?cosAnsinAcos8=sin8cosAnsin(A—B)=0,由于一兀

<A-B<7t,故必有A-3=0,A=B,即为等腰三角形.

答案：A

变条件：若把本例条件变为“加in8=csinC"，试判断A4BC的形状.

解：由加in4=csinC可得si/BnsiMC,因为三角形内角和为180。,

所以sin8=sinC.所以7?=C.故△ABC为等腰三角形.

三、学习小结

1.正弦定理

条件在AABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c

a_____b_____c_

结论sinAsinBsinC

文字

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

叙述

2.正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，贝IJ

(1)a=2RsinA,8=2RsinB,c=2/?sinC；

(2)sinA=sinB=^,sinC=^

2R'

(3)sinAsinB:sinC=a：b：c；

a+/?+c

(4)=2R

sinA+sinB+sinC*

四、精炼反馈

1.(2019•辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△A8C中，AB=2,AC=3,8=60。,则cos

1

亚

V3B

AC.•3

V23

DV26

•

C

AnA

o23,解得sin。=里因为AB

解析：选B.田止弦定埋，得不7=；^］，即-

ol11V--oil1DsinCsin60°

VAC,所以CV8,所以cosC=4I-sii?。：幸.

2.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,4c,且A：8：C=\：2：3,则a：〃：c

)

A.1：2：3B.3：2：1

C.2：小：ID.1：小：2

解析：选D.在A4BC中，因为A：8：C=1：2：3,所以8=2A,C=3A,又A+8+C

=180°,所以4=30。,3=60。,C=90°,所以a：b：c=sinA：sinB：sinC=sin30°：sin600：

sin90°=1：小：2.

3.在△ABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,若c—acos8=(2a—b)cosA,则

△ABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解析:选D.已知c-acosB=(2a—b)cosA,由正弦定理得sinC—sinAcos8=2sinAcos

A-sinBcosA,所以sin(4+8)—sinAcos8=2sinAcos4—sin8cosA,化简得cosA(sinB

-sinA)=0,所以cos4=0或sinB-sinA=(),则A=9()。或A=B,故△ABC为等腰三角形

或直角三角形.

【第四学时】

学习重难点学习目标核心素养

理解测量中的基线等有关名词、术

测量中的术语直观想象

语的确切含义

会利用正、余弦定理解决生产实践

测量距离、高度、角度问题数学建模

中的有关距离、高度、角度等问题

【学习过程】

一、问题导学

预习教材内容，思考以下问题:

1.什么是基线？

2.基线的长度与测量的精确度有什么关系？

3.利用正、余弦定理可解决哪些实际问题?

二、合作探究

探究点1：

测量距离问题

(STT海上A,8两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和8岛成60。的视角，从8岛望

C岛和A岛成75。的视角，则B岛与C岛间的距离是________.

\\

解析：如图，在ZVIBC中，ZC=180°-(NB+NA)=45°,\、

由正弦定理，可得赖=/三］

所以8C=$<10=5#(海里).

答案：5册海里

互动探究：

变条件：在本例中，若“从8岛望C岛和A岛成75。的视角”改为“4,C两岛相距20

海里”，其他条件不变，又如何求〃岛与C岛间的距离呢？

解：由已知在中，A8=10,AC=20,N84C=60。，即已知两边和两边的夹角，利

用余弦定理求解即可.

BC2=AB2-\-AC2-IAEACeos600=102+202-2x10x20x^=300.故8C=1味.

即从C间的距离为1丽海里.

探究点2

测量高度问题

倒②如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到4处时测得公路北侧一山顶D

在西偏北30。的方向上，行驶600m后到达"处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为

30。，则此山的高度CO=।

D

B4

解析：由题意，在△ABC中，ZBAC=30°,ZA£?C=180°-75°=105°,故/AC8=45。.

又AA=600m,故由正弦定理得J瑞=看诃

解得3C=300&m.在RsBCO中，CD=BC-tan3O0=3O(h/2x^=lOO7b(m).

J

答案：100＞河

互动探究：

变问法：在本例条件下，汽正在沿直线AA方向行驶的过程中，若测得观察山顶。点的最

大仰角为a,求tana的值.

解：如图，过点C,作CE_L4-垂足为E,则NOEC=a,由例题可知,

NCBE=75°,8C=300vL

所以CE=BCsinZCBE

=30()V2sin75°

二30(增仲：木

-15O+15OV3.

,xrlDClOOx/B3也一加

所以1皿『行=]50+15砧=3-

探究点3：

测量角度问题

㈱⑶岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10

海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方

向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北

偏东75。方向且相距10海里的C处，随即以每小时1附海里的速度前往

拦截.

（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

（2）假设海监船在。处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.

解：（1）根据题意得NBAC=45。,ZABC=15°,BC=10,

所以乙4。8=180。-75。-45>=60。,

ABBC

在△ABC中，由

sinZACB~sinZBAC'

BCsinNACB1Osin60。

得AB=sinZBAC=sin45°=~巫

2

所以海监船接到通知时，在距离岛A5黄海里处.

（2）设海监船航行时间为，小时，则80=16同，CD=\0t,

又因为N8CO=180。一NACB=180。-60。=120°,

所以BD*2=BC24-CD2-2BCCDcos1200,

所以300?=100+100/2-2xl0xl0r-|3

所以2?—/—1=0,

解得f=l或，=一3（舍去）.

所以CO=1(),所以8C=CZ),

所以(180。—120。)=30°,

所以NA80=750+30°=105°.

所以海监船沿方位角105。航行，航行时间为1个小时.

（或海监船沿南偏东75。方向航行，航行时间为1个小时）

三、学习小结

1.基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.

2.基线与测量精确度的关系

一般来说，基线越长，测量的精确度越高.

3.实际测量中的有关名称、术语

名称定义图示

在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的1视线

仰角蜀水平线

夹角

在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的第卜y角水平线

俯角

夹角线1视线

南偏西60。（指

西〕

以正南方向为

从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是

方向角始边，转向目

指正北或正南或正东或正西，方向角小于90。）

标方向线形成

的角）

匕

从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平（）网）120°

方位角

角

四、精炼反馈