新北师大版86双曲线学案

笫六节双曲线

【考试要求】，了解双曲线的刻画现实世界和解决实际问题中的作用2r解双曲线的定

义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质3了解双曲线的简单应用.4.理解数形结合

的思想.

夯实•主干知识知识诊斯基应夯实▼

■知识梳理回顾知识

1.双曲线的概念

平面内到两个定点K，B的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于尸产力的

定义

点的集合(或轨迹)叫作双曲线

隹/»**占/.、、两个定点H，尸2叫作双曲线的焦点

焦距两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距

集合语言

P={M\MFi\-\MF2\\=2a,0<2a<\F\F2\}

集合尸={M|I|MQ|一|M&||=2〃},|F|F2|=2C,其中心c为常数且公>0,c>0：

(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；

(2)当a=c时，尸点的轨迹是两条射线；

(3)当时，P点不存在.

2.双曲线的标准方程和简单几何性质

f上

F一及=ia2从一

标准方程

(a>0,b>0)(a>0,/?>0)

w

图形SiLdS?2x

焦点-(l-C,0),<2(c,0)Fi(0,—c),F?(0,c)

焦距l-l=2c

范围xW—a或Go,y£Ra或怜a,xWR

性对称轴：坐标轴;

对称性

质对称中心：原直

顶点0),/h(a，0)4(0,~a),42(0，a)

实轴：线段长：四；虚轴：线段8田2，长：2b,实半轴长：

轴

a,虚半轴长：b

离心率e=a

ba

渐近线

2

atbtc的关系c=,c＞力＞0)

［常用结论］

双曲线中的几个常用结论

1.焦点到渐近线的距离为从

2.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.

3.双曲线为等轴双曲线台双曲线的离心率6=也3双曲线的两条渐近线互相垂直(位

置关系).

4.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为第.

5.过双曲线焦点Q的弦与双曲线交在同支上，贝!A8与另一个焦点上构成的△ABB

的周长为4〃+2M用

「■诊断自测激活技能

［思考辨析］

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)方程5=1(〃!〃>0)表示焦点在X轴上的双曲线.()

(2)双曲线号一力=1("7>0,〃>0,4产0)的渐近线方程是1=0.()

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于也.()

09?2,

(4)若双曲线S—p=1(«>0,8X))与萨一力=l(a>0,力>0)的离心率分别是ei，及，则

i+±=1-()

答案：(1)X(2)7(3)7(4)7

［对点查验］

一^=1上一点，Fi，B分别为G的左、右焦点，则“IPBI

1.若点P是双曲线G：J

=5”是“|P尸||=9"的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

A由题意可知，«=2,c=>4+12=4,|PQ|》c-a=2,

若|P尸d=5,则IIPBI—5|=4,|P尸I|=9或1（舍去）,

若|PFi|=9,|9一俨&||=4,仍匕|=5或13,

故“方同=5”是“|PQ|=9”的充分不必要条件.故选A.

2.已知双曲线5一1=1（。>0,历>0）的一条渐近线经过点（低啊，则该双曲线的

离心率为（）

A.2B.也

C.3D.小

22h

A双曲线系r一v方=1（«>0,/?>0）的一条渐近线为y=~x过第一象限，所以点

（色，、同）在渐近线），=gx上，可得加=A/2X、，所以（=小,

所以e=2=\^芸7+肾=护三人.

3.经过点A（3,-1）,且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为.

答案1一［=1

解析设双曲线的方程为也—^2=±1（0>0）,

把点4（3,-1）代入，得〃=8（舍负），故所求方程■为卷一卷=1.

OO

4.（2。22.全国甲卷）记双曲线C：券=1（〃>0,〃>0）的离心率为写出满足条件“直

线y=2x与C无公共点”的e的一个值.

答案2（满足"W下皆可）

解析07-%=15>°，b>0）,所以C的渐近线方程为y=±gx,

结合渐近线的特点，只需0<£W2,即,W4,

可满足条件“直线），=2r与。无公共点”

所以eAW、l+4=小，又因为6>1,所以l<eW邓,

5.双曲线,一监=1上一点P到焦点月（-5,0）的距离为7,则点P到焦点22（5,0）

的距离为.

答案13

72

解析在双曲线方一木=1中，4=3,由题急得|「尸||=7,

当A,P,b'f三点共线时取到，故/=2|A/i+2a=4（1+也）.故选B.

思维升华在“焦点三南形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PQ|一|P&||=2。,

运用平方的方法，建立与|PFi|・|PB|的联系.

对点强化1（1）（2022•湖北宜城市第一中学模拟）已知尸2分别是双曲线C：方一三=

1的左、右焦点，动点。在双曲线。的右支上，则（|PQ|-4）・（|P尸¥—4）的最小值为（）

A.-4B.-3

C.-2D.—1

B因为动点尸在双由线。的右支上，由双曲线定义可得：

1^1-1^21=4,

所以俨利=仍尸2|+4,因为/=4,从=21,所以a=2,c=yla2+b2=5,

所以|PB|2c—〃=5—2=3,将伊川=|产BI+4代入(|。川一4)・(|PBI—4)得：|PBI

-4)=俨BF-4上问=(仍问—2)2—42B.

⑵（•陕西西北工业大学附属中学模拟）已知双曲线：的左焦点为

2022CoO=1F,

点M在双曲线C的右支上，4（0,4）,当△蛇产的周长最小时，尸的面积为（）

A.2B.4

C.8D.12

D设双曲线。的右焦点为尸，则〃=26,尸(一4,0),F'(4,0),又A(0,4),所以

\AF]=yl42+42=472,

由双曲线的定义知，|M/q一|M尸|=2a=4g,

所以|MFl=|MQ|+4也，

所以△/人户的周长为|M川+|MF|+|AF|=|MA|+（|M7|+46）+4^4冽M'A\+\M'F\

+8W=|4k|+8审=12^2,

即当M在M即A尸与双曲线的交点处时，△蛇尸的周长最小，此时直线4广的方程为

y=­x+4,

y=-x+4

联立，即V2-(-V+4)2=-8,解得y=l,即yw=l,

.8一K

故△”人尸的面积为尸尸I・（衣一），/）=；XgXD.

4乙

考点二双曲线的标准方程

1.（2022•宁波期末）已知双曲线G与双曲线C2：f-r=l有相同的渐近线，且它们

的离心率不相同，则下列方程中有可能为双曲线Ci的标准方程的是（）

23

———=IR工一工一［

A.421B.24

2

_vX1

C.D.一不

双曲线C2：y一）'=1中，ci\=y[2,b\=\,c\=y[3,则渐近线方程为y=吟汇

D1

再…离心率为T脸邛.

对于A,〃=2,b=y[2,。=乖,则离心率°=崇=乎,故A错误：对于B,a=\Jl

b=2,c=y[6,则渐近线方程为），=域4,故B错误；对于C,。=2,b=y/2,c=y/6,

则离心率e=\=乎，故C错误；对于D,,b=2,c、=#,则渐近线方程为了=

离心率e=^=’，故D正确.故选D.

2.（2022・佛山调研）已知R,尸2分别为双曲线，一板=130,比＞0）的左、右焦点，P

为双曲线上一点，尸用与工轴垂直，NPFiB=30°,且虚轴长为2吸，则双曲线的标准方

T££

X2

一-2?-2

4=1B.

c.f-lD..r2—=1

由题意可知仍氏尸邛^,|PF2|=2^,2b=2\l2,由双曲线的定义可得半-

D

=2a,即。=小a.

又b=y（2,，=序+）2,

：.a=\,J双曲线的标准方程为炉一三D.

Y2V2br2

3.（2022.全国模拟）已知双曲线C一方=1（〃＞。，比⑼满足蓝=2，且与椭圆三+

4一1有公共焦点，则双曲线。的方程为（）

x-y-fy2

A.4-5=1B-8"ID=,

『V21

C.7~4口D-4-3

A由椭圆的标准方程为书=1,可得c?=12—3=9,即c=3,

因为双曲线。的焦点与榜圆古+方=1的焦点相同，所以双曲线。中，半焦距c=3,

又因为双曲线C：马—^2=1（«＞0,力＞0）满足e=坐，即b=W尊ar

ciua—n

2

又由〃2+从=/,即/+=9,解得/=4,可得乂=5,

所以双曲线C的方程为?一?A.

J

思维升华求双曲线的标准方程的方法

（1）定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2%2〃或2c,

从而求出苏,吩,写出双曲线方程.

（2）待定系数法：先确定焦点在x轴上还是），轴上，设出标准方程，再由条件确定/,

?2

〃的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为5一/=

加工0）,再根据条件求a妁值.

考点三双曲线的简单几何性质

命题点1渐近线和离心率

45版(1)(2022•杭州模拟)设Fi，尸2是双曲线C：5_*=l(a>0,b>0)的左、右焦

点，户是双曲线C右支上一点，若|PQ|+|PBI=4a,且NRPB=60°,则双曲线C的渐近

线方程是()

A.小x±y=()B.2x±币y=0

C.小x±2y=0D.2x±/y=0

CVFi,B是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，

・•・由双曲线的定义可得

|PE|一|P&l=2a,

又知|PR|+|PBI=4a,・・・|PB|=3a,|P尸2|=a

在△尸中，由余弦定理的推论可得cos60°=

|PQF+|P&F一尸产2/

2|PFi|・|尸危|'

(3〃)2+/-4c2

3a2=10/—4c\

吗2X3aXa

22222

即4C=7«,又知b-{-a=ct:4,

・•・双曲线C的渐近线方程为.y=*x,即小x±2yC.

(2)(2022•全国乙卷)双曲线C的两个焦点为B，F?,以。的实轴为直径的圆记为乃，过

Q作。的切线与C的两支交于M,N两点，且COSNF|N?2=^，则C的离心率为()

A.坐B,1

C.乎D.手

C依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过Fi作圆。的切线切点为G,如图所示，所

3

以OGLNF\,因为cosZRNF2=W>0,所以N在双曲线的右支，

所以|OG|=a,|OQ|=c,|GQ|=6,设NQNF2=a,NF?F\N=3

4a6

则-

・-.m£-£

a--s-

由cos/F\NF2=G,即cosa,slIn5SIccoc

在△尸2尸iN中，sinZFiF2N=sin(n—a—p)=sin(a+用

〃

63_3a±4b

=sinacos£+cosasin£=qX-4--X--5c

由正弦定理得亮\NF2\|NQ|5c

sin0sinZ.F\F?N2，

..5c5c3〃+4b3。+4〃5c.5ca

所以T

|NH|=ksinNFIFj2N=K-X—J—c-2-，|NBI=ksin/3=­X-

5a

T

3

3a+4。5a4b—2a即=-

又WA|一|NBI=——-y=——=2a,所以2b=3。,2

所以双曲线的离心率e=§

92

（3）（2022・全国模拟）已知双曲线「：$一卷=13>0,历>0）的实轴为4也，对于实轴44

上的任意点P,在实轴4仆上都存在点Q，使得|尸。|=小江则双曲线「的两条渐近线夹

角的最大值为.

n

答案T

解析对于实轴44上的任意点P,在实轴44上都存在点Q,使得|PQ|=小瓦

当点尸位于原点时，则要1。小九才能,满於要求.

所以々W申,设渐近线与上轴的夹角为仇则tan8W申，

GJD

因为夕则双曲线「的两条渐近线夹角为.

命题点2双曲线的简单几何性质的综合应用

、例%（1）（2022・长沙雅礼中学模拟）已知双曲线，一]=!（«>（）,〃>0）的左、右焦点分

别为B，尸2,在双曲线上存在点?满足21PB十尸尸2|，则此双曲线的离心率e的取值

范围是（）

A.（1,2]B.[2,+8）

C.（1,啦]D.4，+8）

B当户不是双曲线与K轴的交点时，连接OP,

因为。。为△PFiB的边上的中线，

所以用=；（PQ+PB）;

当〃是双曲线与X轴的交点时，同样满足上述等式.

因为双曲线上存在点P满足2|PF|+PF2|W|F|B|,所以4|历|W2c,

由|历|2a,可知4〃W2c,则e2B.

922

(2)(2022.安徽滁州期末)已知双曲线C：,一方=1(心0,[?>())与双曲线看一*=1有相

同的渐近线，过双曲线C右焦点尸的直线/与双曲线C相交于M,N两点,弦MN的中点

为G(6,6),点P是双曲线。右支上的动点，点八是以点尸为圆心，1为半径的圆上的动点，

点B是圆』+产-6)，+5=0上的动点，则|以|十|P阴的最小值为()

A.5B.4

C.3D.2

D由双曲线1—.x2=1知渐近线方程为y=±\/5x,

o22

又双曲线C：，一$=1(6/>0,力>0)与双曲线方—,r=1有相同的渐近线，

=小，:.卜=小a,，双曲线方程为3A2—>2=3。2,

设M（X1,Ji）,N（X2,以），

—yj=3a2,3g—y；=3A2,

:.3（xi+x2）（r—xi）—（J-）+”）（yi—yi）=0,

又弦MN的中点为G[6,6）,

:.36（笛―也）—12。，|-»）=（）,

・"MN=上冲=3,设Rc,0）,

乃一八2

6—0

=3,解得-4,・・・/+34/=|6,解得〃2=%

7

所以双曲线的方程为，-

12=1,

由圆f+y2—6y+5=0的方程可得『+(5-3户=4,

圆心为“(0,3),半径为2,

(|必|+|PB|)min=|PQ+|PM—1-22|”Q—3=13?+42-3=2.

当且仅当H,F,P三点共线时取等号.故选D.

思维升华(1)求双曲线的渐近线或离心率的方法

①求出a,Ac•直接求离心率，写渐近线方程.

②列出a,b,c的齐次方程(或不等式)，然后解方程或不等式.

(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等

或不等关系.

对点强化2(1)(多选题)已知双曲线C4一1=1(加>0,。>0)的离心率为挈，右顶

点为A，以A为圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则

()

A.渐近线方程为)，=力「x

B.渐近线方程为)，=*x

C.NAMN=600

D.NM4N=120°

BC由题意可得=斗^,设c=2/,/,r>0,则“=t,

所以圆4的圆心为(小t,0),半径长为/,双曲线的,新近线方程为y=3x,即)=口亭

圆心A到渐近线的距离9

所以弦长|MN|=2#二］=

21尸一3=t=b,

可得△MNA是边长为〃的等边三角形，即有NM4N=60°.故选BC.

92

(2)(2022.河南洛阳模拟)已知产是椭圆Cita+方=1(心〃>0)的右焦点，A为椭圆Ci

1,>

的下顶点，双曲线Q：布_*=1(/">(),心0)与椭圆G共焦点，若直线A厂与双曲线C?

I2

的一条渐近线平行，G，C2的离心率分别为修，会，则!+7的最小值为________

€\€2

答案2也

解析设G的半焦距为c(c>0),则/(c,0),又A(0,f

所以以户=£,又直线A厂与G的一条渐近线平行，

f)fi人2〃242—//一〃?202/

所以之,所以百，所以=:厂，所以胃=声，所以ee=l,

1,2C2+2ei、

又---b-=------=。2+2白2

e\€2e\€2

2、2。］e=2啦,

当且仅当62=2ei,即自=乎，62=6时等号成立，即;+；的最小值为2巾.

考点四双曲线的综合问题

2

、例口（2022.新高考I卷）已知点A（2,1）在双曲线C：7［上，直线I

交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.

（1）求/的斜率;

（2）若tanNHQ=2也,求△%Q的面积.

f-41

解（1）因为点4（2,1）在双曲线C:/一7一-上，所以了—7一］■=1,解

得4=2,即双曲线C：y一）?=1.

易知直线/的斜率存在，设/：y=近+加，P（A|,>'i）,。（也，”）,

y=h+/〃

联立（d=0可得，（1-2^）.r-^nkx-2nr-2=0,

£一）?=］

”.4〃山

所以，即+必=一元匚Y,

2〃尸+2

国12=布7，

V7-1

/=16m2斤+4(2〃尸+2)(2炉-1)>0=〃?2-1+2标乂.所以由心尸十心Q可得，+

X2乙

即(汨一2)(丘2+/〃—I)+(也-2)(5+/〃-1)=0,

即2依IJQ+Q”—1—2A)(X]+x2)—4(/??—1)=0,

“2nr+2,(4mk_\

所以2kx声彳+(，”一1一26(一说=71-4(/n-l)=0,

化简得，83+4A-4+4机伏+1)=(),即伏+1)(24-1+/〃)=(),

所以k=—I或m=I—2k,

当机=1一22时，直线/:)，=履+机=^x•—2)+1过点A(2,1),与题意不符，舍去,

故A=