运动稳定性与非线性振动作业含答案

献鸵悌硼

课程作业

Ch2单自由度保守系统自由振动

1、确定下保守系统或耗散系统的奇点和它的类型，绘出

相轨线并指出其分界线

1)x-x+x3=02)x+x+x3=0

3)x+2f.ix+x+xy=04)x+2fix+x-x3=0

解：各系统的相统迹图如下所示：

1)相轨迹线如图1o系统有三个奇点，其中，相点(-1,

0)和(1,0)为中心，相点(0,0)为鞍点，通过

鞍点(0,0)的相轨迹线为分齐线。

2)相轨迹线如图2。系统有一个奇点(0,0),其类型

为中心。

图1

图2或（图3〃=0）

3）当〃=o时，系统有一个奇点（0,0）,真类型为中心，

相轨迹线如图3（和图2一样）；

当〃<o时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为不稳定焦

点，相轨迹线如图4;

当〃>0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点

或结点，相轨迹线如图5。

图4〃=-0.3

图5〃=0.3

4）当〃<o时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为不稳定

焦点，相轨迹线如图6;

当〃>0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为稳定焦点

或结点，相轨迹线如图7。

当〃=0时，系统有一个奇点（0,0）,其类型为中心，相

轨迹线如图8;

C11I1i1।1ii1

3.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5

图6〃=-0.05

6

图7〃=0.6

图8〃=0

2、数学摆，摆长为/,摆锤质量为m,不计摩擦，其运动

方程为。+：sinO=(),试求出势能函数U(6),并在相平面上

画出相轨线。

解：将运动方程化为状态变量形式

0=(0

<g

co=-----sin0

sin

其相轨迹微分方程为:缥=与。

dOa)

势能函数L/(0)=JQysin^^=-j-(l-cos^|o

相轨迹线图见图9o

图9相轨迹线图

3、如图，弹簧原长为/o,刚度系数为k,物体沿光滑水平

面运动，当物体在平衡位置时，弹簧预张力为So,设

x(O)=xo=1Omm,i0=o.imm/s,/o=5Omm,So=1OkN,

昨0.1kg,k=500N/mo列出运动微分方程，转化为无量

纲形式，用相平面法作出物体的振动解。

解：运动微分方程为:

转化为无量纲形式:

x+(J().25+2)(1?+1.995x105)犬=()

,々0.0025+V

0-2s内物体振动的相轨迹如图10。

物体从相点(0.01,0.0001)出发，沿半径不断减小

的近似圆轨迹逆时针运动，逐渐趋于相点(0,0)o

图10相轨迹线图

Ch3李亚普诺夫运动稳定性理论

1、求如下微分方程的一组特解，并建立扰动方程

X]=-Xj+X[(X；+x；-1)

x2=X1+X2(X：+X；一1)

解：殳X]=rcos夕,=rsin0,贝|=rcosG-GrsxnO,

x2=rsin8+Orcos。

将以上各式代入微分方程，得到：

rcos^-^rsin6^=-rcos^+rcos6^(r2-1)

「sine+分cose=rcos^+rsin^(r2-1)

/*=/+；r(sin26-cos26^-3)

即.

0=—(sin26+cos28+1)

微分方程的一组特解为:

J(，一l)~+1-1

4=2arctan

引入受扰运动与未扰运动的差值作为新变量,

即夕=一q,（p=0-Os,则扰动方程为：

p=p3+^p(sin2^-cos2<?>-3)

9=g(sin2(p+cos2g+1)

2、用V函效法确定下系统原点的稳定性

£=y+2y3

y=-x-2x3

解：选择正定的李雅普诺夫函数V（x,），）=%4+x2+y4+y2

z\dVdV

O《加菽》不y二("+2x)(y+2)/)-(4),3+2>)(工+2巧=0

由于V沿解曲线的全导数为零，根据李雅普诺夫直接方

法，系统的原点稳定。

3、判别如下方程组零解的稳定性

x=x-y-z

«y=x+y-3z

z=x-5y-3z

解：将线性方程组写为矩阵形式：

其特征方程为:

2-111

\AE-A\=-1Z-13=0,即A3+A2-182+12=0

-15A+3

求得特征值的实部分别为：50420;0.7154;3.3266。

由于有两个特征值的实部为正，线性方程组的零解不稳定O

4、按一次近似理论判别如下方程组零解的稳定性

£="7.1

y=-x(l-y)2

解：原方程组的一次近似方程为：

化为矩阵形式：卜［』T-2］了

y=-x［y>U°Jl.v

其特征方程为：|；1后-川="+12=0,即42+"2=0,

1A.

求得特征值为-2,1o

由于一次近似方程有一个特征值为正，根据李雅普诺夫一次

近似理论，原方程的零解不稳定。

5、根据李亚普诺夫第一方法和第二方法研究下系统奇点（0,

0）的稳定性

X=r：-3X

<2

X-y=3匹-

解：一次近似方程为［K=­X=3X2,其特征值的实部均为负，

x2=3X1-5X2

根据李雅普诺夫一次近似理论，系统奇点（0,0）稳定。

选择正定的李雅普诺夫函数丫（不当）=/：+考，Y沿解曲线的全

导数为

V（4工2）=胃内+-1^-x2=2玉（一工：一3%2）+2工2（3内一5只）=一2父一10尤;

由于v负定，根据李亚普诺夫第二法，系统奇点（0,0）稳

定。

Ch4单自由度系统自由振动定量分析方法

1、设数学摆有比较小而有限振幅的角振动，其运动微分方

程为先为=43,试用：（1）直接展开法求二阶近似解；（2）

/61

用重整化方法将其调解为一致有效解。

解：(1)取£=算为小参数，并将。=4⑺+期”)+£淞«)+代入

微分方程，得：

4+盟+£2%++彳(％+的+£泪+)=£圾+*+£为2+)3

令£的同次幕的系数为零，得:

4+兴=()；a吟4=/；国吟%=3瞰

零次近似方程的通解为：4=Acos冉+0

将上式代入一次近似方程：

4+予亿=3cos《彳f+P+cos3+3/7

解得:

为消除久期项，应满足：

々34"ITA3A3/A3A31IT._3A3/_

sinp----+cosp---+32B1=0n,cos/7----/---sin(3----+3Q2BD,=0n

8\g16g816g

将久,凡代人二次近似方程，解得：

二阶近似解为:

A5

6=%+£04-意仇=雪sin

X36/23072

6144A-A532A-Acos[3&+3/714A5

cos护+夕cos5杵+54

61446144V/"36864

(2)令S=,并设汇=3=(1+啊+£泡+或

s=afxT=\一£例一£2侬_痴)+

将S代入二阶近似解，并应用如下泰勒级数展开式

2

sin/?(r-^r+/?+)=sin/?(r+/?)-^<y|//rcos/?(r+/?)+0(^)

COSr-£COXT+/?+)=COS〃(7+/?)+£691〃Tsin〃(「+/?)+

整理并化简得到:

c/Gg：■

0=COSTI

(36/236/2iJ(36/2136/J

6144/1-A54(46144A—A5)

-----SCO.T-----Ssin(r+#+---SECD.V+cos(r+^)-

614413072)(3072----16144

万AS

到fsin3(”)-94cos3(r+/?)+------5£69Rsin5(r+/7)+------cos5(r+/?)

6144\)61443686436864

为使方程的解一致有效，应满足:

A5

Gx+c?x°・Gg2g=0；6144A-A

36»+36『购〜°'36/2-----£COXT-----5=0；

'36广61443072

A56144A—432Al3”0；A5

---S£CO.T-^=0；5£(01=0

30726144614436864}

A'

方程的一致有效解为:6=_3243一片烟3上+2)+cos5(r+//)

6144v-36864

2、试用坐标变换法之一的林特斯蒂脱法确定如下方程的频

率振幅关系。X+COQX+CLV5=0

解：设汇=〃，则色"生包旦,d~d~drd~2d~

-r-CD=CO-------------7=69-：

dtdtdrdrdrdtdrdtdr~dr'

原方程可化为：++=0

将x=A^)(r)+ax1(r)+-,co=<y0+acox+代入方程，得至I：

(利)+=◎]+1(％+?%+)+@(/+2玉+•・•)+1(/+)5=0

令。的同次露的系数等于零，可得：

就玉)+就玉)=0；啰：$+口；芭=_£-2①。①吊

对零次近似方程求解，设其通解为：x0=«cos(r+/?),式中a

为振幅

将上式代入一次近似方程，得:

就内+0|；玉=-(/cos5(r+/?)+2^69^cos(r+/?)

s3,

“X+就不=2^,6/--cos(r4-/y)--j^-cos3(r+/?)--cos5(r+y0)

k8)

一次近似方程的通解为:

百=——---f-120«5+384例屈a)「sin(r+/)+——~7(-60/+192牡)供4)8§(7+4)+

384稣384稣

嘉;7cos(37+36)+号7cos(5r+5p)+〃cos(r+y)

为使久期项系数为零，应满足/?=0,-120(/+384%例〃=0,即频

率振幅关系为q=""。

16例)

3设具有粘性阻尼和平方阻尼的系统，其运动微分方程为

tnx+kx+ax+fix2=0,试用多尺度法求其一^欠近似解。

解：运动微分方程可化为：x+co^x+2G3(/+ex?=。，式中：£=2为

m

小参数

44)+=£>0+26DD

令%=用(砧伉，工)，、=DO+£D\,JT0)

D；+2^D,）（^+叼）+战（超+%）+2用）（D（）+£"）（%+g）+“（。°+£2）（%+%）］=0

上式展开后，令£同次赛系数为零，得到：

D"。+2G①oD°Xo+co~x0=0

。:X+2敏0。（丙十3"二一（。0毛『一2;4〃垢-

零次近似方程的通解为：

%="/；）/讣*gZ&akMeg）,将其代入一次近似方程的

右边，得到：

。（"+2矽（）。0%+可沃=

卡）2G40M+200口4+2£>L卜。+Ql-V

_尸十皿）12眄94+2D（）D,A2+2£>L卜q-

为避免出现久期项，应满足：

一次近似方程的通解为：玉=印刷.问+824tz卡）

一次近似解为：…。+叼=,+轲川卞叼+（4+/卜3，研

4、考察方程为工+就工+£（〃2烟-2〃]£）+&d=0的系统的运动，式

中a远小于1,内,〃2＞。。

试用KBM法证明

x=acos（co0t+。）+O（£）

a=-£（p,a--pooa）

3兀20

P=^a2

8co。

解：/（x,x）=2/.ixx--ax'

将％=acos〃,%=-4八由〃代入工）（“〃）=/）（飞,天）），得:

--2^ai//sini//+42a犷sin咳,犷sin——^—（3cos-十cos3夕）

将上式代入无=/（〃,­）+2程出sin材+2（。0叫cos”，即：

（d2x\（3加3、

—~~-r+xl=（2/A—24硼/+〃2〃收|硼/sinM）sinw+2外码cos收cos3w

Q3

周期解条件要求24A-2“”+^ai//\ai//sini//\=0；2供）叫一,?二0,

即4=」—（2//丽-〃丽,姓血必）；B[=^-cr

2g・8g

可解得：X]=aacos3中

32魅

3ea3sa

由于w=%+吗（。）=%-----a2或a2t+C

8%啊

将犷,3代入A,得A=-fda+—，则〃=£A=-£------〃2供汹2

x37137r~

若令〃=至41+。，则于是玉=4C0S〃=〃C0S（卬+尸）

x=x^+£x=acos(%+2)+cos3甲=acos(q/+/7)+O(£)

i：

5、试用谐波平衡法证明系统无+”:（）的非线性频率第一

项是口=a215a/8,其中〃是振幅。

证明：设x=acos（ut（a为振幅）,则x=-aofcosa）t

将x及大表达式代入犬+OLV5=0,得：-a32coscot+aa5cos5cot=0

X.51oCOS69/4-5cos3cot+cos5cot

田TCOSMt=--------------------------

16

壬旦2s10coscot+5cos3cot+cosScot八

丁：-aco~coscot+aa--------------------------=0

16

令式中一次谐波系数为零，即:

一/+吆=（）,因此，非线性频率第一项是0=/后不，得证。

8

Ch5单自由度系统的自激振动

设运动微分方程为卜二*一、）£卫一。将其变成极坐标方

J=（x+），）Jx~+y--y

程，确定极限环并判断其稳定性。

解：亍殳x=rcos。,y=rsin^,贝寸比=rcos。一分sin。,y=rsin厂cos。

将以上各式代入微分方程，得到：

rcos0-sin=r3cos6^-r2sin-rcos6^化简后得至ij.r=r2-r

，sin0+0〃cosO=/cosO+，sin0-rsin0'3=r

积分得到：r=-L-（式中：。=匕2）

l

\+CerQ

当为<1时，C>0,limr=1,相轨迹线从r=1的圆内远离该圆；

IT-O0

当小〉1时，C<0,limr=1,相轨迹线从厂=1的圆外远离该圆。

—

因此，/=1,即d+）尸=1为不稳定的极限环。

Ch6单自由度系统的受迫振动

设运动微分方程为无+x=-0./+5sin夕，试用小参数法求其近似

解。

解：取0.1为小参数，并将中