判断函数奇偶性

判断函数奇偶性

一、函数奇偶性的定义、性质及判断方法

1、函数奇偶性的定义

(1)一般地，设函数f(x)的定义域为1,如果对定义域内的任

意一个X,都有-x£l,且f(一x)二f(x),那么函数f(x)就叫做偶函

数。

(2)一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对定义域内的任

意一个X,都有-XEI,且f(一x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函

数。

2、奇函数偶函数的性质

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

为了培养孩子的数学学习兴趣，可以让孩子读读下面这本书：

3、判断函数奇偶性的方法和步骤：

(1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若

不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；

(2)确定f(一x)与f(x)的关系并作出判断:

若f(x)=f(-X)或f(―X)—f(X)=0或f(x)/f(-x)=1

则f(x)是偶函数；

若f(x)=—f(―x)或f(―x)+f(x)=0或f(x)/f(-x)=T

则f(x)是奇函数。

(记住以上表达式为三种判断方法，有时直接采用定义法f(x)

=±f(-x)判断比较木I难，就采用另外两种变式来判断)

二、判断函数的奇偶性

1、判断y=x4(.xe(0,-KC))的奇偶柱

解，因为y=x'(xe(0,+8))的定义域不关于原点对称.所以该酸既不是奇函数.也不是

偶酬.

2、〃“)=松般

解：f(x)的定义域为(-8,0)U(0,>O0),关于限点对称

•.•当x〉0时，-x<0.

••■/(-X)-(-x)2-x-x2-x--/(x);

又二当x<0时,-X>0,

/(-X)=-(-X)*-X=-X：-X=-/(x);

综上可知：对于函数定义域内的任复X,均有f(x)=-“-X)成立，故Jft的敌为奇

3、判断fG)=(x»T)/(x-l)的奇傀性

解，很显然这个函数X不等于1.定义域不关于原点对称,既不是奇感,糖不思慢磁'

Jl+i+x-l

4、判断f(x)=的哥禺性

Jl+X1+X+1

解：直接利用f(«)=±f(-x)判断比较困难，可以采用变式f(6/f(-x)=±l(f(x)/0)

•••f(x)的定义域为R,关于原点描

二当x=。时.t(x)=o,

-.X声。时，■2MJX；一(XT)；二T

/(-x)l+x2-(x+l)2

=-f(-x)

又f(0)=0,...fG)为奇西坟。

三、已知函数奇偶性，求解析式

1、已知函数？(力为用上的奇函数，当Ao时，/(x)=*(证+1),当Ko时，f(z)

=_%(V=%+1)_.

解：函数fix)为彳上的奇函数，即/(-X)=-fJ)

当x>0时，/(必=*(扳+D,

那么当A<0时，-£>0,则f(r)=-x(V=x+1)»

由f(-¥)=-f(x)

可得r(*)=x(Vr%+i)

故答案为，“a=+i)

四、利用函数图像的对称性

4.1、判断函数的值域或确定函数在某点的值

1、定义在R上的奇函数/(x)，当x>0时，/(x)=2；贝!奇函数/(x)的值域是()

解：因为"0)=0।

x<o时，/(x)=-2,(利用奇函数关于原点对称)

所以/(x)的值域是｛-2,0,2｝。

2、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当xE(-8,o)时，f(x)=2二，贝J

f(2)=()

解：f(-2)=2(-2)3+(-2)2=-12

「•根据奇酸关于京点对称得：f(2)=12

4.2、当函数的某一部分为奇函数时，巧用奇函数的对称性，确

定参数值

1、若关于X的函数〃x)=E二生三三竺。>。)的最大值为M,最小值为N,且

x"+t

M+N=4,则实数t的值为()

A,门、rx2+2x+r2+2020x5

解：f(x)=------------；----------------((t>0)

x+r

..、X(2+2020X4)八、

••/(zx)=f+-~~；--aZ>o)

X+t

设g(x)二亚曾2

X+t

z、-x(2+2020x4)/、

g(・x)=--------[---------=-g(x)

X+t

可知展X)为奇函数，即有晨X)的最大值s和最小值S互为相反数

M+N=(S+t)+(s+t)=4

即2t=4得t=2

五、利用函数的奇偶性解不等式

1、已知定义域为R的单调减函数f(x)是奇函数，当x〉0时，f(x)=x/3-2：

(1)求f(0)的值；

(2)求他)的解析式

(3)若任意t。，不等式他2)+侬2必0恒成立，求蟠K的取值范围

解：(1).•.定义在R上的函数f(x)是奇函数

.\f(0)=0

(2)当x<0时，-x>0

/.f(-x)=-x/3-2r

又f(x)是奇函数，f(x)=-f(-x)

.,.f(x)=x/3+2r

(3)由不等式f(F-2t)+f(2t2-k)<0

得：--2)<4(资用

二fG)是奇函数

二俨2t)<f(k-2X)

又••・£仅应R上是单调减酸

/.t2-2t>k-2t2

即对任意t€R不等式3F-2t>k恒成立，

g⑴=3产-2/=珀-?2-；

2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当xw(0,yo)时，/。)=2工一2,则不等式

/(log㈤>0的解集为()

A.照)B.

C.(2,-KO)D.(0,g)U(2,y)

解：•••/(x)是定义在R上的百酸，，/(。心。，当x<0,-x>0.

此时/(一x)=2-*-2.•••/(*)是奇函数.，/(-1)=2-*-2=-/5).

即/(x)=2-2-x,x<。

当log?x=0,即x=l时，不等式/(1吗工)>0不成立|

log2x>0,即x>l时，/(I*x)=2-2>0,解得1x>2

当log/<0,即0<x<l时，/(log㈤=2-2->0,解得

综合得，不等式外。即力。住解集为心」卜(2,叼)，故选B.

3、已知函数/。)=2"+/+2,若/(—a)+/(a)M2/⑴，贝帙数。的取值趣是()

A.[-U]B.[-l,0]C.[0,l]D(f-l]UX)

幅•••/(x)是偶函数，当x>0j(x)=2、x12单调递除在(Y,0)递减，

/(-a)+/(a)S2/(1)=2/(a)S2/(1)o/(a)4/(I)=|a区l=-lSaSL

故答案选A.

六、推论(常考题型)

若/(x+z)为偶函数，那么“X)关于x=t对称；

若"X)为偶函数，那么/(X+0关于X=-t对称

可以通过平移的概念去理解，比如/(x+f)为/(X)向左平移t个单位

1、已知定义域为R的函数/(X)在［1-8)单调递增，且/(X+1)为偶函数，若

则不等式/(2x+l)<l的力课为()

4(-14)氏(-1)珏)C.(-co;l)D(-oc「l)U(Ly)

［解析］：由题意，/(X)关于X=1对称，又/(X)在［1，+8)单调递增，/(3)=1,若

/(2x+l)<l,RiJ-l<2x+l<3,即xe(-Ll).

故答案选A

2、已知行)为奇函数，且f(xil)为偶函数，若琦)=0,则()

A、f(3)=0B、<3)=<5)

B、f(x+3)=f(x-l)Dsf(x+2)+f(x+l)=1

解：根据题意，f(x+l)为偶函数，则函数岖)断用轴为x=L则有f(-x)=f(2T),

又由f(x)为奇函