2026秋高三数学复习 数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和(解析版)

数列求和：错位相减法、裂项相消法、分组与并项求和专项训练

考点一错位相减法

1111

1．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）19´+17´+15´+L+1´=（）

22223210

3333

A．18+B．17+C．18+D．17+

211211210210

【答案】D

1111

【详解】令S=19´+17´+15´+×××+1´，

22223210

11111

则S=19´+17´+15´+×××+1´

2222324211

11æ111ö1173

两式相减得S=19´-2ç2+3+×××+10÷-1´11=+11

22è222ø222

3

所以S=17+，

210

故选：D.

n

2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列an的通项公式为a=，则数列an的前n项和Sn=（）

n2n

2n-n-12n+1-n-22n-n+12n+1-n+2

A．B．C．D．

2n2n2n2n

【答案】B

123n1123n-1n

【详解】由题设S=+++L+，则S=+++L++，

n2122232n2n2223242n2n+1

111231n1n

两式作差，有S=++++L+-=1--，

2n22223242n2n+12n2n+1

2n2n+1-n-2

所以S=2--=.

n2n2n2n

故选：B

3．（24-25高三下·江苏扬州·阶段练习·多选）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，

an+1=3an-2an-1n³2，则下列说法正确的有（）

A．数列an+1-an为等差数列

B．数列an+1-2an为等比数列

n+1

C．Sn=2-n-2

2

nn+1n+n-4

D．若bn=nan，则数列bn的前项和T=n-1×2-

n2

【答案】BCD

【详解】因为数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+1=3an-2an-1n³2，

对于A选项，由已知等式变形可得an+1-an=2an-an-1n³2，且a2-a1=2，

an+1-an

所以，=2，所以，数列an+1-an是首项和公比均为2的等比数列，

an-an-1

n-1n

故an+1-an=2×2=2，A错；

对于B选项，由已知等式变形得an+1-2an=an-2an-1n³2，且a2-2a1=1，

所以，数列an+1-2an是首项和公比均为1的等比数列，则an+1-2an=1，B对；

n

ìan+1-an=2n

对于C选项，由í可得an=2-1，

îan+1-2an=1

23n23n

所以，Sn=2-1+2-1+2-1+L+2-1=2+2+2+L+2-n

21-2n

=-n=2n+1-n-2，C对；

1-2

nn

对于D选项，bn=nan=n2-1=n×2-n，

123n

记An=1×2+2×2+3×2+L+n×2，

23nn+1

则2An=1×2+2×2+L+n-1×2+n×2，

23nn+1

这两个等式作差得-An=2+2+2+L+2-n×2

21-2n

=-n×2n+1=1-n×2n+1-2，

1-2

n+1

所以，An=n-1×2+2，

n+1

故Tn=n-1×2+2-1+2+3+L+n

nn+1n2+n-4

=n-1×2n+1+2-=n-1×2n+1-，D对.

22

故选：BCD.

4．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知在等差数列an的前n项和为Sn，其中a1=1，a2n=2an+1，在等比数列

bn中，b1=a2，b2=a5，则（）

2

A．Sn=nB．数列log2bn是等差数列

ì1ü2nn+1

C．数列íý的前n项和为D．数列anbn的前n项和为n-13+3

îanan+1þ2n+1

【答案】ABD

【详解】设等差数列{an}的公差为d，已知a1=1，a2n=2an+1，

令n=1，则a2=2a1+1=2´1+1=3．

所以a2=a1+d，即3=1+d，解得d=2．

所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1．

n(1+2n-1)

S==n2，故A选项正确．

n2

已知b1=a2=3，b2=a5=a1+4d=1+4´2=9，

b9

qq=2==3n-1n

设等比数列{bn}的公比为，则，所以bn=3´3=3，

b13

n

则cn=log2bn=log23=nlog23，

所以cn+1-cn=(n+1)log23-nlog23=log23（常数），

所以数列{log2bn}是等差数列，故B选项正确．

11111

已知==(-)．

anan+1(2n-1)(2n+1)22n-12n+1

1111111

设数列{}的前n项和为Tn，则Tn=[(1-)+(-)+L+(-)]

anan+123352n-12n+1

11n2n

=(1-)=¹，故C选项错误．

22n+12n+12n+1

n

已知anbn=(2n-1)´3．设数列{anbn}的前n项和为Mn，

23n

则Mn=1´3+3´3+5´3+L+2n-1´3

23nn+1

3Mn=1´3+3´3+L+2n-3´3+2n-1´3

23nn+1

所以-2Mn=3+2´3+2´3+L+2´3-(2n-1)´3

9(1-3n-1)

=3+2´-(2n-1)´3n+1

1-3

=3+3n+1-9-(2n-1)´3n+1

=-6-(2n-2)´3n+1

n+1

所以Mn=(n-1)3+3，故D选项正确．

故选：ABD．

n-1

5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列an的通项公式为an=n-2×3，其前n项和为Sn，则

Sn=．

2n-5×3n+5

【答案】

4

012n-2n-1

【详解】Sn=-3+0´3+3+L+n-3×3+n-2×3，

123n-1n

所以3Sn=-3+0´3+3+L+n-3×3+n-2×3，

3-3n5-2n×3n-5

所以-2S=-1+31+32+33+L+3n-1-n-2×3n=-1+-n-2×3n=，

n1-32

2n-5×3n+5

所以S=，

n4

2n-5×3n+5

故答案为：．

4

624-25··2

．（高二下山西开学考试）已知数列an的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an-3，则数列nan的前n项和

为.

8n-1´9n+1+9

【答案】

64

【详解】当n=1时，2S1=3a1-3,所以a1=3；

当n³2时，由2an=2Sn-2Sn-1=3an-3-3an-1-3，

n22nn

得an=3an-1，所以an=3,nan=n´3=n´9.

2n-1n

令Tn=1´9+2´9+L+n-1´9+n´9，

23nn+1

则9Tn=1´9+2´9+L+n-1´9+n´9，

91-9n

两式作差得-8T=9+92+L+9n-n´9n+1=-n´9n+1，

n1-9

8n-1´9n+1+9

所以T=.

n64

8n-1´9n+1+9

故答案为：

64

aa1

7．（2025·全国一卷·高考真题）设数列a满足a=3，n+1=n+

n1nn+1n(n+1)

(1)证明：nan为等差数列；

2m

(2)设f(x)=a1x+a2x+L+amx，求f¢(-2)．

【答案】(1)证明见解析；

m

73m+7-2

(2)f¢-2=-

99

【详解】（1）由题意证明如下，nÎN*，

aa1

在数列a中，a=3，n+1=n+，

n1nn+1nn+1

n+1an+1=nan+1，即n+1an+1-nan=1，

∴

nan是以a1=3为首项，1为公差的等差数列.

（∴2）由题意及（1）得，nÎN*，

在数列nan中，首项为3，公差为1，

2

na=3+1´n-1，即a=1+，

nnn

∴2m

在fx=a1x+a2x+L+amx中，

2æ2ömm-1

fx=3x+2x+L+ç1+÷x，f¢x=3+4x+L+m+2x

èmø

ìïf¢x=3+4x+L+m+2xm-1

í2m，

îïxf¢x=3x+4x+L+m+2x

∴

当x¹1且x¹0时，

x1-xm-1

1-xf¢x=3+x+x2+L+xm-1-m+2xm=3+-m+2xm，

1-x

∴

m-1

3x1-xm+2xm

f¢x=+-

1-x1-x21-x

∴

ém-1ùm

3-21--2m+2-2

f¢-2=+ëû-

1--221--2

ëé1--2ûù

∴

ém-1ùm

-21--2m+2-2

=1+ëû-

93

mm

2-2m+2-2

=1---

993

m

73m+7-2

=-.

99

8．（2025·云南昆明·模拟预测）设Sn为数列an的前n项和，当n³2时，Sn+2=5Sn+1-8Sn+4Sn-1，已知a1=1，

a2=4，a3=12．

(1)证明：数列an+1-2an为等比数列；

(2)求数列an的通项公式；

(3)求Sn．

【答案】(1)证明见解析

n-1

(2)an=n´2

n

(3)Sn=2n-1+1

【详解】（1）当n³2时，Sn+2=5Sn+1-8Sn+4Sn-1，

即Sn+2-Sn+1=4Sn+1-Sn-4Sn-Sn-1，

则an+2=4an+1-4an，而a1=1,a2=4,a3=12，则a3=4a2-4a1，

*

于是"nÎN时，an+2=4an+1-4an，整理得an+2-2an+1=2an+1-2an，

又a2-2a1=2¹0，

所以数列an+1-2an是首项和公比都是2的等比数列．

（2）由（1）知，数列an+1-2an是首项和公比都是2的等比数列，

aa1

则a-2a=2n，因此n+1-n=，

n+1n2n+12n2

ìaü11a111

所以数列íný是首项为，公差为的等差数列，n=+n-1=n，

î2nþ222n222

n-1

所以数列an的通项公式an=n´2．

012n-1

（3）由（2）知，Sn=1´2+2´2+3´2+L+n´2，

12n-1n

2Sn=1´2+2´2+L+n-1´2+n´2，

1-2n

两式相减得，-S=1+21+22+L+2n-1-n´2n=-n´2n=-1+1-n´2n，

n1-2

n

则Sn=2n-1+1．

9．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）记Sn为正项数列an的前n项和，且a1Sn=n+1an.

(1)求a1的值；

ìanü

(2)判断íý是否为等差数列，并求an的通项公式；

înþ

a×anT

(3)求数列n2n的前项和n.

【答案】(1)a1=2

ìanü

(2)íý是常数列，也是等差数列，an=2n.

înþ

n+3

(3)Tn=n-1×2+8

2

【详解】（1）令n=1可得a1=2a1，

又a1>0，故a1=2.

（2）2Sn=n+1an，

①

2Sn+1=n+2an+1，

②

由-，得2an+1=n+2an+1-n+1an，

②①

即nan+1=n+1an

aaìaü

故n+1=n，故íný是常数列，也是等差数列

n+1nînþ

aa

故n=1=2，故a=2n.

n1n

a×a=2n×2×2n=n×2n+2

（3）由（1）可得n2n

34n+2

故Tn=1´2+2´2+L+n´2，

45n+③2n+3

2Tn=1´2+2´2+L+n-1´2+n´2，

④23-2n+3

由得n+33n+2n+3n+3

-Tn=n´2-2+L+2=n´2-=n-1×2+8.

1-2

④③1

10．（2025·辽宁盘锦·三模）已知数列a的前n项和为S，其中a=3，S=n2+ln．

nn3n2

(1)求l的值以及数列an的通项公式；

nn

(2)若bn=a5n-4×3，求数列bn的前项和Tn．

1

【答案】(1)l=，a=n

2n

æ1539ön39

(2)çn-÷´3+

è24ø4

95111

【详解】（1）依题意，a=S-S=+3l-2-2l=+l=3，解得l=，所以S=n2+n．

332222n22

æ121öé121ù

当n³2时，an=Sn-Sn-1=çn+n÷-n-1+n-1=n，

è22øëê22ûú

当n=1时，a1=S1=1，满足上式，

综上所述，an=n．

n

（2）依题意，bn=5n-4´3，

123n

故Tn=1´3+6´3+11´3+L+5n-4´3，

23nn+1

故3Tn=1´3+6´3+L+5n-9´3+5n-4´3，

123nn+1

两式相减可得，-2Tn=1´3+5´3+5´3+L+5´3-5n-4´3

=5´31+5´32+5´33+L+5´3n-5n-4´3n+1-12

151-3n

n+1æ39ön39

=-5n-4´3-12=ç-15n÷´3-，

1-3è2ø2

æ1539ön39

则Tn=çn-÷´3+．

è24ø4

11．（2025·海南·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列an的前n项和为Sn，

*

an+1an+1+1=4Sn+nnÎN，数列bn为等比数列，首项b1=3,b2=a5．

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设cn=an×bn，求数列cn的前n项和Tn．

n

【答案】(1)an=2n-1,bn=3

n+1

(2)Tn=3+(n-1)×3

【详解】（1）由an+1an+1+1=4Sn+n，当n³2时，an-1+1an+1=4Sn-1+n-1，

相减得an+1an+1an-1=-4an+1，

已知数列an各项均为正数，即an+1¹0，可化简得an+1-an-1=4，即数列an的公差d满足2d=4，解得

d=2，

当n=1时，a11a1++2+1=4a1+1，解得a1=1，则数列an通项公式为an=2n-1，

可得a5=2´5-1=9，则b2=a5=9，

由数列bn为等比数列可得b2=b1×q=9，由b1=3，求得q=3，

n-1n

则数列bn通项公式为bn=3×3=3.

nn

（2）由（1）知an=2n-1,bn=3，则cn=an×bn=(2n-1)×3，

123n

所以Tn=c1+c2+c3+L+cn=1×3+3×3+5×3+L+(2n-1)×3，

234nn+1

则3Tn=1×3+3×3+5×3+L+(2n-3)×3+(2n-1)×3，

123nn+1123nn+1

作差的-2Tn=1×3+2×3+2×3+L+2×3-(2n-1)×3=2(3+3+3+L+3)-3-(2n-1)×3，

3(1-3n)

化简得-2T=2-3-(2n-1)×3n+1=-6-(2n-2)×3n+1，

n1-3

n+1

解得Tn=3+(n-1)×3.

12．（2025·四川成都·一模）记Sn为数列an的前n项和，已知a2=6，且n+2Sn=nan+1.

(1)求S1，S2，S3；

(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）

ìSüìaü

íný是等比数列；íný是等比数列.

înþîn+1þ

①②

(3)记Tn为数列Sn的前n项和，求Tn.

【答案】(1)S1=2，S2=8，S3=24

(2)证明见解析

n+1*

(3)Tn=n-1×2+2，nÎN

【详解】（1）（1）令n=1，得3S1=a2.又a2=6，所以S1=2.

S2=S1+a2=2+6=8.

令n=2，得4S2=2a3.又S2=8，所以a3=16.

故S3=S2+a3=8+16=24.

（2）若选择：由已知，得n+2Sn=nSn+1-Sn.

①SS

故2n+1S=nS，所以n+1=2´n，nÎN*.

nn+1n+1n

ìSü

故íný是首项和公比均为2的等比数列.

înþ

nn-1

若选择：由已知，S=a.故当n³2时，S=a.

nn+2n+1n-1n+1n

②nn-1

两式相减，得a=a-a.

nn+2n+1n+1n

a2a

化简并整理，得n+1=n（n³2，且nÎN*）.

n+2n+1

aaaa

又1=1，2=2，所以2=2´1.

2332

ìaü

故íný是以1为首项，2为公比等比数列.

în+1þ

SnnnN*

（3）若选择：由（2）知，=2，故Sn=n×2nÎ.

n

①

ann-1n-1N*

若选择：由（2）知，=2，故an=n+1×2nÎ.

n+1

②nnN*

所以Sn=an+1=n×2nÎ.

n+2

12n-1n

所以Tn=1´2+2´2+L+n-1×2+n×2.

23nn+1

则2Tn=1´2+2´2+L+n-1×2+n×2.

123nn+1nn+1n+1

两式错位相减，得-Tn=2+2+2+L+2-n×2=22-1-n×2=1-n×2-2.

n+1*

所以Tn=n-1×2+2，nÎN

1324-25··n

．（高二下辽宁期末）已知数列an满足a1=-2，且an+1+an=-4´3．

(1)求a2，a3，a4；

(2)求数列an的通项公式；

(3)设bn=nan，求数列bn的前n项和Sn．

【答案】(1)a2=-10，a3=-26，a4=-82

n-1n

(2)an=-1-3

ì2n-11-3n+1

ï,n为奇数,

ï4

(3)Sn=í

2n+32n-1

ï--´3n+1,n为偶数.

îï44

nn

【详解】（1）由an+1+an=-4´3，则an+1=-4´3-an，

又a1=-2，

得a2=-4´3-a1=-10，

2

a3=-4´3-a2=-26，

3

a4=-4´3-a3=-82．

n

（2）由an+1+an=-4´3，

n+1nn

得an+1+3=-an-3=-an+3，

n+1

an+1+3

所以n=-1，

an+3

又a1+3=1，

n

所以an+3是以1为首项，-1为公比的等比数列，

nn-1

所以an+3=-1，

n-1n

故an=-1-3．

n-1n

（3）由（2）得bn=nan=-1n-n´3，

n-12n

所以Sn=1-2+3-4+L+-1n-1´3+2´3+L+n´3．

2n

设Tn=1´3+2´3+L+n´3，

23n+①1

则3Tn=1´3+2´3+L+n´3，

②n

31-32n-13

由－得-2T=3+32+33+L+3n-n´3n+1=-n´3n+1=-´3n+1-,

n1-322

①②

2n-13

则T=´3n+1+，

n44

当n为奇数时，

n+1

n-1n+12n-132n-11-3

2nn+1；

Sn=-+n-1´3+2´3+L+n´3=-´3-=

22444

当n为偶数时，

n2nn2n-1n+132n+32n-1n+1

Sn=--1´3+2´3+L+n´3=--´3-=--´3，

224444

ì2n-11-3n+1

ï,n为奇数,

ï4

故Sn=í

2n+32n-1

ï--´3n+1,n为偶数.

îï44

14．（24-25高二下·辽宁大连·期末）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn．

(1)求an的通项公式；

(2)设bn=nan+1，求数列bn的前n项和Tn．

ì1,n=1

【答案】(1)an=ín-2

î2´3,n³2

æ1ön1

(2)Tn=çn-÷´3+

è2ø2

【详解】（1）当n=1时，a2=2S1=2a1=2；

当n³2时，由an+1=2Sn可知an=2Sn-1，

两式相减得an+1an=-2an，即an+1=3an．

又因为a2=2¹0，且a2¹3a1，

所以数列an从第二项起是等比数列，公比为3，

n-2

所以an=2´3n³2，

ì1,n=1

综上所述，an=ín-2；

î2´3,n³2

n-1

（2）由（1）可知bn=2n´3．

2n-1

Tn=2+4´3+6´3+L+2n´3，

2n-1①n

3Tn=2´3+4´3+L+2n-1´3+2n´3，

②

-2n-1n

，得-2Tn=2+2´3+2´3+L+2´3-2n´3

①②

1´1-3n

=2´-2n´3n=1-2n´3n-1．

1-3

æ1ön1

所以Tn=çn-÷´3+．

è2ø2

考点二裂项相消法

1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，2Sn=an+1-2n+1，数列bn满足

an+1

bn=，记bn的前n项和为Tn，若Tn<m恒成立，则m的最小值为（）

anan+1

111

A．1B．C．D．

234

【答案】D

【详解】因为2Sn=an+1-2n+1，

①

当n=1时，2a1=a2-4，a1=2，a2=8；

∵∴

当n³2时，2Sn-1=an-2n，

②

两式相减得2an=an+1-an-2，整理，得an+1=3an+2

①②a+1a+1

n+1=3n³2，又2=3，

an+1a1+1

∴

数列an+1是首项为3，公比为3的等比数列.

∴nn

an+1=3，an=3-1．

∴∴

a+13n1æ11ö

b=n==-

nnn+1çnn+1÷.

anan+13-13-12è3-13-1ø

∴

1æ111111ö1æ11ö

Tn=ç1-2+2-3+××××××+n-n+1÷=ç-n+1÷.

2è3-13-13-13-13-13-1ø2è23-1ø

∴113111

对于"nÎN*，3n+1-1³8，0<£，£-<

3n+1-18823n+1-12

1æ11öé31ö

所以Tn=ç-n+1÷Î,÷.

2è23-1øëê164ø

1

由T<m恒成立，得m³.

n4

故选：D.

a-aa-a

224-25··n+1nn+2n+1*1

．（高二下云南丽江期末）已知数列an满足=nÎN，且a1=1，a2025=，则

anan+21013

a1a2+a2a3+K+anan+1=（）

nn2n2n

A．B．C．D．

2n+1n+22n+1n+2

【答案】D

a-aa-aaaaa

【详解】因为n+1n=n+2n+1，所以n+1-1=1-n+1，即n+1+n+1=2，

anan+2anan+2anan+2

1121111

所以+=，即-=-，

anan+2an+1an+2an+1an+1an

11

ì1ü-1

所以íý为等差数列，公差aa1013-11，首项=1，

ad=20251==a

înþ2025-1202421

111n+1

所以=+n-1d=1+n-1´=，

ana122

2

所以a=，

nn+1

444

所以aa+aa++aa=++L+

1223Lnn+11+1´2+12+1´3+1n+1´n+2

æ111111ö

=4ç-+-+L+-÷

è2334n+1n+2ø

æ11ö2n

=4ç-÷=．

è2n+2øn+2

故选：D.

ì1ü

3．（24-25高二下·广东肇庆·期末）记等差数列an的前n项和为Sn，且S2=2，S6=12，记Tn为íý的前n项

îSnþ

和，则T8=（）

911614232

A．B．C．D．

54555

【答案】B

ì1

A=

ì4A+2B=2ï4n2+2n

【详解】设S=An2+Bn，则í解得í，所以S=，

n36A+6B=121n

îïB=4

îï2

14æ11ö

所以=2=2ç-÷.

Snn+2nènn+2ø

éæ1öæ11öæ11öæ11öæ11öæ11öù

T