2026秋高三数学复习 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质(原卷版)

立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练

考点一线面垂直的判定

1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面

ABCD为菱形，ÐDAB=60°，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

(1)证明AD^平面PBO；

(2)求点P到平面ABCD的距离；

(3)求二面角A-PB-C的余弦值．

2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA^平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3．

(1)求证：BC^平面PAB；

(2)记PC的中点为G，求二面角G-AB-C的大小．

3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD^平面ABCD，△PAD为等边三角形，

PD^AB，AD//BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.

(1)证明：DM^平面PAB；

(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.

3π

4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，AD//BC,ÐABC=,

11114

AD=DD1=2BC=4,AB=CD．

(1)证明：AB^平面CDD1C1；

(2)求直线A1D1与平面A1DC1所成角的正弦值．

5．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知AC=3，PA=BC=2，PA^底面

ABCD，平面PAC^平面PCD.

(1)求点A到平面PCD的距离；

(2)证明：CD^平面PAC；

(3)若AB=AC，求二面角P-BC-A的余弦值.

6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD^平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，

uuuruuuruuruur

ÐADC=90°，AB=AD=PD=3，且DC=2AB，CE=2EP.

(1)证明：AD^平面PDC；

(2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.

1

7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=5,cosÐBAD=，平面DBEF^平

5

面ABCD,AB^DF,DF∥BE，且DF=2BE=2.

(1)求证：BE^平面ABCD；

(2)求点B到平面AEF的距离．

8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD是等

腰梯形，且BC//AD，AD=2DC=2CB，ÐADC=60°，PC=2BC，M为AD中点．

(1)求证：PM^平面ABCD；

(2)求直线AB与PD所成角的余弦值；

(3)求平面BPC与平面PCD夹角的正弦值．

考点二线面垂直的性质

1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD^平面ABCD，△PAD是边长为2的等边

三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB^AD，AB=BC=1．

(1)求证：AB^PD．

(2)求线段PA中点M到平面PCD的距离．

10PE

(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存

5PD

在，请说明理由．

2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ÐBAC=90°，E，F

分别为C1C，BC的中点．

(1)求证：A1B^B1C；

(2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值．

3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1．

(1)求证：AB^VC；

(2)求直线VB与平面AVC所成角的正弦值；

(3)若AB//a，VC//a，用平面α将三棱锥V-ABC分为两部分，求截面面积的最大值．

4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为AB中点，F是边BC上的动点，将

△AED，△BEF分别沿着DE,ED折起，使A，B两点重合于点S.

(1)求证：SE^DF；

(2)当F是边BC的中点时，将△AED，△BEF，DCF分别沿着DE,ED,DF折起，使A，B，C三点重合于点

S，求三棱锥SDEF的外接球的表面积；

(3)a=4，若BF>1，设直线SE与平面DEF所成角为q，求sinq的最大值.

5．（2025·山西·三模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有的棱长均相等，D是AC的中点，D在上底面A1B1C1

的投影为△A1B1C1的重心O．

(1)证明：AC^BO；

(2)求平面ABC与平面A1ACC1的夹角的正弦值．

6．（2025·甘肃白银·三模）如图，在五面体ABCEF中，底面ABC为等边三角形，AF^底面ABC，AF//BE，

AB=BE=2，AF=1，D，M分别是AC，BE的中点．

(1)证明：BD^CF；

(2)求平面CEF与平面ACM夹角的余弦值．

7．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB^AD，P为棱A1B1上一点，且

PA=PB，F为CD的中点.

(1)证明：AB^PF；

2

(2)若AB=AD=PD=4，当直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为，且二面角P-CD-A的平面角为锐角

2

时，求三棱锥B-APD的体积.

π

8．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体ABCD中，ÐACD=ÐBDC=,AC=BD=1,CD=x，记二面角

2

A-CD-B为q,M,N分别为AD,BC的中点.

(1)求证：MN^CD；

3π

(2)若x=,q=，求直线MN与平面ABD所成角的正弦值.

23

考点三面面垂直的判定

1．（24-25高一下·山东威海·期末）如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，AC^BC，

E、F分别为AB、BC的中点．

(1)证明：EF//平面PAC；

(2)证明：平面PEF^平面PBC；

(3)若AC=3，二面角P-BC-A的大小为30o，求PA．

2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PA^平面

π

ABCD，PA=3，ÐABC=，点M,N为线段PD上的三等分点.

3

(1)证明：平面MBD^平面PAC.

(2)求二面角A-BM-N的余弦值.

3．（24-25高三上·山东·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD^平面ABCD，AD^AB，AB//CD,

AB=AD=1,CD=2,PD=PC=2，点E在棱PA上，且PE=2EA.

(1)求证:平面PAD^平面DBE;

(2)求平面PAB与平面ABCD所成角的大小.

4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为

等腰祶形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=10,AE=23，M为CD的中点．

(1)证明：平面ABCD^平面CDEF；

uuuruuuur

(2)设点N是△ADM内一动点，ND×NM=0，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值．

π

5．（2025·河南许昌·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC，BC=2AD=2AB=4，ÐBAD=，

3

π

△PBD为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）.

4

(1)求证：平面ECD^平面PBD；

57

(2)若二面角P-CD-E的余弦值为，求线段PE的长.

14

6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ÐPDC=90°，PA^PD，

BC=2AB=1．

(1)求证：平面PAB^平面PCD．

(2)若PA=PD，求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值．

7．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD=2,PA=DC=BC=1，

AD//BC，ÐBCD=90°，且PA^AB,PD^CD.

(1)证明：平面PAB^平面ABCD；

(2)求二面角B-PC-D所成平面角的余弦值．

8．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图（一），四边形ABEF是梯形，AF//BE，AB^BE，AB=BE=2，AF=3，

C为线段BE的中点，CD//AB且交AF于点D.四边形ABCD沿CD翻折，如图（二）所示，线段BE的中点为G，

M是线段AF上一点，且C，D，M，G四点共面.

(1)求证：平面ABE^平面CDMG；

(2)若AF=5，求直线CM与平面AEF所成角的正弦值.

考点四面面垂直的性质

1．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD^DC，平面SAD^

1

平面ABCD,P为AD的中点，SA=SD=2,BC=AD=1,CD=3.

2

(1)求证：SP^AB；

(2)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；

(3)设M为SC的中点，求平面SPB与平面PBM的夹角余弦值.

22025··平面平面

．（江西新余模拟预测）在棱柱ABC-A1B1C1中，AAC11C^A1B1C1，AC11=2，A1B1=C1B1=2，

AA1=AC1=5，E，G分别为线段AC1，B1C的中点，F为直线AB1与直线A1B的交点．

(1)求证：平面EFG^平面AAC11C；

(2)求直线A1B与平面AB1C1所成角的正弦值．

3．（2025·海南·模拟预测）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为矩形，平面ABCD^平面CDD1C1，

AA1=AB=2AD，ÐD1DC=60°，O，E分别为CD，A1D1的中点．

(1)证明：D1O^平面ABCD；

(2)求平面AB1E与平面AA1B1B的夹角的余弦值．

4．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知AD//BC//FE，平面ABF^平面ADEF，AB^AF，AF^AD，

AD=2BC=2EF=2AF=2，点P为梯形ADEF内（包括边界）一个动点，且BP//平面CDE．

(1)求点P的轨迹长度；

3

(2)当线段BP最短时，直线BP与平面BCEF所成角q的正弦值为，求三棱锥P-CDE的体积．

6

5．（2025·安徽·三模）如图，矩形ABCD中，AD=2AB=2，E为边BC的中点，现将CDE沿DE翻折至PD