2026秋高三数学复习 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质(解析版)

立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质专项训练

考点一线面垂直的判定

1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面

ABCD为菱形，ÐDAB=60°，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．

(1)证明AD^平面PBO；

(2)求点P到平面ABCD的距离；

(3)求二面角A-PB-C的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

3

(2)

2

27

(3)-

7

【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图，

因△PAD是边长为2的正三角形，则AD^PO，

在菱形ABCD中，ÐDAB=60°，则△ABD为正三角形，

所以OB^AD，又POIOB=O，PO,OBÌ平面POB，

则AD^平面PBO.

（2）由（1）知，OB^AD，AD^PO，

则ÐPOB是二面角P-AD-B的平面角，ÐPOB=120o，

由AD^平面PBO，ADÌ平面ABCD，

则平面PBO^平面ABCD，过P作PH^BO的延长线于H，

因为平面PBOI平面ABCD=BO，PHÌ平面PBO，

因此PH^平面ABCD，

而在正△PAD中，PA=2,OA=1，则PO=3，

3

又ÐPOH=60o，则PH=POsinÐPOH=，

2

3

所以点P到平面ABCD的距离是.

2

（3）由（1）知，△ABD是正三角形，则BO=PO=3，

取PB中点E，连OE，由（2）知，ÐPOB=120o，

3

则ÐBOE=60o，OE^PB，OE=BO×cosÐBOE=，

2

11

取PC中点F，连EF，AE，DF，则有EF//BC//AD，且EF=BC=AD，

22

又AD^平面PBO，PB,OEÌ平面PBO，则AD^PB,AD^OE，

即有EF^PB，又PA=AB=2，则AE^PB，

从而得ÐAEF为二面角A-PB-C的平面角，

在梯形AEFD中，ÐAEF=180o-ÐDAE，

37

Rt△AEO中，AE=AO2+OE2=1+=，

42

AO127

cosÐAEF=-cosÐDAE=-=-=-

AE77，

2

27

所以二面角A-PB-C的余弦值是-.

7

2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中，PA^平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3．

(1)求证：BC^平面PAB；

(2)记PC的中点为G，求二面角G-AB-C的大小．

【答案】(1)证明见解析

π

(2)．

4

【详解】（1）证明：因为PA^平面ABC,BCÌ平面ABC，

所以PA^BC，同理PA^AB，

所以VPAB为直角三角形，

又因为PB=PA2+AB2=2,BC=1,PC=3，

所以PB2+BC2=PC2，则△PBC为直角三角形，故BC^PB，

又因为BC^PA,PAÇPB=P,PA,PBÌ平面PAB，

所以BC^平面PAB．

（2）由（1）BC^平面PAB，又ABÌ平面PAB，则BC^AB，

以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，

BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

æ111ö

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0),Gç,,÷，

è222ø

r

设平面ABG的法向量为n=(x,y,z)，

uuuruuuræ111ö

AB=(1,0,0),AG=ç,,÷，

è222ø

ruuurìx=0

ïìn×AB=0ï

则íruuur，即í111，

ïn×AG=0x+y+z=0

îîï222

ræ11ö

所以可取平面ABG的法向量可取n=ç0,-,÷，

è22ø

r

易知，平面ABC的法向量可取m=(0,0,1)，

1

rr

rrm×n22

所以cosm,n=rr==，

m×n22

´1

2

π

所以锐二面角G-AB-C的大小为．

4

3．（2024·山东威海·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD^平面ABCD，△PAD为等边三角形，

PD^AB，AD//BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.

(1)证明：DM^平面PAB；

(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

3

(2).

5

【详解】（1）设AD中点为O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，故PO^AD，

由题意，平面PAD^平面ABCD，平面PADÇ平面ABCD=AD，POÌ平面PAD，

所以PO^平面ABCD，ABÌ平面ABCD，故PO^AB，

又PD^AB，POIPD=P，PO,PDÌ平面PAD，故AB^平面PAD，

由DMÌ平面PAD，故AB^DM，

又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM^PA，

因为ABIPA=A，AB,PAÌ平面PAB，所以DM^平面PAB.

（2）

由（1）知AB^平面PAD，ADÌ平面PAD，故AB^AD，

1

连接CO，AO=AD=2，则AO//BC,AO=BC，

2

即四边形ABCO为平行四边形，故OC//AB，所以OC^AD，

故以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则P(0,0,23),B(2,-2,0),M(0,-1,3),C(2,0,0),D(0,2,0)，

uuuruuuuruuuur

PB=(2,-2,-23),MC=(2,1,-3),MD=(0,3,-3)，

ruuuur

rïìn×MC=2x+y-3z=0r

y=1

设平面MCD的法向量为n=(x,y,z)，则íruuuur，令，则n=(1,1,3)，

îïn×MD=3y-3z=0

uuurr

πuuurrPB×n63

设直线PB与平面MCD所成角为θ，qÎ[0,]，则sinq=cosPB,n=uuur==.

2PBnr25´55

3π

4．（24-25高二下·海南·阶段练习）如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，AD//BC,ÐABC=,

11114

AD=DD1=2BC=4,AB=CD．

(1)证明：AB^平面CDD1C1；

(2)求直线A1D1与平面A1DC1所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

11

(2)

11

【详解】（1）由题意可得底面四边形ABCD为等腰梯形，

取AD中点记为E，连接CE，

因为AD//BC,AD=2BC=4,

所以AE//BC,AE=BC,即四边形ABCE为平行四边形，

所以AB//CE,

3ππ

由于ÐABC=,所以ÐCED=,又AB=CE=CD，

44

ππ

所以ÐCDE=,ÐDCE=,即CE^CD，

42

因为ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，

所以平面CDC1D1^平面ABCD，平面CDC1D1Ç平面ABCD=CD，CEÌ平面ABCD,

所以CE^平面CDD1C1，即AB^平面CDD1C1；

（2）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系：

因为AD=DD1=2BC=4,由(1)知DE=AE=BC=2CD，

所以CD=AB=2，

A1(22,-2,4),D1(0,2,4),D(0,2,0),C1(0,0,4),

uuuuruuuuruuuur

所以A1D1=(-22,22,0),A1D=(-22,22,-4),AC11=(-22,2,0),

ur

设m=(x,y,z)是平面A1DC1的一个法向量，

uuuur

ìr

ïm×A1D=-22x+22y-4z=0

,

则íruuuur令x=2，则y=4,z=2，

îïm×AC11=-22x+2y=0

所以mr=(2,4,2)，

ruuuur

ruuuurm×A1D14211

cosm,A1D1=uuuur==,

r11

mA1D122´4

11

所以直线A1D1与平面A1DC1所成角的正弦值为.

11

5．（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，已知AC=3，PA=BC=2，PA^底面

ABCD，平面PAC^平面PCD.

(1)求点A到平面PCD的距离；

(2)证明：CD^平面PAC；

(3)若AB=AC，求二面角P-BC-A的余弦值.

221

【答案】(1)

7

(2)证明见解析

3

(3).

3

【详解】（1）过点A作AE^PC于E，垂足为点E，

由平面PAC^平面PCD，AEÌ平面PAC，平面PACI平面PCD=PC，AE^PC，得AE^平面PCD，则线段

AE即为点A到平面PCD的距离，

由PA^底面ABCD，ACÌ平面ABCD，得PA^AC，即VPAC为直角三角形，

PA×AC23221

在Rt△PAC中，AC=3，PA=2，PC=PA2+AC2=7，AE===，

PC77

221

故点A到平面PCD的距离为；

7

（2）由（1）可知AE^平面PCD，又CDÌ平面PCD，得AE^CD，

由PA^底面ABCD，CDÌ平面ABCD，得PA^CD，

由AE^CD，PA^CD，AE、PAÌ平面PAC，AEIPA=A，得CD^平面PAC；

（3）作AF^BC于F，连接PF，

由PA^底面ABCD，BC、AFÌ平面PAB，得PA^BC，PA^AF，

由AF^BC，PA^BC，AF、PAÌ平面PAF，AFIPA=A，得BC^平面PAF，又PFÌ平面PAF，得

BC^PF，

则ÐAFP即为二面角P-BC-A的平面角.

BC

由AB=AC，AF^BC，得CF==1，AF=AC2-CF2=2，

2

AF23

在Rt△PAF中，PF=PA2+AF2=6，cosÐAFP===.

PF63

3

故二面角P-BC-A的余弦值为.

3

6．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD^平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，

uuuruuuruuruur

ÐADC=90°，AB=AD=PD=3，且DC=2AB，CE=2EP.

(1)证明：AD^平面PDC；

(2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

2

(2).

3

【详解】（1）因为PD^平面ABCD，ADÌ平面ABCD，则AD^PD，

因为ÐADC=90°，即AD^CD，

因为PDÇCD=D，CDÌ平面PCD，PDÌ平面PCD，

故AD^平面PDC.

（2）法一：PD^平面ABCD，ÐADC=90°，

以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

uuuruuuruuruur

因为AB=AD=PD=3，CD=2AB，CE=2EP，

所以B3,3,0、C0,6,0、D0,0,0、P0,0,3、E0,2,2，

uuuruuuruuuruuur

DB=3,3,0，DE=0,2,2，CP=0,-6,3，CB=3,-3,0，

r

设平面BDE的法向量为m=x1,y1,z1，

uuur

ìr

ïm×DB=3x1+3y1=0r

则，取x=1，可得m=1,-1,1，

íruuur1

îïm×DE=2y1+2z1=0

r

设平面PBC的法向量为n=x2,y2,z2，

uuur

ìr

ïn×CP=-6y2+3z1=0

x=1nr=1,1,2

则íruuur，取2，可得，

îïn×CB=2x1-2y1=0

设平面BDE与平面PBC的夹角为q，

rr

rrm×n22

则cosq=cosm,n=rr==，

m×m3´63

2

所以平面BDE与平面PBC夹角的余弦值为.

3

1

法二：因为S=´6´3=9，

△DBC2

112

所以V=S´PD=´9´3=9，V=V=6

P-DBC3△DBC3E-DBC3P-DBC

2211

又S=S=´´BC´PB=´32´27=36，

△EBC3△PBC323

1

而V=V，所以6=´36×h，

E-DBCD-EBC3

故h=6，即D到平面PBC距离为6.

依题意，计算可得，在VDEB中，DB=32，BE=14，DE=22，

DB2+DE2-BE218+8-141

由余弦定理，得cosÐEDB===，

2´BD´DE2´32´222

3

因为ÐEDBÎ0,π，所以sinÐEDB=，

2

13

又S=´32´22´=33，

△DEB22

2S63

设h¢为点D到交线BE的距离，则h¢=△DEB=，

BE14

设平面BDE与平面PBC的夹角为q，

h614

sinq===142

所以h¢6318，所以cosq=1-=.

183

14

2

所以平面BDE与平面PBC夹角的余弦值为.

3

1

7．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=5,cosÐBAD=，平面DBEF^平

5

面ABCD,AB^DF,DF∥BE，且DF=2BE=2.

(1)求证：BE^平面ABCD；

(2)求点B到平面AEF的距离．

【答案】(1)证明见解析

230

(2)．

15

【详解】（1）

连接AC，如图所示，因为四边形ABCD是菱形，所以AC^BD，

又平面DBEF^平面ABCD，平面DBEFÇ平面ABCD=BD,ACÌ平面ABCD，

所以AC^平面DBEF，又DFÌ平面DBEF，所以AC^DF，

又DF//BE，所以AC^BE，又AB^DF,DF//BE，所以AB^BE，

又ABÇAC=A，AB,ACÌ平面ABCD，

所以BE^平面ABCD．

（2）因为BE^平面ABCD，又AB,BDÌ平面ABCD，所以BE^BD,BE^AD，

所以AE=AB2+BE2=6,AF=AD2+DF2=3．

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB×ADcosÐBAD=8，所以BD=22，

又DF//BE,DF=2BE=2，易得EF=3，

AF2+EF2-AE225

所以cosÐAFE==，所以sinÐAFE=1-cos2ÐAFE=，

2AF×FE33

135

所以S=×AF×EF×sinÐAFE=．

△AEF22

因为DF//BE,DFË平面ABE,BEÌ平面ABE，所以DF//平面ABE，

111126

所以æö．

VF-ABE=VD-ABE=VE-ABD=SVABD×BE=´´5´5´1-ç÷´1=

332è5ø3

1356

设点B到平面AEF的距离为h，所以VF-ABE=VB-AEF，即´´h=，

323

230230

解得h=，即点B到平面AEF的距离为．

1515

8．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，底面ABCD是等

腰梯形，且BC//AD，AD=2DC=2CB，ÐADC=60°，PC=2BC，M为AD中点．

(1)求证：PM^平面ABCD；

(2)求直线AB与PD所成角的余弦值；

(3)求平面BPC与平面PCD夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

2

(2)；

4

26

(3)

7

【详解】（1）设AD=2DC=2CB=2，M为AD中点，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形\PM^AD，

取BC的中点G，底面ABCD是等腰梯形，\MG^AD.

连接PG,BC//AD,AD=2DC=2BC,ÐADC=60o,\MB=MC

\PB=PC,\PG^BC,QAD=2,PC=2BC，

17

在RtVPGC中，PC=2,GC=,\PG=，

22

37

在VPMG中，PM=1,MG=,PG=.

22

\PM2+MG2=PG2,\ÐPMG=90o，

\PM^MG，且ADIMG=M,AD,MGÌ平面ABCD，

\PM^平面ABCD；

（2）

æ31öæ31ö

如图，建系M-xyz，则Bç,-,0÷,Cç,,0÷,D0,1,0,P0,0,1,A0,-1,0,

è22øè22ø

uuuræ31öuuur

AB=ç,,0÷,PD=0,1,-1，

è22ø

设直线AB与PD所成角为a，

uuuruuur1

AB×PD22

cosa=uuuruuur==

AB´PD1´24

ruuuruuuræ31ö

（3）设平面BCP的法向量是m=x,y,z,BC=0,1,0,BP=ç-,,1÷

è22ø

uuurrìy=0

ïìBC×m=0ïæ2ö

mr=-,0,-1

íuuurr，即í31，令z=-1，解得ç÷

ïBP×m=0ï-x+y+z=0è3ø

îî22

ruuuræ31öuuuræ31ö

设平面PCD的法向量是n=a,b,c,CD=ç-,,0÷,CP=ç-,-,1÷

è22øè22ø

ì31

uuurrï-a+b=0

ïìCD×n=0ï22æ1ö

nr=,1,1

íuuurr，即í令b=1，解得ç÷

ïCP×n=031è3ø

îï-a-b+c=0

îï22

5

rr-

m×n35

设平面BPC与平面PCD夹角为q,cosq=rr==

mn777

33

2

æ5ö26

故面BPC与平面PCD夹角正弦值为sinq=1-ç÷=.

è7ø7

考点二线面垂直的性质

1．（24-25高二下·湖南·期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD^平面ABCD，△PAD是边长为2的等边

三角形，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD，AB^AD，AB=BC=1．

(1)求证：AB^PD．

(2)求线段PA中点M到平面PCD的距离．

10PE

(3)线段PD上是否存在一点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存

5PD

在，请说明理由．

【答案】(1)证明见解析

21

(2)

7

PE1

(3)存在，=

PD3

【详解】（1）由于平面PAD^平面ABCD，平面PADÇ平面ABCD=AD，

QAB^AD且ABÌ平面ABCD，

\AB^平面PAD，

QPDÌ平面PAD，\AB^PD．

（2）取AD的中点O，连接PO，OC，由△PAD为等边三角形，得PO^AD，

而平面PAD^平面ABCD，平面PADÇ平面ABCD=AD，POÌ平面PAD，

则PO^平面ABCD，由AO=BC=1，AO//BC，得四边形ABCO是平行四边形，

于是OC//AB，而AB^AD，则OC^AD，直线OC，OD，OP两两垂直，

以O为坐标原点，直线OC，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

æ13ö

则A0,-1,0，D0,1,0，C1,0,0，B1,-1,0，P0,0,3，Mç0,-,÷，

è22ø

uuuuræ13öuuuruuur

CM=ç-1,-,÷，CP=-1,0,3，CD=-1,1,0，

è22ø

ruuur

ïìn×CP=-x+3z=0

nrx,y,z

设平面PCD的法向量为=，则íruuur，

îïn×CD=-x+y=0

r

取z=1，得n=3,3,1，

uuuurr

CM×n321

所以M到平面PCD的距离d=r==．

n77

uuuruuur

（3）令PE=lPD=0,l,-3l，lÎ0,1，

uuuruuuruuuruuur

AE=AP+PE=0,1,3+0,l,-3l=0,1+l,3-3l，AC=1,1,0，

uuur

ìr

rïm×AC=a+b=0

设平面EAC的法向量为m=a,b,c，则íuuur，

mr×AE=1+lb+3-3lc=0

îï

r

取b=3l-1，得m=31-l,3l-1,l+1，

uuur

易知平面DAC的一个法向量为OP=0,0,3，

uuurr

uuurrOP×m3l+110

于是，cosOP,m===，

uuurr2

OPm37l-10l+75

1PE1

化简得3l2-10l+3=0，又lÎ0,1，解得l=，即=，

3PD3

10PE1

所以线段PD上存在点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为，此时=．

5PD3

2．（24-25高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，ÐBAC=90°，E，F

分别为C1C，BC的中点．

(1)求证：A1B^B1C；

(2)求直线A1B与平面AEF所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

33

(2)．

6

【详解】（1）证明：连接AB1，

因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以AA1^平面ABC，

又ACÌ平面ABC，所以AC^AA1，

又AC^AB,ABÇAA1=A，AB，AA1Ì平面ABA1，所以AC^平面ABA1，

又A1BÌ平面ABA1，则A1B^AC，

因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，所以四边形ABB1A1为正方形，

所以A1B^AB1，

因为ACÇAB1=A，AC、AB1Ì平面ACB1，所以A1B^平面ACB1，

又B1CÌ平面ACB1，则A1B^B1C．

（2）因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，ÐBAC=90°，

所以AB，AC，AA1两两垂直，

所以以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，

uuuruuuruuur

所以A1B=(2,0,-2)，AE=(0,2,1)，AF=(1,1,0)．

ruuur

rïìn×AE=2b+c=0

设平面AEF的一个法向量为n=(a,b,c)，则íruuur，

îïn×AF=a+b=0

r

令a=1可得n=(1,-1,2)．

设A1B与平面AEF所成角为q，

uuur

nr×AB

ruuur123

所以sinq=cosán,A1Bñ=×uuur==，

r6

nA1B4+4´1+1+4

3

即AB与平面AEF成角的正弦值为，

16

33

所以A1B与平面AEF成角的余弦值为．

6

3．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1．

(1)求证：AB^VC；

(2)求直线VB与平面AVC所成角的正弦值；

(3)若AB//a，VC//a，用平面α将三棱锥V-ABC分为两部分，求截面面积的最大值．

【答案】(1)证明见解析

165

(2)

15

1

(3)

2

【详解】（1）证明：如图所示，取VC,AB中点M,N，连接AM，BM

因为VA=AC，VB=BC，可得AM^VC且BM^VC，

又因为AMÇBM=M，且AM,BMÌ平面AMB，所以VC^平面AMB，

因为ABÌ平面AMB，所以VC^AB.

（2）解：作BH^AM交AM于H，连接MN，VH，

由（1）VC^平面AMB，VCÌ平面AVC所以平面AVC^平面AMB，

因为平面AVCÇ平面AMB=AM，且BHÌ平面AMB，所以BH^平面AVC，

所以ÐHVB为直线VB与平面AVC所成角，

1511

又因为AM=BM=VB2-VM2=，所以MN=BM2-BN2=，

22

11

2´

11AB×MN2165

因为BH×AM=AB×MN，可得BH==2=

22AM1515

2

2165

又因为BH^VH，所以BH165，

sinÐHVB==15=

VB215

165

所以直线VB与平面AVC所成角的正弦值为.

15

（3）解：如图所示，设平面aI平面VAB=PQ，平面aI平面CAB=ST，平面aI平面VAC=PS，平面aI平

面VBC=QT，

因为AB//a，且ABÌ平面VAB，所以AB//PQ，

同理可证AB//ST，VC//PS，VC//QT，即PQ//ST，PS//QT

由（1）知AB^VC，所以PQ^QT，所以截面PQTS为矩形，

设QT=x，其中xÎ0,1，则BT=2,CxT=ST=2-2x，

2

æ1-x+xö1

所以矩形PQTS的面积S=PQ´QT=2-2xx=21-xx£2ç÷=，

è2ø2

11

当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立，所以截面面积的最大值为.

22

4．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，正方形ABCD中，边长为a，E为AB中点，F是边BC上的动点，将