2026秋高三数学复习 立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题(原卷版)

立体几何：表面积问题、体积问题、外接球问题、内切球问题专项训练

考点一表面积问题

1．（24-25高二下·广西南宁·期中）球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（）

A．9倍B．18倍C．27倍D．81倍

2．（2025·江西·模拟预测）任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为（）

æ3ùæ3ö

A．ç1,B．ç1,÷C．(1,2]D．(1,2)

è2ûúè2ø

3．（24-25高一下·广东佛山·期末）如图，等边三角形与直线l在同一平面，AC垂直l于A，AC=2，则VABC绕

l旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（）

A．10πB．11πC．12πD．13π

4．（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作平行于底面的平

面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台与原圆锥的表面积之比为（）

A．11:12B．5:6C．3:4D．2:3

5．（24-25高一下·浙江·期中）水平桌面上放置了4个完全相同的半径为1的小球（不叠起），四个小球的球心构成

正方形，且相邻的两个小球相切．用一个半球形容器（容器壁厚度不计）罩住这四个小球，则这个半球形容器表

面积（不包含底面圆）的最小值为（）

A．6+42πB．8+43πC．3+22πD．4+23π

6．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习·多选）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方

体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（不含最

底层正方体的底面面积）超过34，则该塔形中正方体的个数可以是（）

A．4B．5C．6D．7

723-24···ABCDABCDABABAAP

．（高三上贵州遵义阶段练习多选）在正四棱台-1111中，=211=43,1=10，点

ABCDAP

在四边形内，且1=4，则（）

ABCDABCD

A．正四棱台-1111的体积是56

ABCDABCD

B．正四棱台-1111的侧面积是362

ABCDABCD

C．正四棱台-1111的外接球的表面积是145π

53

D．P的轨迹长度是π

3

8．（24-25高一下·北京昌平·期末）以边长为2的正方形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周得到一个

圆柱，则该圆柱的体积是；表面积是.

2π

9．（24-25高一下·湖北十堰·阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的

3

侧面积与表面积的比是．

10．（2025·重庆·模拟预测）阅读下面两则材料解决问题:

材料一:2025年4月29日，长征火箭再次腾空，将“互联网低轨卫星”成功送入预定轨道.低轨卫星距地面一

般为160~2000公里，与高轨卫星相比，有速度快、回传信号质量高等特点，在半径为6400公里的地球上空，

更像“贴地飞行”.

材料二:球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图).当球面半径

为R，球冠高为h时，球冠表面积S=2πRh.问题:若某低轨卫星位于赤道正上方1600公里高度的轨道，保持

高度绕地球一圈(地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传

信号的地表覆盖面积百分比为.

11．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，圆锥PO的底面半径和高均是a.

(1)过线段PO的中点O¢作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积.

(2)若过线段PO上的任意一点作平行于底面的截面，并以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的最大表面

积.

12．（24-25高一下·广东广州·期中）如图，圆锥PO的底面直径和高均是2cm，过PO上的一点O¢作平行于底面的

截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．

(1)若O¢是PO的中点，求圆锥挖去圆柱剩下几何体的表面积和体积；

(2)当OO¢为何值时，被挖去的圆柱的侧面积最大？并求出这个最大值．

考点二体积问题

1．（24-25高一下·福建厦门·期末）某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底

面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（）

5757

A．B．C．D．

121244

2．（24-25高三上·辽宁沈阳·阶段练习）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”

指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用

祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的

示意图，其中曲线AOC和BOD均是以32为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意

平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（）

（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱）

A．362B．722C．36πD．72π

ABCDABCDCDCC

3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）在正方体-1111中，E，F，G分别是11，AD，1的中点，过E，

F，G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（）

135911949

A．B．C．D．

167214472

ABCDABCD

4．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知正四棱台-1111的所有顶点都在球O的表面上，且球心O

ABCDABABCDABCD

在平面内，若AB=52，11=42，则正四棱台-1111的体积是（）

A．61B．122C．183D．366

5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是

（）

2814112

A．B．C．2814D．112

33

ABCDABCDCCBCCB

6．（2025·四川绵阳·模拟预测·多选）正方体-1111棱长为2，E为1中点，F为平面11上的动点

BCCBAFADE

（在四边形11内部及其边界）且满足1//平面1，则下列正确的是（）

2

A．动点F的轨迹长度为

2

ACCFé24ù

B．三棱锥1-1的体积范围为,

ëê33ûú

FADE

C．三棱锥-1的体积为定值

ACCF

D．当三棱锥1-1的体积最小时，其外接球的表面积为14π

7．（24-25高二下·广东揭阳·期末·多选）用半径为R的圆形铁皮剪出圆心角为q的扇形（以圆形铁皮的半径为半径

的扇形），制成一个圆锥形容器SO，底面圆O的半径为r．则下列说法正确的是（）

337π

A．当r=，且圆锥SO的侧面积为3π时，圆锥的体积V=

28

337

B．当r=，且圆锥SO的侧面积为3π时，过圆锥SO的顶点S所作的截面中，截面面积的最大值为

24

C．当R=3，且圆锥SO的侧面积为3π时，圆锥SO能在棱长为4的正四面体内任意转动

26

D．当q=π时，圆锥SO的体积最大

3

ABCABCABABAA

8．（2025·湖北黄冈·二模）在正三棱台-111中，=6,11=3,1与平面ABC所成角的正切值为1，则

该棱台的体积．

9．（2025·辽宁·二模）我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计

算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上

底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面

的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童ABCD-EFGH的外接球（球心在该刍童体

内）半径为5，且AB=33,AD=3,EH=43,EF=4，则该刍童的体积是.

ABCABCBBCC

10．（2025·湖南永州·模拟预测）三棱柱-111的体积为1，P点为四边形11的中心，则四面体

ABPBABCABC

1-1的体积与三棱柱-111的体积比为．

ABCABCBCCBBCCB

11．（2025·河南·三模）如图，在三棱柱-111中，AB^平面11，四边形11为菱形．

BCAC

(1)证明：1^1；

BBCABCB21ABCABC

(2)若Ð1=60°，AB=4，二面角-11-的余弦值为，求三棱柱-111的体积．

7

ABCABCAB

12．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱-111中，AB^AC，D，E分别为BC，11的中

点．

AACC

(1)求证：DE//平面11；

(2)求证：AB^DE．

AAABCE

(3)若1=3，AB=AC=2，求三棱锥-的体积．

考点三外接球问题

1．（24-25高一下·浙江衢州·期末）在VABC中，AB=2,C=45°，PA^平面ABC，且PA=2，则三棱锥P-ABC

外接球的表面积为（）

A．2πB．43πC．12πD．36π

ABCABCAA

2．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱-111中，1=2，AB=1，AC=3，

ÐBAC=150°，该直三棱柱的外接球表面积为（）

A．16πB．29πC．32πD．36π

3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）在三棱锥P-ABC中，VABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，

PA^PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为（）

27273

A．pB．pC．273pD．27p

22

ABCDABCD

4．（24-25高二下·湖南永州·期末）如图，在正方体-1111中，AB=2，P是正方形ABCD内部(含边界)

uuuruuur

DP1DBPBBC

的一个动点，若=，则三棱锥-1外接球的表面积为（）

2

A．8πB．6πC．42πD．4π

ABCABC

5．（24-25高一下·吉林长春·期末·多选）已知正三棱台-111是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其

ABAABCCBP

中=6，1=2，以点A为球心，27为半径的球面与侧面11的交线为曲线Γ，为Γ上一点，则（）

BCCB

A．点A到平面11的距离为26B．曲线Γ的长度为4π

47π

C．线段CP的最小值为23-2D．所有线段AP所形成的曲面面积为

3

6．（24-25高一下·甘肃白银·期末·多选）在四棱锥P-ABCD中，PC^平面ABCD，ÐABC=ÐADC=90o，

ÐBCD=120o，PC=42，AB=10，AD=8，则（）

A．四边形ABCD外接圆的半径为27

B．四边形ABCD外接圆的半径为82

C．四棱锥P-ABCD外接球的体积为288p

D．四棱锥P-ABCD外接球的体积为144p

7．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同

一个球的球面上，则该球的表面积为．

ABCABC

8．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台-111的侧棱长为10，上、下底面的边长分别为3，23，则

ABCABC

三棱台-111的外接球的表面积为．

ABCDABCDABAB

9．（24-25高一下·江西抚州·期末）如图，在正四棱台-1111中，11=2，=6，若该四棱台的体积

523

为，则该四棱台的外接球表面积为．

3

pp

10．（24-25高一下·陕西·期末）三棱锥ABCD中，AB=2，ÐACB=，ÐADB=，那么三棱锥ABCD外接球的

46

表面积的最小值是．

11．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，CD=2AB=6，AD=2，ÐADC=60°，

E，F分别为线段AB，CD上异于端点的一点，EF^AB，将梯形AEFD沿EF翻折至与梯形EBCF垂直的位

置，得到多面体ABEDCF．

(1)若BD^EC，证明：DF=FC．

(2)若CD//平面ABF，求直线BC与平面ABF所成角的正弦值．

(3)求四面体ACDF的外接球的半径的最小值．

12．（2025·陕西延安·模拟预测）如图，三棱锥P-ABC中，PA^底面ABC，E是PB的中点，F是PC的中点，

EF^AC．

(1)求证：平面AEF^平面PAC；

26

(2)若AC=2，AB=5，且二面角A-PB-C的正弦值为，求三棱锥P-ABC外接球的表面积．

5

考点四内切球问题

1．（2025·吉林长春·模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

236-26+2

A．B．C．D．

3324

2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知圆锥PO的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的半径为（）

2222

A．B．C．D．

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