2026秋高三数学复习 解三角形：最值与范围问题(原卷版)

解三角形：最值与范围问题专项训练

考点一利用三角函数的有界性求最值与范围问题

1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为VABC的面积，a=4，且

2

2S=a2-b-c，则VABC的周长的取值范围是（）

ùùùù

A．8,45+4ûB．12,25+2ûC．8,25+2ûD．12,45+4û

2．（24-25高三上·湖北·期中）已知在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

c

2S=b2+c2-a2，则的取值可能为（）

△ABCb

1

A．B．1C．3D．5

3

3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在锐角VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为VABC的面积，

b

且3S=a2-(b-c)2，则的取值范围为（）

c

é725öæ7öæ725öæ24ö

A．ê,÷B．ç,+¥÷C．ç,÷D．ç,+¥÷

ë257øè25øè257øè25ø

π

4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知锐角VABC的面积为23，A=，则边AB的取值范围是（）

3

A．(1,2)B．(2,22)C．(2,4)D．(22,4)

5．（24-25高一下·陕西渭南·期中·多选）VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，S为VABC的面积，且

uuuruuur

a=2，AB×AC=23S，下列选项正确的是（）

π

A．A=B．若b=3，则VABC有两解

3

C．若VABC为锐角三角形，则b取值范围是23,4D．VABC周长的取值范围为4,6

6．（24-25高一下·安徽·阶段练习·多选）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是（△）

A．a=3

B．若B+C=2A，则VABC的外接圆半径为3

π

C．若A=，且VABC有一解，则b的取值范围为0,3

4

D．若c2=a2+ab，且VABC为锐角三角形，则c的取值范围为32,33

7．（2025·湖北·模拟预测）锐角VABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A=2B，a+b=3，则边c的取值范

围是.

8．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在锐角VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且

c

3a2+c2-b2=4S，则的取值范围是.

a

9．（24-25高三下·山东德州·阶段练习）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b=2，且满足

atanAcosB+bsinA=2ctanAcosB

(1)求角B的大小

(2)VABC的内心为I，求VACI周长的取值范围.

10．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

b-asin2B-sin2C

=．

asin2A

(1)求角C的大小；

(2)若c=2，求VABC周长的取值范围．

11．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在VABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

sin2(A+C)=(sinA+sinC)2-sinAsinC．

(1)求角B的大小；

(2)若b=4，求2a+c的取值范围．

12．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在VABC中，c=3，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下

面的问题．条件：csinA=3acosC；条件：(a-b)2=c2-ab．

(1)若b=2，求V①ABC的面积；②

(2)求a+b的取值范围．

13．（24-25高一下·海南·期末）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，VABC的面积为S，已知a=2，且

urrurr

________在m=cosA,cosB，n=b-2c,a，且m^n，acosA+acosB-C=23bcosAsinC，

2①②③

b+c-a2=43S.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按

第一个解答计分）

(1)求A；

(2)求b-2c的取值范围.

rr

14．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）已知a=sinwx,coswx，b=coswx,3coswx，w>0，函数

rr3

fx=a×b-的最小正周期为π．

2

(1)求函数fx的单调递减区间；

æAö3

(2)在锐角VABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且满足fç÷=，a=2，求VABC周长的取值

è2ø2

范围．

考点二利用基本不等式求最值与范围问题

1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若3a=b3cosC+sinC，且

a+c=4，则b的最小值是（）

A．3B．2C．22D．23

2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在VABC中，已知2asinA=2b-csinB+2c-bsinC，a=2，则

VABC周长最大值为（）

4343

A．4B．6C．D．+2

33

3．（24-25高三下·江西南昌·阶段练习）在VABC中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若

æπö32

sinA+cosçA+÷=,b+c=4，则a的取值范围是（）

è6ø2

A．2,4B．3,6C．5,12D．4,16

π

4．（24-25高一下·江苏无锡·期中·多选）设VABC中角A,B,C所对的边为a,b,c，a=23，A=则下列说法正确

3

的是（）

A．若b=4，则c=2

B．若c=5，则满足条件的三角形有且只有一个

C．VABC面积的最大值为33

D．VABC周长的最大值为63

5．（24-25高一下·新疆哈密·期末·多选）在VABC中，内角A，B，C，的对边分别是a，b，c，b=4，且

acosC+ccosA=2bcosB，则下列结论正确的是（）

π

A．B=B．VABC外接圆的面积为16π

3

C．VABC的面积的最大值为43D．a+c的最大值是8

6．（23-24高一下·重庆·期末）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c(tanC+tanB)cosB=3a，

uuuruuur

则ÐC=，若a×BA=(2b+a)×BD，且CD=7，则2b+a的最小值为．

7．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量mr=a,cosA，

rrr△

n=cosB,b-c，且m×n=c×cosA，ABC外接圆面积为3π.则A=，ABC周长的最大值为.

△∠△

8．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知VABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且满足

sin2A-sin2B-sinBsinC=sin2C.

(1)求角A；

(2)设点D为边BC中点，且AD=2，求b+c最大值；

9．（2025·江西新余·模拟预测）已知a、b、c分别为斜VABC中角A、B、C的对边，

2asinA-sinBcosC=asinA+bsinB-csinC．

sinB

(1)求；

sinA

4

(2)已知VABC的面积为15b2cosC，求c+的最小值．

a

10．（2025·山东德州·三模）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

2sinB=sinA+cosAtanC．

(1)求C；

(2)若2(a+b)=c2，求VABC的边c的最大值．

11．（24-25高一下·重庆·期末）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，

sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，

(1)求角A的大小；

(2)求VABC周长的最大值；

(3)若BC中点为D，求AD的最小值.

12．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

a(3sinB+cosB)=b+c，D为边BC上一点，且AD=2．

(1)求角A的大小；

c

(2)若BD=2DC，且=3-1，求a的值；

b

(3)若AD为角平分线，求AB+3BD的最小值．

sinA-sinBc-b

13．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知VABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且=

sinCa+b

(1)求角A；

(2)若VABC的面积为43.

已知E为BC的中点，且b+c=10，求VABC中线AE的长；

①求内角A的角平分线AD长的最大值.

②

考点三利用二次函数求最值与范围问题

1．（24-25高一下·广东广州·期中）在VABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c.

cos2B-cos2C

(1)已知sinA=，c=3，a+b=32，若ÐACB的平分线交AB于点D，求线段CD的长；

sinA-sinB

π3CH-AH

(2)若VABC是锐角三角形，且C=，H为VABC的垂心，且CH=3，求的取值范围；

3BH

sinB

(3)若b=3a，令t=，试求t的最大值.

3cosA+3cosB

uuuruuur

2．（24-25高一下·江苏南京·期中）在VABC中，D，E为边BC上两点，BD=1，EC=3BD，

uuuruuur

DE=mBD(m>0)．

(1)若ÐB=a，ÐC=g，ÐAED=b，用a，b，g的三角函数值表示DE的值；

tanÐABC

(2)若AE=DE=5，CA=7，求的值；

tanÐADC

(3)若DE=5，ÐBAD=ÐCAE．

AB

求的值；

AC

①求VABC面积的最大值．

②

3．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期中）在VABC中，过重心G的直线与AB边交于P，与AC边交于Q，点P，Q

uuuruuuruuuruuur

不与B，C重合.设△APQ面积为S1，VABC面积为S2，AP=xPB，AQ=yQC.

uuuruuuruuur

(1)求GA+GB+GC；

11

(2)求证：+=1；

xy

S

(3)求1的取值范围.

S2

4．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足b=a-2bcosC.

(1)求证：C=2B；

(2)若VABC为锐角三角形，求3sinC+cosB-sinB的最大值．

5．（24-25高一下·湖北·阶段练习）某地政府为了解决停车难问题，在一块空地上规划建设一个四边形停车场．如

图，经过测量AB=2,BC=6,CD=4,DA=4，中间AC是一条道路，其面积忽略不计．

(1)求3cosB-4cosD的值；

22

(2)VABC,VACD的面积分别记为S1,S2，求S1+S2的最大值．

6．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知A为钝角，

asinB=bcosB.

π

(1)若C=，求A；

6

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

7．（24-25高三上·河南新乡·阶段练习）如图，在VABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，

ÐBAD=ÐCAE．

sinÐACB

(1)求的值；

sinÐABC

(2)求VABC面积的取值范围．

b

8．（24-25高三上·湖南湘潭·开学考试）设VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A为钝角，且tanB=．

a

(1)探究A与B的关系并证明你的结论；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．

考点四利用函数单调性求最值与范围问题

c

1．（2025·山西·三模）设VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足acosB=+bcosA．

3

(1)证明：tanA=2tanB；

π

(2)已知B³，求tanAtanBtanC取得最小值时tanB的值．

4

2．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知VABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P满足

ÐPAB=ÐPBC=ÐPCA=a．

(1)若a=b=c，求a；

(2)若ÐABP=a，VABC的周长为4，

求证：b2=ac；

①求VABC面积的最大值．

②

3．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在VABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知

tanC+3=tanB3tanC-1．

(1)求角A；

2

(2)若a=3，VABC所在平面内有一点D满足ÐBDC