2026-2027学年湖南省邵阳市七年级数学人教版上学期阅读理解题分类能力练习试题（含答案）

/2025--2026年湖南省邵阳市七年级数学人教版【2024】上学期阅读理解题分类能力练习试卷1．【阅读材料】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0~(n（1）类比十进制的计数原理：12035=1×104+2×103+0×10（2）把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，一直除到商为0，余数为1止；再将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数13转化为二进制数．13÷2=6余16÷2=3余03÷2=1余11÷2=0余1所以13=1101（3）二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的加法运算法则如下：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10请你根据上面的加法运算法则和所学的竖式计算相关知识，计算1001022．阅读理解：材料1．若一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0材料2．已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2解：由题知m，n是方程x2根据材料1得m+n=1∴n解决问题：（1）一元二次方程x2−4x−3=0的两根为x1，x（2）已知实数m,n满足2m2−3m−1=03．阅读下列材料，然后根据例题解下列不等式：示例：求不等式x+2解：要使x+2①x+2>0x−2>0解不等式组①得x>2，解不等式组②得x则不等式x+2x−2>0的解集为请根据上面例题的解法解下列不等式：（1）不等式x+3（2）求不等式x−14．请阅读下列材料，并解答相应的问题：“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图1），是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如图2），“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．（1）设图3三阶幻方中间的数字是x，用x的代数式表示幻方中9个数的和为_________；每一行三个数的和为_________；（2）图4是一个三阶幻方，那么标有x的方格中所填的数是多少？请写出解题过程．（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图5所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，x=k+1，y5．阅读理解：若x满足7−xx−4解：设7−x=a7−xx−4所以7−请仿照上例解决下面的问题：问题发现：（1）若x满足10−xx+2类比探究：（2）若x满足x+12+拓展延伸：（3）若x−20242+6．阅读下列解题过程并解答类似的题目．解方程：x+2解：由x+2=3，得x+2=±3，①若x+2=3，得x=1所以原方程的解是x=1或x（1）解方程2x（2）若方程x−3=2的解也是方程4x7．阅读材料并回答问题：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB．若∠同学一：以下是我的解答过程（部分空缺）解：如图2，∵∠AOB=90°，OC∴∠BOC=∠AOC∵∠COD∴∠BOD=∠BOC+∠__________同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．”请你完成以下问题：（1）将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图2中∠BOD（2）判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图1中画出一种情况对应的图形，并求∠BOD8．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料．材料一，计算：124分析：利用通分计算23解：23∴1材料二，下列算式是一类两个两位数相乘的一种特殊计算方法．38×32=100×367×63=100×6根据以上材料，完成下列问题：（1）请你根据对材料一的理解，计算：−1（2）请你根据对材料二的理解，计算：−54×56+9．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简a时，可以这样分类：当a>0时，a=a；当a=0时，a=0（1）当a=5时，求a（2）当a=−2时，求a（3）已知a，b是有理数，当ab>0时，试求a（4）已知a、b是有理数，当abc<0时，求a10．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为识i2=−1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为例如计算：2+（1）填空：i3=___________，（2）计算：①3+i3−（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：x−11．【教材呈现】下题是华师版七年级上册数学教材第117页的部分内容．C组17．代数式：x2+x【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：（∵表示“因为”，∴表示“所以”）∵x2∴x2原式=2=2=2×6−3=9．∴代数式2x【方法运用】（1）若−x2+x（2）若代数式x2+x（3）【拓展应用】若x2+2xy=−2，xy−12．阅读下题的计算方法.计算：−5解：原式===0+（−=−上面这种解题方法叫做拆项法，利用此方法计算：−2025513．阅读下列素材，解决水费及用水量问题：素材1为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高．素材2该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元．素材3实际用水费用收费标准等级用水量单价（元/吨）第一阶梯不超过22吨的部分3.5第二阶梯超过22吨，不超过30吨的部分4.5第三阶梯超过30吨的部分6任务一确定水费小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元．任务二确定污水处理费小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？任务三确定用水量如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？14．【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：由题意，得x2+x2=2=2×4−3=5；所以代数式2x【方法运用】（1）若代数式x2+x+1的值为10，则代数式（2）当x=2时，求ax2+bx【拓展应用】（3）若a2−ab=26，15．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律．规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离AB可表示为：①AB=②AB=|规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为a【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为−5，点B表示的数为4，P是数轴上一动点．（1）则A、B两点间的距离AB=（2）若A、P两点间的距离AP=7【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为−10，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0（3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________．（4）按上述方式运动，A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度．16．阅读下列材料：同学们知道，1°=60'，1'=60请你仿照小明的做法将14.36º化为度、分、秒表示的形式。17．阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：5x−3x+2x尝试应用：（1）把m+n2（2）已知x2+2y拓展探索：（3）已知a−b=2，b−2c18．【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT=2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT（或射线【迁移运用】（1）如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；（2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB=28°，射线OC从①当射线OC与射线OA重合时，运动停止．若射线OA是射线OB，OC的“三倍和谐线”时，求t的值；②当射线OC与射线OM重合时，运动停止．若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒1°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“三倍和谐线”时，求19．阅读材料：对于任意一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个两位数为“迥异数”，将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为fx，例如：x=23，对调个位数字与十位数字得到新的两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以根据上述定义，回答下列问题：（1）填空：①下列两位数：20，66，54中，是“迥异数”的为__________；②计算f17（2）如果一个“迥异数”a的十位数字是m，个位数字是2m+3，且20．阅读理解：你知道如何将无限循环小数写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你方法．例题：利用一元一次方程将0.7化成分数，设0.7=x，由于0.7=0.777⋯，可知10×0.7请你仿照上述方法完成下列问题：（1）将0.5（2）将0.321．阅读理解：数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段AB=2=−1−−3；线段问题：（1）数轴上点M、N代表的数分别为−4和3，则线段MN=（2）数轴上点E、F代表的数分别为−5和−1，则线段EF=（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为−3，求另一个点表示的数．22．阅读材料，回答问题．材料一：因为23=2×2×2，22材料二：求31解：设S=则3S用①②−得，3S所以2S=37−3这种方法我们称为“错位相减法”．（1）填空：5×58=5（），a2（2）“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒米．（用幂表示）②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．23．阅读材料：对于有理数a,b,c,（1）计算−3−2（2）当3x+2124．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：我们在求代数式x2−2xx2因为x−12≥0，所以x所以，当x=1时，x同理，可以求出−x通过上面阅读，解决下列问题：（1）填空：代数式x2+4x（2）求代数式x2+mx25．阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：5x−3x+2x尝试应用：1把m+n22已知x2+2y拓展探索：3已知a−b=2，b−2c26．探究题：阅读下列材料，规定一种运abcd=ad（1）1−33−2（2）若x+827．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：已知x2+x=0，求x2【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题：（1）若x2+x（2）如果a−b=6【拓展探索】（3）若a2+2ab=−5，28．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是【A，B】的金点.例如，如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为3．表示数2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的金点，但点C不是【B，A】的金点.知识运用：（1）如图1，点B【D，C】的金点（填“是”或“不是”）；点D是【，】的金点.（2）如图1，若点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是.（3）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为－8，点B所表示的数为20．现有一点P从点B出发，向左运动，若点P运动到A点停止，点P在数轴上某处时，此时点P、A和B中恰有一个点为其余两点的金点，则点P表示的数为（直接写出答案）.29．请阅读材料，并解决问题．比较两个数的大小的方法：若比较−99201与解：因为99201<12，51101（1）上述方法是先通过找中间量______来比较出99201与51（2）利用上述方法比较−45126与30．阅读下列材料：在计算112思路1思路2思路3用112分别除以14，−1先求出14，−16，+先算14（1）上述三种思路中，不正确的是思路________；（2）请选择一种正确的思路计算：−131．阅读下面的材料：若m2解：∵m∴∴(∴(∴(m−∴n=4，根据你的观察，探究下列问题：（1）若a2−6a+9+b2=0（2）已知x2−2xy（3）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+32．请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的x2x∵∴当x=－1时，x2请根据上述方法，解答下列问题：（1）x2+23x+5=（2）若代数式x233．阅读下列材料，并解决相应问题观察下面一列数：1，2，4，8，……我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．（1）如果一个等比数列的第2项是12，第3项是18，则这个等比数列的第1项是，第4项是．（2）为了求等比数列1，2，4，8，……的前2024项的和，可以用如下的方法：求此等比数列前2024项的和，即为求1+2+22+23+⋅⋅⋅+22023的值，可令S=1+2+34．阅读下列材料并解决有关问题：知道：x=如化简代数式x+1+x−2时，可令x+1=0和x−2=0，分别求得x=−1，x=2（称−1，2分别为x+1与x−2的零点值）．在有理数范围内，零点值x=−1和，x通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）分别求出x+2和x（2）化简代数式x+2（3）求方程：x+235．阅读下列过程，回答问题（1）通过计算下列各式的值探究问题：22=，02=，(1探究：当a≥0时，a2=；当a<0（2）应用（1）中所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a236．新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB（1）【阅读理解】角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）（2）【初步应用】如图①，∠AOB=45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠（3）【解决问题】如图②，已知∠AOB=60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0<t<9）．若OM、ON、37．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．（1）点A−1，3的“长距”为（2）若点B4（3）若点C−2,3b−238．阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0材料2：已知一元二次方程x2−x解：∵m，n是一元二次方程x2∴m+则m2根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x（2）类比：已知一元二次方程2x2+3（3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=039．阅读理解题同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为数轴上表示5与﹣2的两点之间的距离，试探索：（1）|8﹣（﹣1）|=；（2）写出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x﹣1|=3成立；（3）当x=时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣4|的值最小，最小值是．（4）根据以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，指出当x满足什么条件时|x﹣3|+|x﹣8|取得最小值，并写出最小值；如果没有，请说明理由．（5）观察按下列规律排成的一列数：1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，这列数也可分组排列：（1），（12，21），（13，22，31），（14，如果按分组排列，请问2200从左往右依次在第（6）如果220040．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（42）2﹣（42）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣1的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．41．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图1，∠AOB=80°，OC平分∠AOB，若∠以下是小明的解答过程：解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠所以∠BOC=______因为∠BOD所以∠COD小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠完成以下问题：（1）请你将小明的解答过程补充完整；（2）根据小静的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD42．阅读下列解题过程：12+1＝2−113+2＝3−214+3＝4−3(4…解答下列各题：（1）110+9（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子1n−n（3）利用这一规律计算：（12+1+1343．【阅读理解】“整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛．例如：4x−2x+x【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题：（1）化简8(a+b（2）化简求值：9(x+（3）【拓展探索】若x2−2y44．阅读材料：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为4<7<9，即2<7请解答下列问题：（1）23的整数部分是________，小数部分是________；（2）如果13的小数部分为a，27的整数部分为b，求a+（3）已知10+5=2m+n45．综合与探究阅读理解：数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题．数轴上，若A，B两点分别表示数a，b，那么A，B两点之间的距离与a，b两数的差有如下关系：AB=|a−问题解决：如图，数轴上的点A，B分别表示有理数2，−5．填空：（1）A，B两点之间的距离为_______；（2）点C为数轴上一点，在点A的左侧，且AC=6（3）拓展应用：在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（t>046．阅读材料：在解决问题“已知a=12−∵a∴a−2=33a（1）化简：2（2）若a=33−47．阅读下列材料：计算：−1淇淇：原式=−嘉嘉：原式=−（1）你认为______的解法是错误的，错误的原因是____________．（2）请你选择合适的解法计算：−148．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题.已知在平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离P1P2=(x1−x2)2+(（1）已知A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；（2）已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为7，点B的纵坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，5），B（﹣3，2），C（3，2），你能判断此三角形的形状吗？说明理由.49．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较2a，2b的大小；当a>b时，②比较350和275的大小，∵350=3225=根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小320____________9（2）已知a=355b=44450．阅读理解：在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．（1）已知点A（﹣12①若点B（0，3），则点A与点B的“非常距离”为；②若点A与点B的“非常距离”为2，则点B的坐标为；③直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知点D（0，1），点C是直线y=3451．阅读材料：我们把a+b看成一个整体，则4（a+b）-2（a+b）+（a+b）=（4--2+1）（a+b）=3（a+b）.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.尝试应用整体思想解决下列问题：（1）把（a-b）2看成一个整体，合并3（2）已知x2−2y52．阅读材料研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点A（xA，yA）、B（xB，yB），则线段AB的中点坐标可以表示为（xA+x（1）问题提出如图1，直线AB与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B（6，0），过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式．（2）问题解决同学通过观察发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”，如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若S△ABD＝S△BCD，则可得AO＝CO．根据上述结论，在如图3的平面直角坐标系中，M（1，6），N（4，﹣3），C（5m，m＋2），若OC恰好平分四边形OMCN的面积，求点C的坐标．53．阅读理解：规定两数a，b之间的一种运算，若ac=b，记作(a,（1）根据上述规定，填空：①若(3,x)=3，则②若(y,4)=2，则（2）若(2,5)=a，(2,3)=b，(4,15)=c，请推理a，b54．阅读材料，解答问题：如果代数式2a+3b的值为−2我们可以这样来解：2a把式子2a+3b仿照上面的解题方法，解答下面的问题：（1）已知a2+a（2）已知a−b=−3（3）已知a2+2ab55．阅读材料：已知m2解：∵m2∴(m∴(m∴(m解得n方法应用：（1）已知a2（2）已知x①用含y的式子表示x：▲；②若xy−z256．阅读材料：对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b.反过来也成立．解决问题：⑴已知实数x，则(x+3)(x⑵甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时ykm的速度行走；乙以每小时xkm的速度行走一半路程，另一半路程以每小时ykm的速度行走.若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：（1）(x+3)(x（2）先到达B地的是．说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）tkm，乙从A地到B地用(x57．阅读下列材料，计算：50÷1解法一：原式=50÷1解法二：原式的倒数为13−1（1）上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法是错误的．（2）请你选择合适的解法解答下列问题：①−62②1358．阅读理解：在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离AB=a−b=b−（1）表示−2和3的两点之间的距离为______；（2）若点A表示数2，则与点A距离5个单位的点表示的数为_____；（3）如果x−2=5，则（4）已知式子x−1+x59．阅读下列材料，并完成相应的任务．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x=8与方程（1）若关于x的方程2x+m=5与方程（2）若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值．60．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值.小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）.（1）请回答：BC+DE的值为；（2）参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，▱ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD.61．认真阅读下面的材料，完成有关间题：材料：在学习对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离，|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离，|5|=|5-0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a-b|．（1）点A、B、C在数轴上分別表示有理数x、-2、1，那么A到B的距高与A到C的距离之和可表示为．（用含绝对值的式子表示）（2）利用数轴探究：①找出满足|x-3|+|x+1|=6的x的所有值是．②设|x-3|+|x+1|=p，当x的值取在不小-1且不大于3的范围时，P的值是不变的，而且是p的最小，这个最小值是，当x的值取在的范围时，|x|+|x-2|取得最小值，这个最小值是（3）求|x-3|+|x-2|+|x+1|的最小值为，此时x的值为．（4）求|x-1|+|x-2|+|x-3|+．．．．．．+|x-2019|的最小值，并求此时x的取值范围（要求写解答过程）62．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示两个数a、b，A、B两点间的距离记为|AB|，O表示原点当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，①如图2，若点A、B都在原点的右边时，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|②如图3，若点A、B都在原点的左边时，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=|﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；③如图4，若点A、B在原点的两边时，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=﹣b+a=|a﹣b|．回答下列问题：综上所述，数轴上A、B两点间的距离为|AB|=|a﹣b|(1)若数轴上的点A表示的数为﹣1，点B表示的数为9，则A、B两点间的距离为(2)若数轴上的点A表示的数为﹣1，动点P从点A出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位长度，t秒后点P表示的数可表示为(3)若点A表示的数﹣1，点B表示的数9，动点P、Q分别同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求：运动几秒时，点P可以追上点Q？（请写出必要的求解过程）(4)若点A表示的数﹣1，点B表示的数9，动点P、Q分别同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒时，P、Q两点相距5个单位长度？（请写出必要的求解过程）63．利用我们学过的完全平方公式与不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，阅读下列两则材料：材料一：已知m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值.解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，∴（m-n）2+（n-4）2=0，∵（m-n）2≥0，（n-4）2≥0∴（m-n）2=0，（n-4）2=0∴m=n=4.材料二：探索代数式x2+4x+2与-x2+2x+3是否存在最大值或最小值？①x2+4x+2=（x2+4x+4）-2=（x+2）2-2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2=（x+2）2-2≥-2.∴代数式x2+4x+2有最小值-2；②-x2+2x+3=-（x2-2x+1）+4=-（x-1）2+4，∵-（x-1）2≤0，∴-x2+2x+3=-（x-1）2+4≤4.∴代数式-x2+2x+3有最大值4.学习方法并完成下列问题：（1）代数式x2-6x+3的最小值为；（2）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？（3）已知△ABC的三条边的长度分别为a，b，c，且a2+b2+74=10a+14b，且c为正整数，求△ABC周长的最小值.64．综合与探究【阅读理解】图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______．（2）利用（1）中的等式解决问题：若x+y=10【拓展探究】该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解．例：若x满足20−xx−30解：设a=20−则20−x∴20−x（3）如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL=2，CK=6．沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形65．问题背景数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起—一对应的关系，揭示了数点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，我们知道|4|=|4-0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点(即表示0的点)之间的距离，又如式子|7-3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离，即若点A.B在数轴上分别表示有理数a.b，则A.B之间的距离可表示为|a-b|.问题探究（1）若|x-3|=1，则x=.（2）若|x-3|+|x+1|=8，则x=.66．阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号，如：(材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到.如：x∵(x+2)∴x2+2阅读上述材料解决下面问题：（1）4−23=，5+2（2）求x2（3）已知x=3−13−467．阅读理解：A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们称点C是A,B的“雅点”；若点C到点B的距离是点C到点A的距离的3倍，我们称点C是B,（1）若点C表示数14，则点B是的_______“雅点”；（2）若点C在点A的左侧且点A是C,（3）若点C在点A、B之间，且其中一个点恰好是另两个点的“雅点”，求点C表示的数．68．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±2xy+y解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1.∵(x+2)2≥0，∴当x＝﹣2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，∴(x+2)2+1≥1∴当(x+2)2＝0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：（1）当x＝时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；又如探求多项式2x解：原式=2(x2+6x−2)=2(x2+6x（2）解决问题：请根据上面的解题思路，探求：多项式3x（3）多项式−x69．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．知识运用：（1）如图1，点B是（D，C）的好点吗？(填是或不是)；（2）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−402，点B所表示的数为202.70．阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=观察下面三个特殊的等式1×2=2×3=3×4=将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=读完这段材料，请你思考后回答：（1）1×2+2×3+⋯+100×101=；（2）1×2×3+2×3×4+⋯+100×101×102=；（3）1×2×3×4+2×3×4×5+…+nn71．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣＝∣b∣＝∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b−a=∣a-b∣；如图3，当点A、B都在原点的左边，∣AB∣＝∣OB∣-∣OA∣＝∣b∣-∣a∣=−b回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，则点A和B之间的距离是，若∣AB∣＝2，那么x为；（3）当x是时，代数式|x（4）若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？（请写出必要的求解过程）72．【阅读理解】规定：我们把若干个相同的有理数（不为0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”，(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)记作(−3)④，读作“-3的圈4次方”.一般地，把a÷（1）【初步探究】直接写出计算结果：2③＝，(−12（2）【类比探究】我们知道，有理数的减法运算转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：仿照如图所示的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式：(−3)④＝；(1a（3）【深入思考】想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式是.（4）【综合运用】算一算：4273．【材料阅读】如图，数轴上的点A、B表示的数分别为−1、7，C是线段AB的中点．（1）点C表示的数是___________；（2）若点P、Q分别从点C、B同时出发，以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，则t秒后，点P、Q表示的数分别是___________、___________（用含t的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若P、Q两点之间的距离为2，求t的值．【方法迁移】（4）如图，∠AOB=140°，OC平分∠AOB．现有射线OP、OQ分别从OC、OB同时出发，以每秒15°和每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当OP旋转一周时，这两条射线都停止旋转．问经过几秒后，射线OP、OQ的夹角为【生活运用】（5）周末的下午，小明看到钟面显示3点整，此时分针与时针的夹角恰好为90°，经过___________分钟后，分针与时针的夹角首次变成45°．74．阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，∵（x＋2）2≥0，∴（x＋2）2＋1≥1，∴x2＋4x＋5≥1.试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2-4x＋5＝(x)2＋；（2）已知，x2-4x＋y2＋2y＋5＝0，求x＋y的值；（3）比较代数式x2-1与2x-3的大小．（提示：比差法）75．阅读材料：我们知道，2x+3x−x尝试应用：（1）把(x−y（2）已知2m−3n（3）已知a−2b=4，b−c76．请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家．定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则BD数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用．任务解决：（1）如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点F为AB的中点；（2）若△ABC为等边三角形（图3），AB=12，AE=477．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是（A，B）的好点（点C在线段AB上）．例如，如图1，点A表示的数为-1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是（M，N）的好点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为-20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？78．（1）阅读理解“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a①“|a|<2”可理解为②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为我们定义：形如“|x|≤m（2）理解应用：根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.由上图可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，绝对值不等式①不等式|x|≥4的解集是②不等式|12x79．阅读理解：我们知道，比较两数（式）大小有很多方法，“作差法”是常用的方法之一，其原理是不等式（或等式）的性质：若a−b>0，则a>b；若a−b例：已知A=x2+2xy，B证明：A−B=(∵x≠y，∴(x（1）操作感知：比较大小：①若a<b<0，则a②m2+16（2）类比探究：已知M=2016×2019，N=2017×2018，试运用上述方法比较M、（3）应用拓展：已知P(m，m−4)，Q(m80．阅读理解题：要求21+2设x=2x即2x②−①x=所以21+2请你在理解的基础上，模仿上述方法求下式的值：（1）1（2）31（3）5181．阅读材料：已知点P(x0，y0)例如：求点P(−2，1)到直线y解：因为直线y=x+1可变形为x−y+1=0，其中k=1，（1）点P(1，1)到直线y（2）已知直线y=−x+182．如图，点P是函数y=2（1）连结PA、PB、AB，设△PAB的面积为S，点P的横坐标为t.请写出S关于t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（2）阅读下面的材料回答问题阅读材料：当a>0时，a因为(a−1a所以a=1时，a+根据上述材料在（1）中研究当t为何值时△PAB的面积S有最小值，并求出S的最小值.83．阅读材料

材料：学习绝对值时，我们知道|a|表示数a的点与原点的距离，即|a|=|a−0|，也可以说|a|表示数轴上数a与数O对应的两点之间的距离，同理，数轴上数a和数b两点间的距离可以表示为|a−b|或|b−a|．

例如数轴上表示−2和3的两点间的距离为|−2−3|=5或|3−(−2)|=5．

发现解题规律：

若|x|=5，则x=5或x=−5；

若|x−1|=5，则（1）数轴上表示−1和4两点之间的距离是．（2）若|x−(−12)|=1（3）如图所示，当点A、B所表示的数分别为−212和2时，是否存在一点P，使得点P到A、B两点的距离之和等于7？若存在，设点P表示的数为x，求84．阅读下列材料．材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”．材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，规定：F(m（1）最大的“双增数”是__________，最小的“双减数”是__________；（2）已知“双增数”s=1000x+100(y+4)+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整数），“双减数”t=3000+20a+b85．阅读下列材料：小明为了计算1+2+2设S=1+2+则2S②-①得2∴S（1）1+2+22+⋯+（2）3+32+⋯+（3）求1+a+a2++an的和（a>0，n86．阅读理解：例1.解方程|x|＝2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2，所以方程|x|＝2的解为x＝±2.例2.解不等式|x﹣1|＞2，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为﹣1或3，所以方程|x﹣1|＝2的解为x＝﹣1或x＝3，因此不等式|x﹣1|＞2的解集为x＜﹣1或x＞3.参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x﹣2|＝3的解为；（2）解不等式：|x﹣2|≤1.（3）解不等式：|x﹣4|+|x+2|＞8.（4）对于任意数x，若不等式|x+2|+|x﹣4|＞a恒成立，求a的取值范围.87．阅读思考：小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下：如图1所示，线段AB，BC，CD的长度可表示为：AB=3=4−1（1）尝试应用：①如图2所示，计算：OE=，EF=②把一条数轴在数m对应的点处对折，使表示-20和2020两数的点恰好互相重合，求数m的值；（2）问题解决：①如图3所示，点P表示数x，点M表示数−2，点N表示数2x+8，且②在上述①的条件下，是否存在点Q，使PQ+88．阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，如我们把(a+b尝试应用：（1）把(a−b)2（2）已知x2−2y（3）拓广探索：已知a−2b=2，289．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．【阅读】|3−1|表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|3+1|可以看做|3−(（1）【探索】|3−(−1)（2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，若使得|x−(−1)|=3，x=；若使x所表示的点到3和-2的距离之和为5，（3）【动手折一折】

若1表示的点和-1表示的点重合，则2表示的点与表示的点重合；（4）若3表示的点和-1表示的点重合，则5表示的点和表示的点重合；这时如果A、B两点之间的距离为6（A在B的左侧）且A、B两点经折叠后重合，则点A表示的数是90．课本4.3节“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式a2+2ab例如：①分解因式x解：原式=②求代数式2x2+4x-6的最小值.解：2x2+4根据材料，用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2（2）求代数式−a（3）当a，b为何值时，多项式a2（4）设a为实数，b为正整数.当多项式a2-4ab+5b2+2a

答案解析部分1．【答案】（1）91；175（2）22=（3）11001【知识点】零指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）2．【答案】（1）4，−3（2）−【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值3．【答案】（1）x>1或（2）1<【知识点】解一元一次不等式组；有理数的乘法法则4．【答案】（1）9x，（2）x=21（3）a−【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题5．【答案】（1）170；（2）5；（3）12【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值6．【答案】（1）x=92（2）6或2．【知识点】估计方程的解7．【答案】（1）45，COD，110；（2）解：正确．所画图形为：∵∠AOB=90°，OC平分∴∠BOC∵∠COD∴∠BOD【知识点】角的运算；角平分线的概念【解析】【解答】（1）解：如图2，∵∠AOB=90°，OC平分∴∠BOC∵∠COD∴∠BOD即∠BOD故答案为：45，COD，110；【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到∠BOC（2）同理（1）结合图形即可得出∠BOD（1）解：如图2，∵∠AOB=90°，OC平分∴∠BOC∵∠COD∴∠BOD即∠BOD故答案为：45，COD，110；（2）解：正确．所画图形为：∵∠AOB=90°，OC平分∴∠BOC∵∠COD∴∠BOD8．【答案】（1）−（2）−1803【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的除法法则9．【答案】（1）解：当a=5时，aa（2）解：当a=-2时，aa（3）解：∵a，b是有理数，且ab＞0，

∴a、b两数符号相反，分两种情况：

①当a＞0，b＞0时，aa+bb=1+1=2，

②当a＜0，b＜0时，aa（4）解：∵a，b是有理数，且abc＜0时，

∴a、b、c三个数均为负数或任意两个数为正数，另一个数为负数，分情况讨论：①当a，b，c三个数中任意两个数为正数，另一个数为负数时，如a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，

∴aa②当a，b，c三个数均为负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，此时abc＜0，

∴aa综上所述，aa【知识点】有理数的加、减混合运算；有理数的除法法则；数学思想；绝对值的概念与意义【解析】【分析】（1）直接将a=5代入求出答案；（2）直接将a=-2代入求出答案；（3）分别利用a＞0，b＞0或a＜0，b＜0分析得出答案；（4）分别利用当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0，当a，b，c三个字母中有一个字母大于0，其它两个字母小于0时，当a，b，c都小于0，分析得出答案．10．【答案】（1）−（2）①10；②8+6（3）x【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；解二元一次方程组；有理数的乘方法则11．【答案】（1）1（2）解：∵代数式x2+x+1的值为15，∴x2+x+1=15，（3）-4【知识点】添括号法则及应用；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：（1）∵−x∴x2∴x2故答案为：1；解：（3）∵x2+2xy∴4==4=4×=−4．【分析】（1）根据题意，先求出x2+x=−2，再把（2）根据题意，求出x2+x（3）根据4x（1）解：∵−x∴x2∴x2故答案为：1；（2）解：∵代数式x2∴x2∴x2∴−2x（3）解：∵x2+2xy∴4==4=4×=−4．12．【答案】解：原式=−2025+−56+−2024+−23+4048+【知识点】有理数的加法运算律【解析】【分析】根据题意可知，拆项法为分别将每个带分数拆成整数与分数相加的形式，再运用加法运算律公式a+b=b+a（加法交换律）和(a+b)+c=a+(b+c)（加法结合律），将整数部分和分数部分分别进行运算，最后将整数和分数运算的结果相加得到最终答案，依据此方法进行计算即可.13．【答案】任务一：110；任务二：小实家1月缴纳污水处理费28元；任务三：小实家7，8月份各用水27吨，33吨【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-计费问题14．【答案】（1）−15；（2）5；（3）10【知识点】整式的加减运算；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用；求代数式的值-整体代入求值15．【答案】【小问1】9，−0.5【小问2】−12或2【小问3】−10+2t，8−3t【小问4】135或【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴上两点之间的距离16．【答案】14度21分36秒【知识点】常用角的度量单位及换算【解析】【解答】解：14.36º=14°+0.36°

=14°+0.36×60'=14°+21.6'

=14°+21'+0.6'=14°+21'+0.6×60"

=14°21'36"

【分析】根据1°=60'，1'=60"，结合大单位化小单位用乘法进行计算即可.17．【答案】（1）2m+n2【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值18．【答案】（1）不是，是；（2）①32或1216；②163213【知识点】角的运算；角平分线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题19．【答案】（1）①54；②8（2）39【知识点】整式的加减运算；有理数的除法法则；解含括号的一元一次方程20．【答案】（1）5（2）4【知识点】一元一次方程的其他应用21．【答案】（1）7（2）4（3）另一个点表示的数为2或−8【知识点】数轴上两点之间的距离22．【答案】（1）9；7（2）①263；②【知识点】整式的加减运算；探索数与式的规律23．【答案】（1）7（2）x【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解含括号的一元一次方程24．【答案】（1）1；15（2）最小值为−1，此时x【知识点】配方法的应用；合并同类项法则及应用；竞赛类试题；求代数式的值-整体代入求值25．【答案】12m+n2【知识点】合并同类项法则及应用；利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值26．【答案】（1）7（2）x【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程27．【答案】（1）2026；（2）57；（3）−19【知识点】整式的加减运算；求代数式的值-整体代入求值28．【答案】（1）是，B，A（2）54或72（3）13或-1或32【知识点】数轴上两点之间的距离29．【答案】（1）12（2）−【知识点】求有理数的绝对值的方法30．【答案】（1）1（2）−【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则31．【答案】（1）3；0（2）解：∵x∴(x∴(∴(x∴x=2∴x（3）解：∵a∴∴a=1∴边长c的范围为3−1<c∵a，b，c都是正整数，∴边长c的值为3，则△ABC的周长为【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；非负数之和为0【解析】【解答】解：（1）∵a2-6a+9+b2=0，

∴(a-3)2+b2=0，

∴a-3=0，b=0，

∴a=3，b=0.

故答案为：3、0；

【分析】（1）对已知条件进行变形可得(a-3)2+b2=0，根据偶次幂的非负性可得a-3=0，b=0，求解可得a、b的值；

（2）同理可将已知条件变形为(x-y)2+(y-2)2=0，根据偶次幂的非负性可得x-y=0、y-2=0，求出x、y的值，然后根据有理数的乘方法则进行计算；

（3）由已知条件可得(a-1)2+(b-3)2=0，根据偶次幂的非负性可得a-1=0、b-3=0，求出a、b的值，然后根据三角形的三边关系结合c为正整数可得x的值，进而可得周长.32．【答案】（1）3；2（2）解：x==(∵（x∴(x−k∵代数式x2∴−k2+7=3∴k=±2【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用【解析】【解答】解：（1）x==(∴a故答案为：3，2；【分析】（1）原式可变形为x2+2×3x+(3)2+2，然后对前三项利用完全平方公式进行分解，据此可得a、b的值；

（2）代数式可变形为(x-k)2-k2+7，结合代数式的最小值为3可得-k2+7=3，求解可得k的值.33．【答案】（1）8；27（2）解：令S=1+6+62+63+⋅⋅⋅+62023

∴6S=6+62+6【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）【解析】【解答】解：（1）设等比数列的第1项是x，

则12：x=18∶12，

∴x=8，

∴第一项是8；

同理可得：第4项是27；

故答案为：8，27；

【分析】（1）正确理解题意，根据题意列比例关系式，从而求出第1项和第4项；

（2）根据材料，理解题意，令S=1+6+6234．【答案】（1）x+2和x−4的零点值分别是x（2）当x<−2时，|x+2|+|x−4|=−2x+2；当（3）整数解为−2，−1，0，1，2，3，4【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数35．【答案】（1）2；0；15（2）解：观察数轴可知：−2＜a＜−1，0＜b＜1，a＋b＜0．a2【知识点】实数在数轴上表示；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用【解析】【解答】解：（1）22=2，02=0，探究：当a≥0时，a2=a；当a故答案为：2；0；15；3：a；−

【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可；

（2）先利用二次根式的性质化简，再结合数轴去掉绝对值，最后合并同类项即可。36．【答案】（1）是（2）15°（3）解：当0<t≤4时，∠MON若射线OA是∠MON则∠AON=12∠∠AON=13∠∠AON=23∠当4<t<9时，∠MOA若射线ON是∠AOM则∠AON=1∠AON=13∠∠AON=23∠故t的值是127或125或1211【知识点】角平分线的性质；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念【解析】【解答】解：（1）∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，

∴射线OC是∠AOB的“幸运线”.

故答案为：是.

（2）如图①，∵射线OC为∠AOB的“幸运线”，

∴∠BOC=2∠AOC，

∵∠AOB=45°，∠AOB=∠AOC+∠BOC，

∴∠AOC=15°，∠BOC=30°.

故答案为：15°.

【分析】（1）由角平分线的定义和“幸运线”的定义可知：角的平分线是“幸运线”.

（2）由已知射线OC为∠AOB的“幸运线”，结合图形可以知道∠BOC=2∠AOC，再由∠AOB=45°，∠AOB=∠AOC+∠BOC，所以可以求出∠AOC=15°，∠BOC=30°.

（3）由题意可知：①当0<t≤4时，∠MON=60+5t，∠AON=60-15t，若射线OA是∠MON的“幸运线”，则有三种情况：∠AON=12∠MON；或者∠AON=13∠MON，或者∠AON=2②当4<t<9时，∠MOA=20t，∠AON=15t-60，若射线ON是∠AOM∠AON=12∠MOA或者∠AON=13∠MOA，或者∠AON=故t的值是127或125或121137．【答案】（1）3（2）解：∵点B4a−1,−3是“完美点”，∴4a−1=−3，

∴4a−1=3（3）解：∵点C−2,3b−2的长距为4，且点C在第二象限内，∴3b−2=4，

解得b=2，

∴9−2b=5，【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标与象限的关系【解析】【解答】解：根据题意，得点A−1，3到x轴的距离为3，到y∴点A的“长距”为3．故答案为：3；【分析】（1）根据“长距”的定义：点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，即可求得点A的“长距”，得到答案；（2）根据“完美点”的定义，得到方程4a（3）由“长距”的定义，得到3b−2=4，求得b的值，得到点D的坐标为38．【答案】（1）−32（2）解：∵一元二次方程2x∴m+n=−∴m===13（3）解：∵实数s、t满足2s∴s、t可以看作方程2x∴s+t=−∵t==17∴t−s=当t−1s当t−1s综上分析可知，1s−1t的值为【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0∴x1+x故答案为：−32，【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.（2）根据一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=−（3）由题意可将s、t可以看作方程2x2+3x−1=0（1）解：∵一元二次方程2x2+3x−1=0∴x1+x故答案为：−32，（2）解：∵一元二次方程2x∴m+n=−∴m===13（3）解：∵实数s、t满足2s∴s、t可以看作方程2x∴s+t=−∵t==17∴t−s=当t−1s当t−1s综上分析可知，1s−1t的值为39．【答案】（1）9（2）解：∵|x+2|+|x﹣1|=3，∴符合条件的整数x的值是：x=﹣2或x=﹣1或x=0或x=1（3）1；7（4）解：对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣8|是有最小值，当3≤x≤8时，|x﹣3|+|x﹣8|取得最小值，最小值是5（5）201（6）解：由题可得，2200∴m=1+2+3+200+1+2=20103，∴该数列中前m个数的乘积是：1×（12×21）×(【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；探索数与式的规律【解析】【解答】解：（1）|8﹣（﹣1）|=|8+1|=9，故答案为：9；⑶由题意可得，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣4|的值最小是7，此时x=1，故答案为：1，7；⑸由题意可得，2200故答案为：201；【分析】（一）（1）根据题目中的信息可以解答本题；（2）根据题目中的信息可以求得符合要求的x的值；（3）根据题目中的信息可以解答本题；（4）根据题意可以求得符合要求的x的取值范围，以及式子的最小值；（5）根据题目中的信息可以解答本题；（6）根据题目中的信息可以求得m的值，以及该数列中前m的个数的乘积．40．【答案】（1）解：x2+2x﹣8＝x2+2x+1﹣1﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+1﹣3）（x+1+3）＝（x﹣2）（x+4）；（2）解：∵x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，∴多项式x2+4x﹣3的最小值是﹣5．（3）解：a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，即a2+b2+c2+50﹣6a﹣8b﹣10c＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2﹣9﹣16﹣25+50＝0，（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12．【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用【解析】【分析】（1）先配方，再利用平方差公式进行因式分解即可求解；

（2）将多项式x2+4x﹣1配方得到x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，再根据（x+2）2具有非负性即可求解；

（3）现将多项式的左边配方得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，再根据偶次方具有非负性求得a，b，c的值，从而求解.41．【答案】（1）12，40°，∠BOC（2）如图3，

∵OC平分∠AOB，∠AOB=80°，

∴∠BOC=12∠AOB=40°【知识点】角的运算；角平分线的概念【解析】【解答】解：（1）如图2，∵OC平分∠AOB，∠∴∠BOC∵∠BOD∴∠COD【分析】（1）如图2所示，根据OC平分∠AOB，∠AOB=80°，求得∠（2）如图3所示，由OC平分∠AOB，∠AOB=80°，求得∠42．【答案】（1）10（2）n（3）解：（12+1+13＝（2−1+3−2+＝（2021−1）×（2021＝2021−1＝2020．【知识点】代数式求值；分母有理化；二次根式的混合运算【解析】【解答】解：（1）1＝10＝10＝10故答案为：10−3（2）1==故答案为：n+【分析】（1）参照题干中的计算方法及分母有理化求解即可；

（2）参照题干中的计算方法及分母有理化求解即可；

（3）先利用上述的规律化简，再利用二次根式的混合运算求解即可。43．【答案】（1）12(（2）解：9=16当x+原式=16×=4−2=2．（3）解：因为x2所以−3【知识点】数学思想；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-整体代入求值【解析】【解答】解：（1）8(a+b)+6(a+b)−2(a+b)=12(a44．【答案】（1）4，23（2）解：∵9<13<16，∴9<13∴a∵25<27<36，∴25<27∴b∴（3）解：∵4<5<9，∴4<5∴12<10+5∵10+5=2m∴m=6，∴m∴m−n【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值【解析】【解答】解：（1）∵16<23<25，∴16<23∴23的整数部分是4，小数部分是23故答案为：4，23−4【分析】（1）根据16<23<25可得4<23<5，则（2）估算出3<13<4，5<27<6，即可得出（3）估算出2<5<3，得出12<10+5<13，从而得出m=6，n=545．【答案】（1）7（2）−4（3）解：①当点P向右运动时，点P表示的数为2+2t，根据题意，得2+2t解这个方程，得t=3②当点P向左运动时，点P表示的数为2-2t，根据题意，得−4−(2−2t解这个方程，得t=9故当t=3【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的点常规运动模型【解析】【解答】解：（1）∵数轴上的点A，B分别表示有理数2，−5，∴AB=|-5-2|=7，故答案为：7．

解：（2）设C表示的数为xC，根据题意，得AC=|2-x∴2-xC=6或2-x解得xC=-4或x∵点C在点A的左侧，∴xC＜x∴xC故答案为：-4．【分析】(1)由数轴上的点A，B分别表示有理数2，−5，根据数轴上两点间距离公式，直接计算，即可求解；(2)设C表示的数为xC，根据距离公式，得到AC=|2-xC|=6，求得xC(3)根据题意，分点P向左运动和向右运动，两种情况讨论，分别列出方程2+2t−(−4)=12和46．【答案】（1）解：24+（2）解：a=∴a−3=∴(a即a2∴a2∴2【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；求代数式的值-整体代入求值【解析】【