高考数学一轮复习（培优版） 第一章　1.6　著名的不等式

§1.6著名的不等式题型一柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a2+b2·c2+d2≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R(2)a2+b2·c2+d2≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R(3)(a+b)(c+d)≥(ac+bd)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc3.二维形式的柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|(当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立).4.扩展：(a12+a22+a32+…+an2)(b12+b22+b32+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2，当且仅当a1∶b1=a例1已知x，y∈R，3x2+2y2≤6，求2x+y的最值.解方法一由柯西不等式得(2x+y)2≤[(3x=(3x2+2y2)43+1当且仅当3x·12=2y·即x=41111于是2x+y的最大值为11，最小值为-11方法二由柯西不等式得|2x+y|≤(=(3x2当且仅当3x·12=2y·即x=41111于是2x+y的最大值为11，最小值为-11思维升华掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添项等方法.跟踪训练1(1)若实数x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为()A.14 B.114 C.29 D.答案B解析根据柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2=1，即x2+y2+z2≥1当且仅当x1=y2=z3且x+2y+3即x=114，y=17，z故x2+y2+z2的最小值为114(2)函数y=5x-1+10-2x的最大值为答案63解析由题意得x-1≥0且10-2x≥0，即1≤x≤5，故函数的定义域为[1，5]，且y>0，由柯西不等式得y=5×x-1+2×5-x≤52+(当且仅当5×5-x=2×即x=12727时等号成立故函数y=5x-1+10-2x的最大值为6题型二权方和不等式1.二维权方和不等式：若a，b，x，y>0，则a2x+b2y≥(a+b)变形1：已知x，y，a，b>0，则ax+by≥(a+b)2x+y，当且仅当变形2：已知x，y，a，b>0，且m>0，则am+1xm+bm+1ym≥(2.多维权方和不等式：公式1：若ai>0，bi>0，则a12b1+a22b2+…+an2bn公式2：若ai>0，bi>0，m>0，则a1m+1b1m+a2m+1b2m+…+a权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.3.权方和不等式中的参数m可以小于0，但不等式的方向会根据m的取值范围发生变化.具体如下：当m>0或m<-1时，有

nΣi=1a当-1<m<0时，不等号反向：nΣi=1a当m=-1时，等式成立.其中ai，bi>0对所有i成立.因此，在使用权方和不等式时，需注意m的取值范围以确定正确的不等号方向.例2若x>0，y>0，12x+y+3x+y=2，则答案132+2解析由权方和不等式得12x+y+3=122≥(1+23)即2≥13+4则6x+5y≥132+2当且仅当12x即x=33-44，y故6x+5y的最小值为132+23思维升华(1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数比分母的次数多1，出现定值是解题的关键.(2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式.(3)关于带根号的式子，将分子变为32次，分母为12跟踪训练2(1)已知a，b，c为非负实数，且满足a+4b+9c=4，则1a+1+1b+1+1答案2解析由权方和不等式，可知1a+1+1b+1+1c+1=12a+1+2当且仅当1a+1=2即a=2，b=12，c=0所以1a+1+1b+1+(2)已知x>1，y>1，则x2y-1+y2答案8解析令x+y-2=t(t>0)，x2y-1+y2x-1≥(x+y)2当且仅当x+y-2=2,xy-1=yx-1故x2y-1+y题型三排序不等式和切比雪夫不等式1.排序不等式给定两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.如果a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn.那么a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bi1+a2bi2+…(反序和)(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn.(同序和)其中i1，i2，…，in是1，2，…，n的一个排列.该不等式所表达的意义是和式nΣj=1ajb2.切比雪夫不等式对于两个实数数列{an}，{bn}，若a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，则有1nnΣi=1ai类似的，若有a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有1nnΣi=1aib切比雪夫不等式证明：因为有a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，所以由排序不等式易知，最大的和为顺序和，即a1b1+a2b2+…+anbn，于是有以下一系列共n个不等式：a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b2+a2b3+…+anb1，a1b1+a2b2+…+anbn≥a1b3+a2b4+…+anb2，…a1b1+a2b2+…+anbn≥a1bn+a2b1+…+anbn-1，将这n个不等式分别相加，同时对右式进行因式分解，整理可得1nnΣi=1aib反向情况可由最小的和为逆序和推得，得证.例3(1)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，设P=a+b+c2，Q=acosC+bcosB+ccosA，则PA.P≥Q B.P=QC.P≤Q D.不能确定答案C解析在锐角三角形ABC中，不妨设A≥B≥C，则a≥b≥c，cosA≤cosB≤cosC，则由排序不等式有Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA=2R(sinAcosB+sinBcosC+sinCcosA)， ①Q=acosC+bcosB+ccosA≥acosC+bcosA+ccosB=2R(sinAcosC+sinBcosA+sinCcosB)， ②①+②得2Q≥2R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=2R(sinC+sinA+sinB)=a+b+c，则Q≥a+b+c2=P(其中R为△ABC外接圆的半径)，(2)设a，b，c>0，求证：ab+c+bc+证明不妨设a≥b≥c>0，所以a+b≥c+a≥b+c>0，1b+c≥1c由切比雪夫不等式，得ab+c+bc+a+ca+b=a·1b+c+b·1c+a=16[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·≥16·33(a+b当且仅当a=b=c时等号成立.思维升华在比较两组数积的和及两组数的线性和的积的大小时，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.跟踪训练3若A=x12+x22+…+xn2，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B答案C解析依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0<x1≤x2≤x3≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列，由排序不等式得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1，即x12+x22+…+xn2≥x1x2+x2x3+…xn-1xn+xnx1题型四琴生不等式1.琴生不等式(1)关于凹凸性的判定：若函数f(x)在区间上的二阶导数恒为正，即f″(x)>0恒成立，则为凹函数；若函数f(x)在区间上的二阶导数恒为负，即f″(x)<0恒成立，则为凸函数.(2)拐点为凹凸性的分界点：已知f(x)，则当f″(x0)=0时，(x0，f(x0))为f(x)的拐点.(3)琴生不等式：凸函数(如单调递增的对数函数)：f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≤凹函数(如单调递增的指数函数)：f(x1)+f(x2)+…+f(xn)n≥f2.琴生不等式证明(1)当n=2时，由凹函数性质知结论成立；(2)假设当n=k时命题成立，即f

x1+那么当n=k+1时，设Ak+1=xf(Ak+1)=f

(=f

x≤1≤1所以2kf(Ak+1)≤f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1)+(k-1)f(Ak+1)，所以(k+1)f(Ak+1)≤f(x1)+f(x2)+…+f(xk)+f(xk+1)，得证.3.加权平均琴生不等式若f(x)为[a，b]上的凹函数，且nΣi=1λi=1，λi>0，则f(nΣi=1λixi)≤nΣi=1λi例4半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是.

答案334解析设☉O的内接三角形为△ABC，显然当△ABC是锐角三角形时，面积可以取得最大值，设∠AOB=2α，∠BOC=2β，∠COA=2γ，则α+β+γ=π，则S△ABC=12R2(sin2α+sin2β+sin2γ)又0<α，β，γ<π2，而y=sinx在(0，π)则由琴生不等式知sin2α+sin2β+sin2γ3≤所以S△ABC≤12R2×3×32=33当且仅当△ABC是正三角形时，等号成立，故半径为R的圆的内接三角形的面积的最大值是334R思维升华琴生不等式在解决有关函数不等式时要注意构造函数，然后根据函数或函数曲线的凹凸性，利用琴生不等式证明或求最值.跟踪训练4设x1，x2，…，x2026>0，且x1+x2+…+x2026=1，则W=x11-x1+x21-x2答案2026解析构造函数f(x)=x易得函数f(x)=x1-x在(0，1)由琴生不等式，得f

x≤f即12026x11-x所以W=x11-x1+x21-x2+…+x20261-x2026≥20262025，当且仅当x1=x2=课时精练[分值：45分]一、单项选择题(每小题5分，共25分)1.实数x，y满足3x2+4y2=12，则z=2x+3y的最小值是()A.-5 B.-6 C.3 D.4答案A解析∵实数x，y满足3x2+4y2=12，∴x24+y由柯西不等式得x22+y32(42+32)≥(2x故-5≤2x+3y≤5，当且仅当x2·3=y3·即x=-85，y=-3∴z=2x+3y的最小值是-5.2.已知a>b>0，且满足2a+2+1a+2b=1，则a+A.1+2 B.12+C.12+22 D.2+答案B解析由权方和不等式，可知(2)2a+2即1≥3+2故a+b≥12+当且仅当2a+2即a=2，b=12所以a+b的最小值为12+23.设a1，a2，a3，a4是1，2，3，4的一个排列，则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是()A.(0，30] B.(20，30]C.[20，30] D.[20，30)答案C解析由排序不等式得a1+2a2+3a3+4a4≤12+22+32+42=30，a1+2a2+3a3+4a4≥1×4+2×3+3×2+4×1=20，∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20，30].4.若x∈0，π2，当33sinx+1A.π12 B.π6 C.π3答案C解析由x∈0，π2得sinx>0，cos由权方和不等式得33sinx+1cosx=332(si当且仅当3sin2x=1cos2x所以x=π35.在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是()A.32 B.3 C.32 D答案D解析因为y=sinx在区间(0，π)上是凸函数，根据琴生不等式可得，sinA+sinB+sinC3≤sin得sinA+sinB+sinC≤3当且仅当A=B=C=π3时等号成立即sinA+sinB+sinC的最大值是33二、填空题(每小题5分，共10分)6.1sin2θ+4答案9解析由权方和不等式得1sin2θ+4cos2θ当且仅当1sin即sin2θ=13，cos2θ=2故1sin2θ+7.已知正实数x，y，z的和为1，则x2x+y+y2y答案1解析方法一(柯西不等式)∵x，y，z>0，x+y+z=1，∴8x24x2x+y+4y2y+z+4z2z≥2xx则x2x+y+y当且仅当x=y=z=13时取等号故x2x+y+y2方法二(权方和不等式)∵x，y，z>0，x+y+z=1，∴x2x+y+y2y当且仅当x=y=z=13时取等号故x2x+y+y2[每小题5分，共10分]8.若正数m，n，p满足m+n+p=4，且(m2+n2)mn+(p2+n2)pn+(m2+p2)mp≥λmnp，则实数λ的取值范