2027年高考数学一轮复习(创新设计)第2节　常用逻辑用语

数学

高考总复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式第2节常用逻辑用语INNOVATIVEDESIGN备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ群10136549701.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,能正确对两种命题进行否定.课标要求内容索引

知识诊断自测01

考点聚焦突破0203

课时对点精练

知识诊断自测011.充分条件、必要条件与充要条件的概念充分若p⇒q,则p是q的______条件,q是p的______条件p是q的_______________条件p⇒q且q⇏

pp是q的_______________条件p⇏q且q⇒pp是q的______条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏

p必要充分不必要必要不充分充要2.全称量词与存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“___”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“___”表示.∀∃3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记_______________∃x∈M,p(x)否定∃x∈M,¬p(x)_______________________________∀x∈M,p(x)∀x∈M,

¬p(x)常用结论与微点提醒1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同.2.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.4.命题p和¬p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难,可判断此命题的否定的真假.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(

)(2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(

)(3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(

)(4)若已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件.(

)(1)错误,至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×√√2.(人教A必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立.A3.(人教A必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是_________________________.

任意一个偶数都不是素数4.(人教B必修一P28T4改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是____________.

[1,+∞)∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命题是真命题,∴a的取值范围是a≥1.

考点聚焦突破02例1(1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A

考点一充分、必要条件的判定(2)(多选)(2026·许昌调研)ab+b-a-1=0的一个充分不必要条件可以是(

)A.a=-1 B.a=bC.b=1 D.ab=1AC由ab+b-a-1=0,可得(a+1)(b-1)=0,解得a=-1或b=1,故选AC.感悟提升充分、必要条件的两种判定方法:(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.

C

(2)(2026·广东部分学校联考)小明和小王从5张编号为1~5的卡牌中依次不放回各抽取2张,设甲:小明手中的2张卡牌编号之和为3,乙:小王手中的2张卡牌编号均不小于3,则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件A由小明手中的2张卡牌编号之和为3,可知小明手中的2张卡牌编号分别为1,2,此时小王手中的2张卡牌编号可能为3,4,或3,5,或4,5,均满足编号不小于3,充分性成立.若小王手中的2张卡牌编号均不小于3,例如3,4,此时小明手中的2张卡牌编号可能含有5,不满足小明手中的2张卡牌编号之和为3,必要性不成立.故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选A.例2(2026·秦皇岛模拟)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为(

)A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]BA={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ<x<2λ},因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,所以B是A的真子集,考点二充分、必要条件的应用结合λ>0,解得0<λ≤3,所以λ的取值范围为(0,3],故选B.感悟提升求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.训练2设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若¬p是¬q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是____________.

角度1

含量词命题的否定及真假判断例3(1)(2025·湘豫名校联考二模)命题“∀x∈R,2-x+2x≥1”的否定是(

)A.∀x∈R,2-x+2x<1 B.∃x∈R,2-x+2x≥1C.∀x∉R,2-x+2x<1 D.∃x∈R,2-x+2x<1D由全称量词命题的否定是存在量词命题可知,命题“∀x∈R,2-x+2x≥1”的否定是“∃x∈R,2-x+2x<1”,故选D.考点三全称量词与存在量词(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则(

)A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题在命题p中,当x=-1时,|x+1|=0,所以命题p为假命题,¬p为真命题.在命题q中,因为立方根等于本身的实数有-1,0,1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q为真命题,¬q为假命题,所以¬p和q都是真命题.B角度2

含量词命题的应用例4已知p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0;q:∃x∈R,x2-4x+a=0.若p为假命题,q为真命题,则a的取值范围为(

)A.[-3,4] B.(-3,4]C.(-∞,-3) D.[4,+∞)由题意知,p:∀x∈[-1,2],x2-2x+a<0为假命题,则¬p:∃x∈[-1,2],x2-2x+a≥0为真命题,当x∈[-1,2]时,y=x2-2x+a的图象的对称轴方程为x=1,此时其最大值为(-1)2+2+a=3+a,A则3+a≥0,解得a≥-3.又q:∃x∈R,x2-4x+a=0为真命题,即Δ=16-4a≥0,解得a≤4.综上,a的取值范围为[-3,4].感悟提升1.含量词命题的否定,一是要改写量词,二是要否定结论.2.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判定存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只要在限定集合内找到一个x,使p(x)成立即可.3.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围;二是利用等价命题,即p与¬p的关系,转化成¬p的真假求参数的范围.

C

(2)若命题“∃x∈R,x2+x-a=0”为假命题,则实数a的取值范围为____________.

课时对点精练03一、单选题1.命题“∃x>0,sinx-x≤0”的否定为(

)A.∀x≤0,sinx-x>0 B.∃x>0,sinx-x≤0C.∀x>0,sinx-x>0 D.∃x≤0,sinx-x>0C由题意知命题“∃x>0,sinx-x≤0”为存在量词命题,其否定为全称量词命题,即∀x>0,sinx-x>0.

A

⇏3.已知命题:“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,则实数a的取值范围是(

)A.a<4 B.a≤4C.a>4 D.a≥4B“∀x∈R,方程x2+4x+a=0有解”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4.

B

A

C

7.(2026·淮安质检)在△ABC中,“A>B”是“cosA<cosB”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件C因为A,B是△ABC的内角,且A>B,所以0<B<A<π,因为y=cosx在(0,π)上单调递减,所以cosA<cosB,故充分性成立;反之,y=cosx在(0,π)上单调递减,0<A<π,0<B<π,若cosA<cosB,则A>B,故必要性成立.所以在△ABC中,“A>B”是“cosA<cosB”的充要条件,故选C.8.(2026·佛山调研)已知平面α,β和直线m,n,且α∩β=n,则“m⊥n”是“m⊥β”的(

)A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件C正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示,分别记平面ABCD、平面ADD1A1为平面α,β,则直线n为直线AD,设直线m为直线AB1,则AB1⊥AD,但AB1不垂直于平面ADD1A1,则由m⊥n得不到m⊥β.若m⊥β,因为n⊂β,则由线面垂直的性质可得m⊥n.故“m⊥n”是“m⊥β”的必要不充分条件,故选C.

BC选项A为存在量词命题,因为所有实数的绝对值非负,即|x|≥0,所以A是假命题;

10.下列说法正确的是(

)A.命题“∃x≥1,x2>1”的否定是“∀x<1,x2≤1”B.“a>0且Δ=b2-4ac≤0”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件C.“a>0”是“a>1”的必要不充分条件D.已知a,b∈R,则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”BC对于A,命题的否定是“∀x≥1,x2≤1”,故A错误;对于B,若a>0且Δ=b2-4ac≤0,则不等式的解集为R,充分性成立,若一元二次不等式的解集为R