第二十八章 旋转 单元测试卷 (含答案)2026-2027学年人教版数学九年级全一册

第二十八章旋转(时间:120分钟分值:120分)一、单项选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项,请将正确答案的代号填入题后括号内)1.(传统文化·二十四节气)二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产,能反映季节的变化,指导农事活动.下面四幅图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”,其中是中心对称图形的是()A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中,点P(-3,a2+2)关于原点的对称点落在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图,△ABC绕点C旋转,点B转动到点E的位置,则下列说法正确的是()A.点B与点D是对应点 B.△ABC≌△DECC.点A与点E是对应点 D.∠BCD等于旋转角4.如图,在正方形网格中,△ABC绕某点旋转一定的角度得到△A1B1C1,则旋转中心是()A.点M B.点N C.点P D.点Q5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为()A.10 B.22 C.3 D.256.(新素养·空间观念)如图,这是由三个相同的小正方形组成的图形,将最右边小正方形绕其顶点旋转90°,则旋转后的三个小正方形组成的无重叠的图形中,是轴对称图形的有()A.4种 B.3种 C.2种 D.1种二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)7.在平面直角坐标系中,点M(2,-4)关于原点对称的点的坐标是.

8.如图,线段EF经过▱ABCD的对称中心O,且分别交AB,CD于点E,F.若▱ABCD的面积为12cm2,则图中阴影部分的面积为cm2.

9.点O是正五边形ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合.

10.如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,∠AOB=∠B=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,点B的对应点B'的坐标是.

11.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,连接BE,若∠CBE=75°,∠C=40°,则∠BED的度数是.

12.一副三角尺按图1所示的方式拼接在一起,其中边OA,OC与直线EF重合,∠AOB=45°,∠COD=60°,保持三角尺COD不动,将三角尺AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α(如图2),在转动过程中两块三角尺都在直线EF的上方,当OB平分由OA,OC,OD其中任意两边组成的角时,α的值为.

三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)13.(1)已知点Pa+12,5-2a与点Qa-8,a+52关于原点O中心对称,求a的值.(2)如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE顺时针旋转到△ABF的位置.那么旋转中心是点,旋转角是°.连接EF,△AEF是三角形.

14.如图,把△ABC绕点A旋转至△ADE的位置,延长BC交AD于点F,交DE于点G,若∠CAD=10°,∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB的度数.15.如图,△ABO与△CDO关于点O中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:DF=BE.16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=α,将△ABC向右平移得到△DCE,点A的对应点为点D.请仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留画图痕迹)(1)如图1,请画出将线段AC绕点A逆时针旋转2α后的对应线段.(2)如图2,α=45°,M为BC的中点,画出将线段AM绕点C顺时针旋转90°后的对应线段.17.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(3,2),B(3,5),C(1,2).(1)在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.(2)把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度,得到图中的△AB2C2,点C2在AB上.①请问旋转角为多少度?②直接写出点B2的坐标.四、解答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)18.如图,O为等边三角形ABC内一点,连接OA,OB,OC,将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM,连接CM,OM.(1)求证:AO=CM.(2)若OA=8,OC=6,OB=10,判断△OMC的形状并说明理由.19.如图,矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,连接BG,DE.(1)四边形BDEG是菱形吗?请说明理由.(2)若矩形ABCD的面积为6,求四边形BDEG的面积.20.如图,在平面直角坐标系中,矩形纸片ABCD的顶点B的坐标为(9,3),若把纸片按要求折叠,使B,D两点重合,折痕为EF.(1)图形中是否存在成中心对称的两个图形?请说明理由.(图中实线、虚线一样看待)(2)求折痕EF的长及所在直线的解析式.五、解答题(本大题共2小题,每小题9分,共18分)21.(新素养·几何直观)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证:(1)EA是∠QED的平分线.(2)EF2=BE2+DF2.22.图1是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=30,DM=10.(1)在旋转过程中.①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长;②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长.(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2,如图2,此时∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的长.六、解答题(本大题共12分)23.【问题提出】如图1,在等边三角形ABC内部有一点P,PA=3,PB=4,PC=5.求∠APB的度数.【数学思考】当图形中有一组邻边相等时,通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题.【尝试解决】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°,得到△AP'B,连接PP',则△APP'为等边三角形.∵P'P=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,∴P'P2+PB2=P'B2,∴△BPP'为三角形,

∴∠APB的度数为.

【类比探究】(2)如图2,在等边三角形ABC外部有一点P,若∠BPA=30°,求证:PA2+PB2=PC2.【联想拓展】(3)如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点P在直线BC上方且∠APB=45°,PC=BC=25,求线段PA的长.

【参考答案】1.D2.D3.B4.B5.A6.C提示:如图,共有2种情况.7.(-2,4)8.39.7210.(-3,3)11.15°12.30°或90°或105°提示:当OB平分∠AOD时,∵∠AOE=α,∠COD=60°,∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α,∴∠AOB=12∠AOD=60°-12∴α=30°;当OB平分∠AOC时,∵∠AOC=180°-α,∴∠AOB=90°-12α=∴α=90°;当OB平分∠DOC时,∵∠DOC=60°,∴∠BOC=30°,∴α=180°-45°-30°=105°.综上所述,旋转角度α的值为30°或90°或105°.13.(1)解:据题意,得a+12+a-8解得a=5.3分(2)解:A;90;等腰直角.3分14.解:由旋转可知△ABC≌△ADE.∵∠D=25°,∴∠B=∠D=25°,∠EAD=∠CAB.∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°,∠CAD=10°,∴∠CAB=(120°-10°)÷2=55°,∴∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65°.∵∠DFB是△ABF的外角,∴∠DFB=∠B+∠FAB,∴∠DFB=25°+65°=90°.6分15.证明:∵△ABO与△CDO关于点O中心对称,∴BO=DO,AO=CO.1分∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,∴FO=EO.3分在△FOD和△EOB中,FO∴△FOD≌EOB(SAS),∴DF=BE.6分16.解:(1)如图1,线段AF为所求.2分(2)如图2,线段DH为所求.6分17.解:(1)△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示.2分(2)①由图可知,旋转角为90°.4分②点B2的坐标为(6,2).6分18.解:(1)证明:∵线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM,∴BM=OB,∠ABC=∠OBM=60°,∴∠ABO=∠CBM.在△AOB和△CMB中,∵BO=BM,∠ABO=∠CBM,BA=BC,∴△AOB≌△CMB(SAS),∴AO=CM.4分(2)△OMC是直角三角形.理由如下:∵∠OBM=60°,OB=BM,∴△OBM是等边三角形,∴OM=OB=BM.在△OMC中,OM2=OB2=100,OC2+CM2=OC2+AO2=62+82=100,∴OM2=OC2+CM2,∴△OMC是直角三角形.8分19.解:(1)四边形BDEG是菱形.1分理由:∵矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称,∴AB=AE,AD=AG,∴四边形BDEG是平行四边形.3分又∵∠BAD=90°,∴BE⊥DG,∴四边形BDEG是菱形.5分(2)∵矩形ABCD的面积为6,∴AD·AB=6,∴S菱形BDEG=12BE·DG=12×2AB×2AD=12.20.解:(1)如图,连接BD交EF于点M.∵点B,D关于EF对称,∴BM=DM,EM⊥BD,易证EM=FM,∴点E,F关于点M成中心对称,点B,D关于点M成中心对称.又∵M为BD的中点,∴点A,C关于点M成中心对称,∴四边形AEFD与四边形CFEB关于点M成中心对称.4分(2)设BE=OE=x,则AE=9-x.在直角三角形AED中,(9-x)2+32=x2,解得x=5,∴E点的坐标为(4,3),F点的坐标为(5,0),∴EF=32+1∴直线EF的解析式为y=-3x+15.8分21.证明:(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,∴AQ=AF,∠QAF=90°.∵∠EAF=45°,∴∠QAE=∠QAF-∠EAF=45°,∴∠QAE=∠FAE.在△AQE和△AFE中,AQ∴△AQE≌△AFE(SAS),∴∠AEQ=∠AEF,∴EA是∠QED的平分线.4分(2)由(1)得△AQE≌△AFE,∴QE=EF,由旋转的性质,得∠ABQ=∠ADF.∵∠ADF+∠ABD=90°,则∠QBE=∠ABQ+∠ABD=90°.在Rt△QBE中,QB2+BE2=QE2.又∵QB=DF,QE=EF,∴EF2=BE2+DF2.9分22.解:(1)①AM=AD+DM=40,或AM=AD-DM=20.2分②显然∠MAD不能为直角.当∠AMD为直角时,AM2=AD2-DM2=302-102=800,∴AM=202或-202(舍弃).当∠ADM=90°时,AM2=AD2+DM2=302+102=1000,∴AM=1010或-1010(舍弃).综上所述,满足条件的AM的值为202或1010.5分(2)如图,连接CD1.由题意可知∠D1AD2=90°,AD1=AD2=30,∴∠AD2D1=45°,D1D2=302.∵∠AD2C=135°,∴∠CD2D1=90°,∴CD1=CD22+∵∠BAC=∠D1AD2=90°,∴∠BAC-∠CAD2=∠D2AD1-∠CAD2,∴∠BAD2=∠CAD1.∵AB=AC,AD2=AD1,∴△BAD2≌△CAD1(SAS),∴BD2=CD1=306.9分图123.解:(1)直角;150°.2分(2)证明:如图1,把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△CBP',连接PP'.3分则P'B=PB,P'C=PA,∠PBP'=60°,∠BP'C=∠APB=30°,∴△BPP'是等边三角形,4分∴∠PP'B=60°,∴PP'=PB,5分∴∠