福建省福州市金山中学2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省福州市金山中学高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知直线l经过两点P（1，2-m），Q（4，3-m），那么直线l的斜率为（）A.-3 B. C. D.32.已知等差数列{an}中，a4+a8=a7+8，则a5=（）A.5 B.6 C.7 D.83.若抛物线y=2px2（p＞0）的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A.y=-2 B.y=2 C.x=2 D.x=-24.已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）=（）A.1 B.2 C.-1 D.-25.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若3S3=S2+2S4，a1=2，则a5=（）A. B. C.8 D.166.已知四棱锥A-EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB∥DC的直角梯形，如图所示，且，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为（）A. B. C. D.7.已知曲线C：x2+y2=16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（）A. B.

C. D.8.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD（边长为8米）如图所示，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为米的圆H，圆H与直线AB相切于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后再到达圆H，则机器人走过的最短路程是（）

A.米 B.米 C.米 D.米二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知椭圆C：+=l（a＞b＞0）的离心率为，左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（异于左，右顶点），且△APF1F2的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的焦距为1 B.椭圆C的短轴长为2

C.△PF1F2面积的最大值为 D.椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2=90°10.已知数列{an}满足a1=2，an=-2an-1+3（n≥2且n∈N*），则下列说法正确的是（）A.a4=-7 B.a4-1是a2-1与a6-1的等比中项

C.在{an}中，只有有限个大于0的项 D.数列{an+1-an}是等比数列11.直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为4，，点P在四边形BDD1B1及其内部运动，且满足|PA|+|PC|=8，则（）A.存在点P使得C1P∥平面AB1D1

B.直线AP与平面BDD1B1所成的角为定值

C.点P到平面AB1D1的距离的最小值为

D.直线AA1与C1P所成角的范围为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数在点（0，f（0））处的切线方程为

.13.如图，在四面体O-ABC中，点M满足，N为BC的中点，若，则5x+y+z=

.

14.设过抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点P（异于原点O）的直线与抛物线y2=8px（p＞0）交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px（p＞0）的另一个交点为Q，则=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，已知左框中的乒乓球个数依次为a1=1，a2=2，a3=3，…（构成等差数列）；右框中的乒乓球个数依次为b1=1，b2=2，b3=4，…（构成等比数列）.

（1）求an和bn的值；

（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn.16.(本小题15分)

若以点A（1，2）为圆心的圆A与直线l1：3x-4y-20=0相切，直线l2：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0.

（1）求圆A的标准方程；

（2）求直线l2被圆A截得的最短弦长及此时直线l2的方程.17.(本小题15分)

如图，AB为圆锥PO的底面直径，点C，D为底面上的三等分点，点M，N分别为PA，PB的中点.

（1）证明：MN∥平面PCD；

（2）若AB=4，，求直线AC与BM所成角的余弦值.18.(本小题17分)

数列{an}的前n项和记为Sn，.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn；

（3）对于（2）中的数列{bn}，问是否存在正整数k,使得b1，2b2，kbk成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数k；若不存在，请说明理由.19.(本小题17分)

已知中心在原点的双曲线C1与椭圆C2：=1有相同的焦点F1，F2，且C2的长半轴长是C1的实半轴长的3倍.

（1）求双曲线C1的方程；

（2）若P为两条曲线的交点，求△F1PF2的面积；

（3）若过点F1的直线交双曲线C1的左支于A，B两点，证明：为定值.

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】ABC

12.【答案】y=x

13.【答案】-3

14.【答案】3

15.【答案】解：（1）由题意可得数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，

所以an=1+（n-1）×1=n.

因为数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，即．

（2）由，

可得

=．

16.【答案】解：（1）依题意，点A（1，2）到直线l1：3x-4y-20=0的距离即为圆A的半径，

所以圆A的标准方程为（x-1）2+（y-2）2=25；

（2）由l2：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可得（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，

因m是任意实数，则有，解得，

所以直线l2过定点M（3，1），又由（1）知，点M在圆A内，

当直线l2⊥AM时，直线l2被圆A截得的弦长最短，最短弦长为，

因直线AM的斜率，则直线l2的斜率为2，方程为y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

17.【答案】解：（1）证明：∵AB为圆锥PO的底面直径，点M，N分别为PA，PB的中点，

∴MN∥AB，

连接OC，OD，∵点C，D为底面上的三等分点，

∴∠AOC=∠COD=60°，

△OCD是等边三角形，∴∠DCO=60°=∠AOC，∴CD∥AB∥MN，

∵MN⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴MN∥平面PCD．

（2）取CD中点Q，连接OQ，OP，

则OQ⊥CD，OQ⊥AB，OP⊥平面ABDC，∴OP⊥AB，

∵OB=2，PB=2，∴OP=2，

以O为坐标原点，OQ，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（-，-1，0），A（0，-2，0），B（0，2，0），M（0，-1，1），

∴=（-，1，0），=（0，-3，1），

设异面直线AC，BM所成角为θ，

则cosθ===，

∴异面直线AC，BM所成角的余弦值为．

18.【答案】解：（1）由，得，①

当n=1时，有，求得a1=3，

当n≥2时，，②

①-②得：，

整理得：an=3an-1，即，

可知数列{an}是首项为3，公比为3的等比数列，

故；

（2）由（1）知，

代入，

得，

则，③

得，④

③-④得：=

==，

所以；

（3）由（2）知，

假设存在正整数k,使得b1，2b2，kbk成等差数列，

得b1+kbk=2×2b2，即，则，

设，则，

当k≥2时，f（k+1）-f（k）＜0，数列为递减数列，

又，，

​​​​​​​所以对所有正整数k,都有．

故不存在正整数k,使得b1、2b2、kbk成等差数列．

19.【答案】解：（1）设双曲线C1的标准方程为，

因为双曲线C1与椭圆有相同的焦点F1，F2，

即F1（-2，0），F2（2，0），

所以a2+b2=4，

因为椭圆C2的长半轴长为3，且为双曲线C1实半轴长的3倍，

所以3a=3，

解得a=1，

则b2=3，

则双曲线C1的标准方程为；

（2）不妨设P是两曲线在第一象限的交点，

设|PF1|=s,|PF2|=t,

由椭圆和双曲线的定义可得，

解得，

在△F1PF2中，由余弦定理得，

所以，