湖北省武汉市九师联盟2027届高三上学期8月月考数学试卷（含解析）

湖北省武汉市九师联盟2027届高三年级上学期8月月考数学试卷一、单选题1．设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．2．设，其中是实数，则（

）A．2 B． C． D．43．二项式的展开式中常数项为（

）A．10 B． C．5 D．4．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（

）A． B． C． D．6．已知，，，则x，y，z的大小关系为（

）A． B． C． D．7．已知等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（

）A．9 B．12 C．15 D．188．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（

）A． B．3 C． D．2二、多选题9．春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（

）A．该组数据的平均数为94 B．该组数据的众数与中位数相同C．该组数据的极差为8 D．该组数据的方差为4.4410．已知向量，则（

）A． B． C． D．11．设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（

）A．曲线关于轴对称 B．是周期函数C．当时， D．三、填空题12．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，若，则的离心率为___________________.13．若直线是曲线在处的切线，则______________．14．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______．四、解答题15．在中，角满足.(1)求；(2)若的角平分线交线段于点，求的面积.16．已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且斜率不为0的直线l与抛物线C交于M，N两点.若四边形的面积为，求直线的方程.17．如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，为的中点，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值；(3)求平面与平面所成二面角的正弦值．18．有编号为的个相同大小的小球，，从中有放回地随机取次，每次取个球，记为这个球中未被取到的球的个数．(1)已知．（i）若，求的分布列；（ⅱ）若，求的概率；(2)若都是离散型随机变量，则．证明：．19．已知函数，．(1)若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；(2)若时，，求a的取值范围；(3)对的定义域内的任意，，证明：．

1．C【详解】由题知，所以.2．B【详解】由，因为，可得，解得，所以，则.故选：B.3．D【详解】根据题意二项展开式的通项公式为，当，解得，所以常数项为．故选：D．4．D【详解】由可得或，由可得，故或，解得或，因此由推不出，由也推不出，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D5．A【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由题意，圆锥的母线长为，高为，则圆锥的表面积，球的表面积，所以，解得，则圆锥的体积，球的体积，所以圆锥的体积与球的体积的比.6．B【详解】构造函数，由换底公式，，所以，再令，，当时，，单调递增，所以当时，，即在有，所以在上单调递减，又，，由对数函数的单调性得，，所以，所以.7．B【详解】设等比数列的公比为，当时，可得，，，则，．因为，所以，所以，此时，又因为，可得，所以，即．令，可得，解得或（舍去），所以，因为，所以，所以，所以，所以，解得．8．B【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则，设，，则，，在中，由勾股定理可得，解得，则，同理，在中，由勾股定理可得，解得，所以.9．BCD【详解】将数据从小到大排序：,该组数据的平均数为，故A不正确；该组数据的众数为，中位数为，故B正确；该组数据的极差为，故C正确；该组数据的方差为,故D正确10．AB【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故，故B正确；对于C，取，则，此时，，故C错误；对于D，取，则，此时，故D错误，故选：AB11．ABD【详解】选项A：已知是奇函数，则，两边求导得：即，故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确;选项B：由，替换为得：故，则的周期为4，替换为得：，故可设又由，设,故，由是奇函数，得易得，替换为得：，故，故的周期为4,故选项B正确；选项C：当时，，令，则，由选项B知，且是奇函数，得，故，则：，故选项C错误；选项D：由周期为4，即，替换为得：则，由选项B知，故，又，故，由，得，则：，故选项D正确.故选：ABD.12．/【详解】由题意，即，所以，因此椭圆的离心率为.故答案为：.13．【详解】曲线，导数为，切线斜率，在处有切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，.14．【详解】因为，所以，所以函数在区间上恰有3个零点，即在上恰有3个实数根，所以，，又，所以在上恰有3个实数根，所以，解得，即的取值范围是．15．(1)；(2).【详解】（1）在中，由，得，则，而，解得，所以.（2）由（1）知，，由的角平分线交线段于点，得，，，在中，由正弦定理得，所以的面积为.16．(1)(2)或【详解】（1）解：由题意，得的准线方程为，因为直线与交于两点，所以的纵坐标为2，又，所以，解得，所以抛物线的方程为；

（2）因为直线与交于两点，不妨设在第一象限，所以，由题意知直线的斜率存在且不为0，，故可设直线，不妨设，则由题意知，联立，得，，因为，所以，又，解得或，所以直线的方程为或，即或．17．(1)因为为的中点，，所以，因为，所以四边形是正方形，所以，因为平面平面，所以，因为平面，所以平面.(2)(3)【详解】（1）略（2）如图，在平面中，过点作的垂线为轴，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．则，设平面的法向量为，，有，取，得，设直线与平面所成的角为，则.（3）在（2）的空间直角坐标系中，，设平面的法向量为，则取，得，故平面与平面所成二面角的正弦值为.18．(1)（i）34P（ⅱ）(2)从n个相同小球中有放回地随机取m次中，定义随机变量，其中表示第k个小球未被取到，表示第k个小球至少被取到1次，则服从两点分布，所以.由题意知，又，所以，所以，因为，所以：，故．【详解】（1）（ⅰ）从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有种情况．的取值为3，4．表示2次取球中未被取到的球的个数为3，即2次取球中取到2个不同编号的球，表示2次取球中未被取到的球的个数为4，即2次取球中取到的是同一个编号的球，所以，，所以的分布列为34P（ii）表示m次取球中未被取到的球的个数为3个.即次取球中取到2个不同编号的球，从5个相同小球中有放回地随机取次，共有种情况，时有种情况.所以的概率为．（2）略19．(1)，是的极大值点．(2)(3)证明：因为，所以要证成立，只要证成立，因为，所以只要证成立，因为，，所以只要证成立.记，则，对成立，所以在上单调递减，当时，，所以，取，由知，从而，所以成立，故原不等式成立.【详解】（1）的定义域为，，因为是函数的极值点，所以，