新人教版高中数学必修第一册 1.4　1.4.2　充要条件 教案

1.4.2充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：充要条件的证明与探求．核心素养：通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养，借助充要条件的应用，培养数学运算素养.知识点充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有eq\x(\s\up1(01))p⇒q，又有eq\x(\s\up1(02))q⇒p，就记作eq\x(\s\up1(03))p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为eq\x(\s\up1(04))充要条件.(2)条件与结论的等价性：如果p是q的eq\x(\s\up1(05))充要条件，那么q也是p的eq\x(\s\up1(06))充要条件.(3)概括：如果eq\x(\s\up1(07))p⇔q，那么p与q互为eq\x(\s\up1(08))充要条件.1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件．(4)若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且BA，即AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且AB，即BA，则p是q的必要不充分条件．(6)若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．3．“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)“x＝2”是“x2－4x＋4＝0(5)a，b中至少有一个不为零的充要条件是ab>0.()答案(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)“x2＝1”的充要条件是________(2)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________.(3)“三角形是等边三角形”的充要条件是________(写出一个即可)．答案(1)x＝±1(2)充要条件(3)三角形的三边相等(不唯一)题型一充要条件的判断例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x≠0，q：x＋|x|>0；(2)p：关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，q：a>0；(3)a，b∈R，p：ab>0，q：|a＋b|＝|a|＋|b|；(4)p：c＝0，q：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点．[解](1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如x＝－1时，x＋|x|＝0，而x＋|x|>0，所以pq，所以p不是q的充要条件．(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，所以pq，所以p不是q的充要条件．(3)因为a＝0时，也有|a＋b|＝|a|＋|b|，所以qp，所以p不是q的充要条件．(4)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p⇔q，所以p是q的充要条件．[题型探究]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.从命题角度判断p是q的充要条件(1)原理：判断p是q的充要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．(2)方法①若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；③若二者都成立，则p与q互为充要条件．[跟踪训练1]在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.解(1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件.题型二充要条件的证明例2求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[条件探究]将本例条件“有一个根是1”改为“有一个正根和一个负根”，“a＋b＋c＝0”改为“ac<证明①必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝eq\f(c,a)<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.②充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝eq\f(c,a)<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的．提醒：证明时一定要注意分清充分性与必要性的证明方向．[跟踪训练2]设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明充分性：因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2，所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0.即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0，所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c.同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0，所以x3＝－a－c，x4＝a－c.所以两个方程有公共根－a－c.必要性：设两个方程有公共根α，则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0，所以α＝0或α＝－a－c.若α＝0，代入任一方程，得b＝0.这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾．所以α＝－a－c.代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.题型三探求充要条件例3求关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件．[解]设关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根为x1，x2.依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1>2，,x2>2.))不等式组等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2m2－4m2－m＋3≥0，,x1－2＋x2－2>0，,x1－2x2－2>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4m－12≥0，,2m>4，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(5,2)))2＋\f(3,4)>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥3，,m>2，,m∈R.))所以m≥3.即关于x的方程x2－2mx＋m2－m＋3＝0的两根都大于2的充要条件为{m|m≥3}．探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程的每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3]求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解若方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根，设为x0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋kx0＋1＝0，①,x\o\al(2,0)＋x0＋k＝0.②))由②，得k＝－xeq\o\al(2,0)－x0，代入①，得xeq\o\al(3,0)＝1，解得x0＝1，因此k＝－2.反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1.x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2.因此两个方程有公共实根1，所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2.1．“x>0”是“x≠0”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析因为x>0⇒x≠0，但x≠0x>0，所以x>0是x≠0的充分不必要条件．2．设x，y∈R，则“x2＋y2≥4”是“x≥2且y≥2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析因为x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，而x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4，所以“x2＋y2≥4”是“x≥2且y≥2”3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________.答案m＝－2解析函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq\f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．4．函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.答案k>0，b>0解析当k>0时，函数y＝kx＋b的图象必经过第一、三象限．又函数图象经过第二象限，所以b>0.5．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.证明证法一：①充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).②必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.证法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0⇔eq\f(y－x,xy)<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0⇔xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)⇔xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要条件是xy>0.一、选择题1．若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件答案C解析“a，b全不为零”⇒“a2＋b2≠0”，反之不成立，a，b可能只有一个为0.所以“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零2．命题“对任意1≤x<2，x2－a<0”A．a≥4 B．a>4C．a≥1 D．a>1答案B解析对任意1≤x<2，x2－a<0，即a>x2，故a≥4是命题为真命题的充要条件，故B为命题为真命题的充分不必要条件．3．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案C解析“a>0且b>0”可以推出“a＋b>0且ab>04．已知a>0，设p：－a≤x≤3a；q：－1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数aA．1<a<2 B．1≤a≤2C．0<a<1 D．0<a≤1答案C解析因为p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a>－1，,3a<6，,a>0，))解得0<a<1.所以实数a的取值范围是0<a<1.5．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则()A．p是q的既不充分也不必要条件B．p是s的充分条件C．r是q的必要不充分条件D．s是q的充要条件答案BD解析由已知，得p⇒r⇒s⇒q；q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．∴正确的选项是B，D.二、填空题6．已知a，b是实数，则“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的答案必要不充分解析因为ab＝0a2＋b2＝0，而a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，即ab＝0.故“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件．7．“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是________.答案a<－1解析方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根．故“方程x2－2x－a＝0无实根”的充要条件是a8．若“eq\f(1,2)<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.答案m≥3解析若“eq\f(1,2)<x<3”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则“eq\f(1,2)<x<3”能推出“0≤x≤m”成立，“0≤x≤m”不能推出“eq\f(1,2)<x<3”成立．记A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)<x<3))，B＝{x|0≤x≤m}．由题意可得AB，即m≥3.故实数m的取值范围是m≥3.三、解答题9．已知a，b是正实数，求证：eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)的充要条件是a＋b＝1.证明必要性：若eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)，则eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(2,ab)，即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0，因为a，b是正实数，所以a＋b＋2>0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.充分性：若a＋b＝1，则eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(aa＋1＋bb＋1＋2ab,ab)＝eq\f(a2＋b2＋2ab＋a＋b,ab)＝eq\f(a＋b2＋a＋b,ab)＝eq\f(1＋1,ab)＝eq\f(2,ab)，故eq\f(a＋1,b)＋eq\f(b＋1,a)＋2＝eq\f(2,ab)的充要条件是a＋b＝1.10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a>0，))解得a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0.))解得0<a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).1．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若φ(a，b)＝0，即eq\r(a2＋b2)＝a＋b，两边平方得ab＝0，若a＝0，则eq\r(b2)＝b，所以b≥0，若b＝0，则eq\r(a2)＝a，所以a≥0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝eq\r(a2＋b2)－a－b＝eq\r(b2)－b＝0.故具备必要性．2．已知a∈R，则“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析①当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，有一负根x＝－eq\f(1,2)，满足题意．②当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程的两根满足x1x2＝eq\f(1,a)<0，此时方程有且仅有一个负根，满足题意．③当a>0时，由根与系数的关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0.))所以方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件是Δ＝4－4a≥所以0<a≤1，综上可得a≤1，所以“a≤2”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根”的必要不充分条件．3．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．证明①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))2＋eq\f(3,4)b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1.综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．4．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明①