新人教版高中数学必修第一册 1.5　1.5.1　全称量词与存在量词 教案

1.5.1全称量词与存在量词(教师独具内容)课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题构成及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．教学难点：全称量词命题与存在量词命题真假的判定．核心素养：用全称量词、存在量词梳理、表达学过的相应教学内容，重点提升数学抽象、逻辑素养.知识点一全称量词与全称量词命题(1)全称量词：短语“eq\x(\s\up1(01))所有的”“eq\x(\s\up1(02))任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“eq\x(\s\up1(03))∀”表示．(2)全称量词命题：含有eq\x(\s\up1(04))全称量词的命题，叫做全称量词命题．(3)符号表示①将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．②全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：eq\x(\s\up1(05))∀x∈M，p(x).知识点二存在量词与存在量词命题(1)存在量词：短语“eq\x(\s\up1(01))存在一个”“eq\x(\s\up1(02))至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“eq\x(\s\up1(03))∃”表示．(2)存在量词命题：含有eq\x(\s\up1(04))存在量词的命题，叫做存在量词命题．(3)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：eq\x(\s\up1(05))∃x∈M，p(x).1．对全称量词和全称量词命题的理解(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使p(x)成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．2．对存在量词和存在量词命题的理解存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使p(x)成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．()(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．()(3)全称量词命题一定含有全称量词．()(4)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．()(5)一个全称量词可以包含多个变量．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．做一做(1)下列命题中是存在量词命题的是()A．∀x∈R，x2≥0B．∃x∈R，x2<0C．平行四边形的对边不平行D．矩形的任一组对边都不相等(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．(3)“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)．(4)“所有的素数是奇数”是________命题(填“真”“假”)．答案(1)B(2)有些存在(3)全称量词(4)假题型一全称量词命题与存在量词命题例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)凸多边形的外角和等于360°；(3)有的一次函数的图象经过原点；(4)有一个实数x，x不能取倒数．[解](1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是全称量词命题，表示为∀凸多边形，其外角和等于360°.(3)是存在量词命题，表示为∃一次函数，其图象经过原点．(4)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x不能取倒数．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路[跟踪训练1]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)圆内接四边形的对角互补；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．解(1)是全称量词命题，表示为∀圆内接四边形，其对角互补．(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃平行四边形，其对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大.题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数x1，x2，若x1<x2，都有xeq\o\al(2,1)<xeq\o\al(2,2)；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.[解](1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在x1＝－5，x2＝－3，x1<x2，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．全称量词命题与存在量词命题真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．[跟踪训练2]判断下列命题的真假：(1)任何实数都有平方根；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；(3)∀x∈R，x2－x＋1>0；(4)∃x∈Z,3x＋4＝5.解(1)因为负数没有平方根，所以该命题为假命题．(2)因为方程x2－2＝0没有有理根，所以该命题为假命题．(3)因为x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，所以该命题为真命题．(4)因为3x＋4＝5不存在整数解，所以该命题为假命题．题型三含有量词的命题的应用例3∃a∈Z，关于x的分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解为正数，且∀y＜－2，关于y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)＞1，,2y－a≤0))成立．求符合条件的a的值．[解]分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解为x＝eq\f(6－a,4)且a≠2，∵关于x的分式方程eq\f(2,x－1)＋eq\f(a,1－x)＝4的解为正数，∴eq\f(6－a,4)＞0且a≠2，∴a＜6且a≠2.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)＞1，①,2y－a≤0，②))解不等式①，得y＜－2；解不等式②，得y≤a.∵关于y的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,3)－\f(y,2)＞1，,2y－a≤0))的解集为y＜－2，∴a≥－2.∴－2≤a＜6且a≠2.∵a为整数，∴a＝－2，－1,0,1,3,4,5.应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．[跟踪训练3]∃a∈Z，关于x的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1≤\f(1,3)x－2，,3x－a≥21－x))恰有两个整数解，且关于y的分式方程eq\f(1－3y,y－1)－eq\f(2a,1－y)＝－2的解为正数，求所有满足条件的a的值之和．解解不等式eq\f(x,2)－1≤eq\f(1,3)(x－2)，得x≤2，解不等式3x－a≥2(1－x)，得x≥eq\f(a＋2,5)，∵不等式组恰有两个整数解，∴0<eq\f(a＋2,5)≤1，解得－2<a≤3.解分式方程eq\f(1－3y,y－1)－eq\f(2a,1－y)＝－2，得y＝2a－1，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)且a≠1，则满足－2<a≤3，且a>eq\f(1,2)且a≠1的所有整数有2,3，∴所有满足条件的整数a的值之和是2＋3＝5.1．下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3答案C解析①③是全称量词命题，②是存在量词命题．2．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的有理数都有倒数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5答案B解析0是有理数，但0没有倒数，A是假命题；因为∀x∈R，x2≥0，所以∀x∈R，x2＋1≥1，故B是真命题；对于无理数eq\r(3)，(eq\r(3))2＝3是有理数，故C是假命题；整数20能被5整除，但其末位数字是0，故D是假命题．3．下列存在量词命题中，是假命题的是()A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆答案C解析A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C是假命题，因为所有的三角形都有外接圆；D是真命题，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，故选C.4．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为________答案存在量词命题∃x，y∈R，x＋y>1解析命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y>15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)∃x∈R，|x|＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；(3)每个二次函数的图象都与x轴相交．解(1)存在量词命题．∵∀x∈R，|x|≥0，∴|x|＋2≥2，不存在x∈R，使|x|＋2≤0.故命题为假命题．(2)存在量词命题．∵x2＋x＋8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(31,4)>0，∴命题为假命题．(3)全称量词命题，假命题．如存在y＝x2＋x＋1与x轴不相交．一、选择题1．下列命题中为存在量词命题的是()A．所有的整数都是有理数B．每个三角形至少有两个锐角C．有些三角形是等腰三角形D．正方形都是菱形答案C解析A，B，D为全称量词命题，C中含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∀x∈R,2x＋1>0B．至少有一个实数x，使x2≤0C．所有菱形的四条边都相等D．∀x>0，eq\r(x)是无理数答案C解析A是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确；B是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；C是全称量词命题，也是真命题，故C正确；D是全称量词命题，但不是真命题，故D不正确．故选C.3．下列存在量词命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素数是偶数D．有些实数没有平方根答案B解析因为x＝0∈Q，使2x－x3＝0成立，故A是真命题；因为x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，对x∈R恒成立，因此B为假命题；因为2是素数也是偶数，故C是真命题；因为负实数没有平方根，故D为真命题，故选B.4．(多选)下列命题中是真命题的是()A．∀x∈R,2x2－3x＋4>0B．∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0C．∃x∈N，eq\r(x)≤xD．∃x∈N*，使x为29的约数答案ACD解析对于A，因为2x2－3x＋4＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x＋\f(9,16)))－eq\f(9,8)＋4＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(23,8)>0，故A是真命题；对于B，因为当x＝－1时，2x＋1<0，故B是假命题；对于C，令x＝4，则eq\r(4)＝2≤4，故C是真命题；对于D，因为1和29都是29的约数，故D是真命题．故选ACD.5．已知a>0，则“x0满足关于x的方程ax＝b”的充要条件是()A．∃x∈R，eq\f(1,2)ax2－bx≥eq\f(1,2)axeq\o\al(2,0)－bx0B．∃x∈R，eq\f(1,2)ax2－bx≤eq\f(1,2)axeq\o\al(2,0)－bx0C．∀x∈R，eq\f(1,2)ax2－bx≥eq\f(1,2)axeq\o\al(2,0)－bx0D．∀x∈R，eq\f(1,2)ax2－bx≤eq\f(1,2)axeq\o\al(2,0)－bx0答案C解析由于a>0，令函数y＝eq\f(1,2)ax2－bx＝eq\f(1,2)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a)))2－eq\f(b2,2a)，故此函数图象的开口向上，且当x＝eq\f(b,a)时，取得y＝－eq\f(b2,2a)，且y＝eq\f(1,2)ax2－bx≥－eq\f(b2,2a)，而x0满足关于x的方程ax＝b，那么x0＝eq\f(b,a)，故∀x∈R，eq\f(1,2)ax2－bx≥eq\f(1,2)axeq\o\al(2,0)－bx0，故选C.二、填空题6．命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用“∃”或“∀”符号表示为________.答案∀x∈R，x2＋2x＋1≥0解析含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于零”就是“≥0”，因此命题用符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋1≥0”7．下列命题，是全称量词命题的有________；是存在量词命题的有________.(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．答案①②③④解析①中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；②中省略了全称量词，应是任何有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形，是全称量词命题；③中量词“任意一个”省略，是全称量词命题；④中含有存在量词“至少”，是存在量词命题．8．已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________.答案a≤eq\f(9,4)解析由题意可得，当p为真命题时，方程x2＋3x＋a＝0有实根，即32－4a≥0，得a≤eq\f(9,4)，故实数a的取值范围是a≤eq\f(9,4).三、解答题9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)自然数的平方大于或等于零；(2)有的一次函数图象经过原点；(3)所有的二次函数的图象的开口都向上．解(1)全称量词命题．表示为∀n∈N，n2≥0.(2)存在量词命题．∃一次函数，它的图象过原点．(3)全称量词命题．∀二次函数，它的图象的开口都向上．10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x>0}，x＋eq\f(1,x)>2.解(1)命题中隐含了全称量词“所有的”，因此命题应为“所有的有理数都是实数”，是全称量词命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称量词命题，且为假命题，当x＝1时，x＋eq\f(1,x)＝2.1．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a≠0.若p为真命题，则实数a的取值范围是()A．a>－1 B．a<－1C．a≥－1 D．a≤－1答案B解析依题意∀x∈R，x2＋2x－a≠0恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a2．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”A．a≥4 B．a≤4C．a≥5 D．a≤5答案C解析当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，因为