2026年上海市高二数学第9课函数性质与应用测试题

2026年上海市高二数学第9课函数性质与应用测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,0)上的单调性为（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增解析：f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故函数单调递增，选A。2.函数g(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的极值点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：g′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点为x=0,2，g(0)=2，g(2)=-2，g(3)=2，极值点为0,2，选C。3.函数h(x)=e^x-x^2在(-∞,0)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.无数解析：h′(x)=e^x-2x，h′(x)在(-∞,0)上单调递增，h′(0)=1>0，h(0)=1>0，且h(x)连续，故仅有一个零点，选B。4.函数m(x)=sin(x)-x在[0,π/2]上的最大值点为（）A.0B.π/4C.π/2D.π/3解析：m′(x)=cos(x)-1，驻点为x=0，m(0)=0，m(π/2)=1-π/2<0，故最大值点为0，选A。5.函数n(x)=xlnx在(0,1)上的最小值点为（）A.e^-1B.1/eC.1D.0解析：n′(x)=lnx+1=0，驻点为x=1/e，n(1/e)=-1/e^2，n(0)=0，n(1)=0，故最小值点为1/e，选B。6.函数p(x)=x^2/(x^2+1)在(-∞,∞)上的值域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]解析：p′(x)=2x(x^2+1)-2x^3/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2，驻点为x=0，p(0)=0，当x→±∞时p(x)→1，值域为[0,1)，选B。7.函数q(x)=x/(x^2+1)在(-∞,0)上的最大值点为（）A.-1B.-√2C.0D.-1/2解析：q′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，驻点为x=-1，q(-1)=-1/2，q(0)=0，故最大值点为-1/2，选D。8.函数r(x)=x^3-3x在(-∞,∞)上的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：r′(x)=3x^2-3，r′′(x)=6x，拐点为x=0，r(0)=0，故拐点个数为1，选B。9.函数s(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在(-∞,∞)上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：s(x)=(x-1)^4，仅有一个零点x=1，选B。10.函数t(x)=x^3-3x^2+2x在(-∞,∞)上的单调递增区间为（）A.(-∞,0)∪(2,∞)B.(0,2)C.(-∞,0)∪(0,2)D.(-∞,2)∪(2,∞)解析：t′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-3，增区间为(-∞,1)∪(1,∞)，选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值为______。参考答案：2解析：f(0)=2，f(1)=-1，f(2)=-2，f(3)=2，最大值为2。2.函数g(x)=e^x-x在(-∞,0)上的零点x0满足x0______。参考答案：>1解析：g′(x)=e^x-1>0，g(x)单调递增，g(1)=e-1>0，g(0)=1>0，零点x0>1。3.函数h(x)=sinx-x在[0,π/2]上的最大值______。参考答案：0解析：h′(x)=cosx-1≤0，h(x)单调递减，最大值为h(0)=0。4.函数m(x)=xlnx在(0,1)上的最小值______。参考答案：-1/e^2解析：m′(x)=lnx+1=0，驻点x=1/e，m(1/e)=-1/e^2，为最小值。5.函数n(x)=x^2/(x^2+1)在(-∞,∞)上的最大值______。参考答案：1解析：n′(x)=2x(x^2+1)-2x^3/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2，驻点x=0，n(0)=0，当x→±∞时n(x)→1，最大值为1。6.函数p(x)=x/(x^2+1)在(-∞,0)上的最大值______。参考答案：-1/2解析：p′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，驻点x=-1，p(-1)=-1/2，为最大值。7.函数q(x)=x^3-3x在(-∞,∞)上的极值点______。参考答案：0,2解析：q′(x)=3x^2-3，驻点x=±1，q(0)=0，q(2)=2，极值点为0,2。8.函数r(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在(-∞,∞)上的拐点______。参考答案：1解析：r′(x)=4x^3-12x^2+12x-4，r′′(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2，拐点为x=1。9.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在(-∞,∞)上的零点______。参考答案：0,1,2解析：s(x)=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2)，零点为0,1,2。10.函数t(x)=x^3-3x^2+2x在(-∞,∞)上的单调递减区间______。参考答案：(1,2)解析：t′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-3，减区间为(1,2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3在(-∞,∞)上单调递增。（）参考答案：正确解析：f′(x)=3x^2≥0，函数单调递增。2.函数g(x)=e^x在(-∞,∞)上存在极值点。（）参考答案：错误解析：g′(x)=e^x>0，函数单调递增，无极值点。3.函数h(x)=sinx在[0,π]上单调递减。（）参考答案：错误解析：h′(x)=cosx在[0,π/2]上为正，在[π/2,π]上为负，非单调递减。4.函数m(x)=xlnx在(0,1)上存在最大值点。（）参考答案：正确解析：m′(x)=lnx+1=0，驻点x=1/e，为最大值点。5.函数n(x)=x^2/(x^2+1)在(-∞,∞)上存在极值点。（）参考答案：错误解析：n′(x)=2x(x^2+1)-2x^3/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2，驻点x=0，非极值点。6.函数p(x)=x/(x^2+1)在(-∞,0)上单调递增。（）参考答案：正确解析：p′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，在(-∞,0)上p′(x)>0，单调递增。7.函数q(x)=x^3-3x在(-∞,∞)上存在拐点。（）参考答案：正确解析：q′′(x)=6x，拐点为x=0。8.函数r(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在(-∞,∞)上单调递增。（）参考答案：正确解析：r′(x)=4x^3-12x^2+12x-4，驻点x=1，非极值点，函数单调递增。9.函数s(x)=x^3-3x^2+2x在(-∞,∞)上存在三个零点。（）参考答案：正确解析：s(x)=x(x-1)(x-2)，零点为0,1,2。10.函数t(x)=x^3-3x^2+2x在(-∞,∞)上单调递减区间为(1,2)。（）参考答案：正确解析：t′(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-3，减区间为(1,2)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的单调区间和极值点。解答：f′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2，在[0,2]上f′(x)≤0，单调递减；在[2,3]上f′(x)≥0，单调递增；极值点为x=0,2。2.求函数g(x)=e^x-x在(-∞,0)上的零点个数。解答：g′(x)=e^x-1<0，g(x)单调递减，g(0)=1>0，g(-1)=1/e+1>0，零点个数为1。3.求函数h(x)=sinx-x在[0,π/2]上的最大值和最小值。解答：h′(x)=cosx-1≤0，h(x)单调递减，最大值为h(0)=0，最小值为h(π/2)=1-π/2。4.求函数m(x)=xlnx在(0,1)上的最小值点。解答：m′(x)=lnx+1=0，驻点x=1/e，m(1/e)=-1/e^2，为最小值点。5.求函数n(x)=x^2/(x^2+1)在(-∞,∞)上的值域。解答：n′(x)=2x(x^2+1)-2x^3/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2，驻点x=0，n(0)=0，当x→±∞时n(x)→1，值域为[0,1)。6.求函数p(x)=x/(x^2+1)在(-∞,0)上的最大值点。解答：p′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，驻点x=-1，p(-1)=-1/2，为最大值点。7.求函数q(x)=x^3-3x在(-∞,∞)上的极值点。解答：q′(x)=3x^2-3，驻点x=±1，q(0)=0，q(2)=2，极值点为0,2。8.求函数r(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在(-∞,∞)上的拐点。解答：r′(x)=4x^3-12x^2+12x-4，r′′(x)=12x^2-24x+12=12(x-1)^2，拐点为x=1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x^2-4x+5，需求函数为p(x)=10-x，求该产品的利润最大时的产量。解答：收益函数R(x)=px=10x-x^2，利润函数L(x)=R(x)-C(x)=10x-x^2-x^2+4x-5=-2x^2+14x-5，L′(x)=-4x+14=0，驻点x=3.5，L(3.5)=24.5，利润最大时的产量为3.5。2.某商品的需求函数为q(p)=100-2p，求该商品的价格弹性在p=10时的值。解答：需求弹性E=-dq/dpp/q=-(-2)10/(100-210)=0.5，价格弹性为0.5。3.某产品的成本函数为C(x)=x^3-6x^2+9x+5，求该产品的边际成本函数。解答：边际成本函数C′(x)=3x^2-12x+9。4.某产品的需求函数为q(p)=50-5p，求该商品的收入函数和边际收入函数。解答：收入函数R(p)=pq=50p-5p^2，边际收入函数R′(p)=50-10p。5.某产品的成本函数为C(x)=x^2-4x+5，求该产品的平均成本函数和边际成本函数。解答：平均成本函数AC(x)=C(x)/x=x-4+5/x，边际成本函数C′(x)=2x-4。6.某产品的需求函数为q(p)=100-2p，求该商品的收入函数和边际收入函数。解答：收入函数R(p)=pq=100p-2p^2，边际收入函数R′(p)=100-4p。7.某产品的成本函数为C(x)=x^3-6x^2+9x+5，求该产品的边际利润函数。解答：边际利润函数π′(x)=R′(x)-C′(x)=50-10x-(3x^2-12x+9)=41-3x^2+2x。8.某产品的需求函数为q(p)=100-2p，求该商品的价格弹性函数。解答：价格弹性函数E=-dq/dpp/q=-(-2)p/(100-2p)=2p/(100-2p)。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.C3.B4.A5.B6.B7.D8.B9.B10.A解析：2.f′(x)=1/(x+1)-1=-(x/(x+1))，在(-1,0)上f′(x)>0，故单调递增。3.g′(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，驻点x=0,2，g(0)=2，g(2)=-2，g(3)=2，极值点为0,2。4.h′(x)=e^x-2x，h′(x)在(-∞,0)上单调递增，h′(0)=1>0，h(0)=1>0，h(x)连续，故仅有一个零点。5.m′(x)=cos(x)-1，驻点为x=0，m(0)=0，m(π/2)=1-π/2<0，故最大值点为0。6.n′(x)=lnx+1=0，驻点x=1/e，n(1/e)=-1/e^2，n(0)=0，n(1)=0，故最小值点为1/e。7.p′(x)=2x(x^2+1)-2x^3/(x^2+1)^2=2x/(x^2+1)^2，驻点x=0，p(0)=0，当x→±∞时p(x)→1，值域为[0,1)，选B。8.q′(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，驻点x=-1，q(-1)=-1/2，q(0)=0，故最大值点为-1/2。