专题强化练2　两条直线的位置关系与距离公式-2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

专题强化练2两条直线的位置关系与距离公式一、选择题1.(多选)(2020江苏苏大附中期中)已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,则下列说法正确的是()A.l2始终过定点2B.若l1∥l2,则a的值为1或-3C.若l1⊥l2,则a的值为0或2D.当a>0时,l1始终不过第三象限2.(2020山东烟台一中月考)已知A(-2,1),B(1,2),点C为直线x-3y=0上的动点,则AC+BC的最小值为()A.22C.253.(多选)已知点P是直线3x-4y+5=0上的动点,定点Q(1,1),则下列说法正确的是()A.线段PQ的长度的最小值为4B.当线段PQ最短时,直线PQ的方程是3x+4y-7=0C.当线段PQ最短时,点P的坐标为13D.线段PQ的长度可能是24.(2020浙江杭州期末)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则y0xA.-C.-5.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosα,sinα)到直线mx+y-2=0的距离,当α,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.46.(2020江苏无锡期中)如图,已知A(-4,0),B(4,0),C(0,4),E(-2,0),F(2,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为()A.(-∞,-2)B.(4,+∞)C.(2,+∞)D.(1,+∞)二、填空题7.(2020江苏如皋第一中学期中)设m∈R,过定点A的直线x+1+my=0和过定点B的直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则3PA+PB的最大值是.

8.(2020山东青岛平度一中期中)在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为32,则a2+b2的最小值为.

9.(2020江苏无锡锡山高级中学月考)如图,矩形ABCD的边AB在x轴上,C(2,2),D(-1,2).从原点O射出的光线OP经BC反射到CD上,再经CD反射到AD上点Q处.(1)若直线OP的斜率为12,则点Q的纵坐标为(2)若点Q恰为线段AD的中点,则直线OP的斜率为.

三、解答题10.(2020江苏泰州中学期中)已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),l2:4x-2y-1=0和l3:x+y-1=0,且l1和l2的距离是75(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶5?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由11.(2020江苏启东中学期中)如图,公路AM、AN围成的是一块顶角为α的耕地区域,其中tanα=-1,在该块土地中的P处有一小型建筑,经测量,它到公路AM,AN的距离分别为1km,2km,现要过点P修建一条直线公路BC,将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园.(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系,并求出点P的坐标;(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2,求公路BC所在直线的方程.12.(2020山东青岛莱西一中期中)如图,设直线l1:x=0,l2:3x-4y=0.点A的坐标为(1,a)a>34,过点A的直线l的斜率为k,且与l1,l2分别交于点(1)求实数k的取值范围;(2)设a=1,求△MON面积的最小值;(3)是否存在实数a,使得1OM+1ON的值与k无关?若存在,求出实数a;答案全解全析一、选择题1.ACDl2:a(x-2y)+3y-1=0过定点23,13,当a=1时,l1,l2重合,故B错误;由1×a-a×(2a-3)=0,得a=0或a=2,故C正确;当a>0时,l1:y=-1ax+1过定点(0,1),斜率为负,始终不过第三象限,故D正确故选ACD.2.C设点A(-2,1)关于直线x-3y=0的对称点为D(a,b),则b-1故点D的坐标为(-1,-2),∴AC+BC=DC+BC,当B,D,C三点共线时,DC+BC取得最小值,即AC+BC取得最小值,最小值为DB=(1+1故选C.3.AC当PQ所在直线垂直于直线3x-4y+5=0时,线段PQ最短,点Q到已知直线的距离为|3-4+5|3设Pm,3m+54,则kPQ=1故线段PQ最短时点P的坐标为1325,4125,直线PQ的方程是y-14125-线段PQ的长度的取值范围为45,+∞,4.A设A(x1,y1),y0x0=k,则y0=kx∵AB的中点为P(x0,y0),∴B(2x0-x1,2y0-y1).∵A,B分别在直线x+2y-1=0,x+2y+3=0上,∴x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,∴2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.∵y0=kx0,∴x0+2kx0+1=0,即x0=-11+2又y0>x0+2,∴kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,∴(k-1)-11+2k>2,解得-12<k<−5.C由题意,得d=|mcosα+sinα-2|m易知当且仅当sin(α+φ)=-1,m=0时等号成立,此时d取得最大值,且dmax=3.B设F关于直线BC对称的点为H,H关于直线AC对称的点为G,连接GA,GE,GE与直线AC交于N,连接HA,HN,分别与直线BC交于I,J,如图所示.由题意知,点D在线段IJ两端点之间即可,易知直线BC的方程为x+y=4,设H(x,y),则yx-2=1同理可得H关于直线AC对称的点为G(-2,8),所以直线GE的方程为x=-2.又直线AC的方程为x-y+4=0,所以N(-2,2),易得直线HN的方程为y=2,所以J(2,2).直线HA的方程为y=24-(-4)即x-4y+4=0,由x-4所以I125,85,所以kFD>kFI=二、填空题7.答案213解析由题意得直线x+1+my=0过定点A(-1,0),直线mx-y-m+3=0可化为(x-1)m+3-y=0,过定点B(1,3).又1×m+m×(-1)=0,∴两直线垂直,交点为P,∴PA2+PB2=AB2=13,设∠ABP=θ,则PA=13sinθ,PB=13cosθ.∵PA≥0且PB≥0,∴θ∈0,∴3PA+PB=39sinθ+13cos=213=213sin∵θ∈0,π2,∴θ+π当θ+π6=π2,即θ=π3时,213sin8.答案1解析因为动点P(a,b)到两直线l1:y=x和l2:y=-x+4的距离之和为32,所以|a即|a-b|+|a+b-4|=6,分为以下4种情况:a-b≥0,a+可知点(a,b)在如图所示的正方形的4条边上,而a2+b2结合图形知,当取点A(-1,0)或B(0,-1)时,a2+故a2+b2的最小值为1.9.答案(1)3解析(1)根据直线OP的斜率为12,可得P(2,1),则P在BC的中点上,则反射光线必经过DC与y轴的交点(0,2).设点Q的坐标为(-1,t),则2-t0-(-1)=12(2)设P(2,n),反射光线与DC的交点为E(m,2),由反射角与入射角相等,可得2-n又直线OP的斜率等于直线QE的斜率,所以n2=由①②解得m=23,n三、解答题10.解析(1)l2的方程可化为2x-y-12∴l1和l2的距离d=a-∴a+12=7(2)设点P(x0,y0),若点P满足条件②,则点P在与l1和l2平行的直线l':2x-y+c=0c≠-12,c≠3上,且|c∴l':2x-y+132=0或2x-y+11若点P满足条件③,则|2x0∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.∵P在第一象限,∴x0-2y0+4=0.联立2x0-y0+联立2x0∴P19,11.解析(1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可设点P(a,1)(a>0),且直线AN的斜率为kAN=tanα=-1,且经过点A(0,0),故直线AN的方程为x+y=0,因为点P到AN的距离为2,所以|a+1|2=2,解得a=1或a=-3((2)由题意可知直线BC的斜率一定存在,设其直线方程为y-1=k(x-1)(k≠-1),与直线AN的方程x+y=0联立后解得xC=k-易得点B的坐标为k-所以S△ABC=12·k-1k·-k所以公路BC所在直线的方程为y-1=-13(x-1),即12.解析(1)直线l的方程为y-a=k(x-1),令x=0,得y=a-k.由y-a∵y=a-k>0,y=3k∴k<34,即实数k的取值范围为-∞,(2)由(1)得