单元3-交流电路的分析-思考与练习题及习题参考答案

单元3习题参考答案思考与练习题P110-3.13.1.1我国单相市电的解析式如何表示?答：u=311sin(314t)V。3.1.2同一电阻分别接到最大值为15V的交流电和10V的直流电,同样的时间内哪种发热量大?答：最大值15V的交流电发热大。因为其有效值为10.6V，大于10V。3.1.3有效值为220V的交流电和220V的直流电接上同一电阻后,电阻上的发热效果是否相同?答：相同。P113-3.23.2.1相量在分析交流电路中有什么作用?答：相量将使交流分析像直流一样简单。核心是引入电压相量、电流相量及复阻抗，直流电里的所有定律、定理和公式都可以在交流电里用相量形式表示。。3.2.2不同频率的正弦量的相量是否可以画在同一相量图中?答：否。相量图中表示相量的所有箭头都以相同的角速度逆时针旋转，相位差才能保持不变，如果频率不同，旋转速度就不同，相位差也就不断变化。正弦交流电转变成相量形式，忽略了频率，前提条件也是所有电压和电流是同频率的。3.2.3例3.9中如不使用相量是否也能用三角函数求出?答：是。但是需要进行三角函数运算，比较麻烦。P119-3.33.3.1相量在分析交流电路中有什么作用?答：1.利用复数简化运算2.通过引入复阻抗，使得直流电路中的所有定律（欧姆定律、基尔霍夫定律等）和分析方法（串并联、戴维南等）都能直接套用于交流电路3.利用相量图，可以直观地显示各电压、电流之间的有效值大小和相位关系，便于分析电路特性。3.3.1直流电路中为何电感相当于导线,电容相当于断路?答：根据，直流电路中电流变化率为0,所以电感电压为0,相当于导线。根据,直流电路中电压变化率为0,所以电容电流为0,相当于断路。3.3.2当频率增加,电容的容抗和电感的感抗分别如何变化?答：频率增加，角频率也增加，感抗增大，容抗减小3.3.3电容串联和并联后的总容量如何变化?答：电容串联容量变小和电容并联变大。3.3.4电感串联和并联后的总电感量如何变化?答：电感串联容量变大和电感并联变小。3.3.5电感上的电压和电流的相位关系如何?答：电感电压超前电流90°。3.3.6电容上的电压和电流的相位关系如何?答：电容电压滞后电流90°。P125-3.43.4.1功率因数有哪些计算公式?它们分别代表什么意义?答：代表功率因数=有功功率在视在功率中所占比例代表功率因数=电阻电压在总电压中所占比例代表功率因数=电阻电压在总电压中所占比例3.4.2无功功率是否是无用的功率?答：无功功率反应了元件与外界之间交换能量的规模，并不是无用的功率，变压器、电动机、互感器等感性设备之所以能工作，也是因为具有无功功率。补偿电容、滤波电容、振荡电容等在各自电路中能正常工作，正是因为电容能储存和释放电场能量，与外界交换能量。P129-3.53.5.1复阻抗串联后总的复阻抗如何计算?答：和电阻串联类似，直接相加3.5.2复阻抗并联后总的复阻抗如何计算?答：和电阻串联类似，总复阻抗的倒数=各相复阻抗的倒数相加3.5.3在相量图求解法中为了方便计算应怎样选择参考相量?答：串联选择电流做参考相量，并联选择电压做参考相量P129-3.63.6.1提高功率因数有什么意义?答：1.供电和用电设备被充分利用。2.减少线路损耗，电能被充分利用。3.6.2对于感性负载通常如何提高功率因数?答：感性负载两端并联一定量的电容。3.6.3对于例3.20,并联电容C有个公式为,请试着推导它。答：第1步：补偿前负载的无功功率Q₁=Ptanφ₁第2步：补偿后电源需提供的无功功率Q₂=Ptanφ₂第3步：电容需补偿的无功功率QC=Q₁−Q₂=P(tanφ₁−tanφ₂)第4步：电容器的无功功率公式QC=U²ωC第5步：联立求解

U²ωC=P(tanφ₁−tanφ₂)C=P/(U²ω)·(tanφ₁−tanφ₂)P136-3.73.7.1串联谐振电路的谐振频率是否和外加电压大小有关?答：无关，只和L、C有关。3.7.2串联谐振电路特性阻抗和什么有关?答：只和L、C有关。3.7.3串联谐振电路的Q值有什么意义?答：1.电压放大倍数：谐振时L或者C的电压为输入电压Q倍；2.选频能力：Q越高，选择性越好；只有频率非常接近谐振频率f₀的信号，才能形成较大电流；频率稍微偏离f₀，Q越高，电流下降的越快。3.损耗指标：Q越高，回路损耗越小；Q越高，R越小，损耗越小4.带宽：Q越高，通频带越窄。输入信号频率稍偏离f0时，电路阻抗急剧变化，响应迅速下降3.7.4为什么说串联谐振也叫电压谐振?答：1.供电和用电设备被充分利用。3.7.5并联谐振和串联谐振电路的谐振频率公式相同,为何一个叫电压谐振,一个叫电流谐振?答：1.串联谐振谐振时：回路阻抗最小，回路电流达到最大值。电感、电容上的电压远大于外加电源电压（放大Q倍）。因为会产生高压，所以串联谐振又称电压谐振。2.并联谐振谐振时：回路等效阻抗最大，总输入电流最小。电感支路、电容支路的支路电流大小接近、相位相反；LC支路内部环流远大于外部总电流（放大Q倍）。回路内部产生很大的循环电流，因此并联谐振又称电流谐振。P145-3.83.8.1什么叫三相四线制?答：三相交流供电系统中，由三根相线（火线U、V、W）+一根中性线（零线N）共同组成的输电方式，称为三相四线制。3.8.2为何在三相四线制中,中线上不能安装熔断器?答：因为中线一旦断开，负载不对称时各相电压将不再对称，导致有的相电压过高（烧毁设备），有的相电压过低（无法正常工作）。熔断器的作用是切断故障电路，但在中线上装熔断器，正常工作时熔断器熔断等同于人为断开中线，同样会破坏电压对称性，所以绝对禁止。3.8.3在星形连接的三相对称电源中,线电压是相电压的多少倍?为什么?答：线电压大小是相电压的3（约1.732）倍,线电压为两个相位相差120°的相电压进行矢量相减，根据矢量几何运算，合成电压的幅值等于相电压的3倍3.8.4在三角形连接的三相对称负载中,线电流是相电流的多少倍?为什么?答：在三角形连接的三相对称负载中，线电流大小是相电流的3倍,线电流为两个相位相差120°的相电流进行矢量相减，根据矢量几何运算，合成电流的幅值等于相电流的3倍3.8.5在三相电源系统中,三相负载分别是一个电阻、一个电容、一个电感,总有功功率是否与电容和电感有关?答：无关，只和电阻有关P152-3.103.10.1傅里叶级数一般包含哪3种分量?答：1.直流分量—常数项，频率为02.基波分量—与信号原频率相同的分量3.高次谐波分量—频率为基波整数倍的分量3.10.2非正弦周期信号的有效值公式如何表示?答：定义公式常用公式3.10.3非正弦周期信号分析法可分为哪3步?答：傅里叶分解→各次谐波单独相量求解→时域叠加3.10.4占空比为50%的5V脉冲波的有效值是否为2.5V?为什么?答：不是,计算有效值为3.535V，平均值为2.5V

习题3-P393.1填空题(1)正弦量的三要素分别是最大值、角频率和初相位。(2)市电工频为50Hz,其周期为0.02s,角频率为314rad/s。(3)交流电，则其对应的最大值为25A，有效值为17.68A，角频率为31.4rad/s，初相位为90°，在t=100ms时刻的相位角为270°。(4)电压相量,已知频率为50Hz,则对应的电压解析式20√2sin（(5)交流电，则其对应的相量102∠90°(6)两个电感L1和L2串联后的等值电感为L1+L2，并联后的等值电感为L1╳L2/（L1+L2）。(7)两个电容C1和C2串联后的等值电容为C1╳C2/（C1+C2），并联后的等值电容为C1+C2。(8)在频率为50Hz电路中，10uF电容的容抗为318.31Ω，10mH电感的感抗为3.14Ω。(9)通常情况下电容的电压不能突变，电感的电流不能突变。(10)在三相四线制供电系统中，已知单相电压有效值为220V，则线电压有效值为381.05V，线电压最大值为538.89V。3.2选择题(1)已知交变电流的瞬时值的表达式是i=50sin(50π)tA,从t=0到第一次出现最大值的时间是(d)。a.0.02秒 b.1/200秒 c.1/150秒 d.1/100秒(2)下面关于交流电的几种说法中正确的是(c)。a.使用交流电的电气设备上所标的电压电流值是指峰值b.交流电流表和交流电压表测得的值是电路的瞬时值c.交流的有效值等于与交流电有相同热效应的直流电的值d.通常所说的市电电压是220伏,指的是峰值(3)图3-57是一个交变电流i随时间t变化的曲线,则此交变电流的有效值是(b)。a.5√2A b.5A c.3.52A d.3.5A(4)有“220V/100W”和“220V/25W”白炽灯两盏,串联后接入220V交流电源,其亮度情况是(a)。a.25W灯泡最亮b.100W灯泡最亮c.两只灯泡一样亮d.都不亮(5)有关提高功率因数,下列说法正确的是(a、d)。a.可提高电源设备的利用率并减小输电线路中的功率损耗b.可以大幅度地节省电能c.减少了用电设备的无功功率,提高了电源设备的容量d.可以在感性负载两端并联电容器来提高功率因数(6)已知i1=10sin(ωt+150°)A和i2=100sin（ωt-150°）A,有关相位的说法正确的是(b)。a.相位差无法比较b.I1滞后I260°c.I1超前I260°d.同相(7)在RL串联的交流电路中,UR=16V,UL=12V,则总电压为(a)。a.20Vb.28Vc.不一定d.4V(8)RLC串联电路的频率大于谐振频率时,电路性质呈(a)。a.感性b.阻性c.容性d.不确定(9)串联正弦交流电路的视在功率表征了该电路的(a)。a.电路中总电压有效值与电流有效值的乘积b.平均功率c.瞬时功率的最大值d.瞬时功率的平均值(10)正弦交流电路中的电压表,测量的是电路的(b)。a.电压瞬时值b.电压有效值c.电压平均值d.电压最大值(11)有效值相量只能表示交流电的有效值和(a)。a.初相位b.频率c.相位d.周期3.3把下列代数形式的复数转换成极坐标形式。(1)30+j40(2)30-j40(3)-30+j40(4)-30-j40解(1)30+j40==50∠53.13°(2)30-j40=50∠−53.13°(3)-30+j40=50∠126.87°(4)-30-j40=50∠−126.87°3.4把下列极坐标形式的复数转换成代数形式。(1)10∠30°(2)10∠-30°(3)10∠60°(4)10∠-45°解(1)10∠30°=8.66+j5(2)10∠-30°=8.66-j5(3)10∠60°=5+j8.66(4)10∠-45°=7.07−j7.073.5计算下列复数,并将结果转换成代数形式。（1）(50+j60)(20+j30)（2）=5.196−j3（3）（4）解（1）(50+j60)(20+j30)=-800+j2700（2）=0.13-j0.76（3）=1.75-j0.75（4）=20.06-j14.573.6某交流电流的曲线如图3-58所示,求曲线的频率、初相角、最大值,并写出其瞬时值表达式。解

根据周期T=0.02s，频率f=50Hz

根据曲线，初相角φ=π/4（45°）根据曲线，最大值Im=10A根据周期T=0.02s，角频率ω=100πrad/s瞬时值表达式i(t)=10sin(100πt+π/4)A3.7已知交流电压和电流的解析式为u=20sin(ωt-160°)V,i1=10sin(ωt-45°)A,i2=4sin(ωt+70°)A。在保持它们的相位差不变的情况下,将电压的初相位改为0°,重新写出它们的解析式。解u=20sin(ωt)Vi1=10sin(ωt+115°)A,i2=4sin(ωt-130°)A3.8一个正弦电压的初相位φ=45°,t=T/4时,v(t)=0.5V,试求该电压的最大值。解设电压瞬时值表达式为：

v(t)=Vmsin(ωt+φ)当t=T/4时：

ωt=2π/T×T/4=π/2代入已知条件：

0.5=Vmsin(π/2+π/4)

0.5=Vmsin(3π/4)

0.5=Vm×√2/2解得：

Vm=0.5×2/√2=1/√2≈0.707V答案：该电压的最大值Vm=1/√2≈0.707V3.9周期性交流电压的波形分别如图3-59所示,它们的有效值与最大值有什么关系?解(a)方波：U=Um，有效值等于最大值(b)正弦波：U=Um/√2，有效值为最大值的0.707倍(c)全波整流波形：U=Um/√2，有效值为最大值的0.707倍3.10已知i=1.414sin(314t+45°)A,则与它对应的相量İ为多少?如已知相量U=10∠30°V,电路的频率为50Hz,求对应的电压解析式。解İ=1∠45°A，u=14.14sin(314t+30°)V3.11已知i1=50√2sin(ωt+30°)A,i2=100√2sin(ωt-60°)A,求:(1)İ1、İ2;(2)İ1+İ2;(3)i1+i2;(4)画出对应的相量图。解(1)İ1=50∠30°Aİ2=100∠-60°A(2)İ1+İ2=50∠30°+100∠-60°=(50cos30°+j50sin30°)+(100cos(-60°)+j100sin(-60°))

=(43.30+j25)+(50-j86.60)

=93.30-j61.60=111.80∠-33.43°A(3)i1+i2=158.11sin(314t-33.43°)A(4)相量图如图30°30°60°I1I2I1+IO+13.12已知u1=22sin(ωt+30°)V,u2=22sin(ωt+150°)V,u3=22sin(ωt-90°)V,求:(1)U1、U2、U3;(2)U1+U2+U3;(3)u1+u2+u3解(1)U1=11√2∠30°V、U2=11√2∠150°V、U3=11√2(2)U1+U2+U3=11√2∠30°+11√2∠150°+11√2=

(11√6/2+j11√2/2)+(-11√6/2+j11√2/2)+(0-j11√2)

=(11√6/2-11√6/2+0)+j(11√2/2+11√2/2-11√2)

=0+j0

=0(3)u1+u2+u3=0V(4)相量图如图30°30°90°I1I2I1+IO+130°I33.13已知i1=10sin(ωt+30°)A,i2=5sin(ωt-30°)A,分别利用三角函数和相量法计算i1+i2,试比较哪种方法最方便。解三角函数法i₁=10sin(ωt+30°)i₂=5sin(ωt-30°)展开：10sin(ωt+30°)=10(sinωtcos30°+cosωtsin30°)=5√3sinωt+5cosωt5sin(ωt-30°)=5(sinωtcos30°-cosωtsin30°)=(5√3/2)sinωt-(5/2)cosωt相加：i=(5√3+5√3/2)sinωt+(5-5/2)cosωt=(15√3/2)sinωt+(5/2)cosωt设i=Imsin(ωt+φ)=Imsinωtcosφ+Imcosωtsinφ比较系数：Imcosφ=15√3/2Imsinφ=5/2Im=√[(15√3/2)²+(5/2)²]=√(700/4)=√175=5√7≈13.23Atanφ=(5/2)/(15√3/2)=1/(3√3)=√3/9φ=arctan(√3/9)≈10.9°i₁+i₂=5√7sin(ωt+10.9°)A答案：5√7sin(ωt+10.9°)A≈13.23sin(ωt+10.9°)A用相量法计算İ₁=(10/√2)∠30°=6.12+j3.54İ₂=(5/√2)∠-30°=3.06-j1.77İ=İ₁+İ₂=9.18+j1.77I=√(9.18²+1.77²)=9.35AIm=9.35×√2=13.23Aφ=arctan(1.77/9.18)=10.9°所以：i₁+i₂=13.23sin(ωt+10.9°)A答案：13.23sin(ωt+10.9°)A3.14已知V，V，试作和的相量图，并求：和。解答案：3.15用下列各式表示RC串联电路中的电压、电流，哪些是对的，哪些是错的？（1）I= （2）= （3）=（4）i= （5）U=UR+UC （6）I=（7）=j（8）解（1）对 （2）对 （3）错（4）错 （5）错 （6）错（7）错（8）错对应下面是正确的：3.16有一个220V/40W的电烙铁，接在220V/50Hz的交流电源上。要求：（1）绘出电路图，并计算电流的有效值和最大值。（2）计算电烙铁多长时间消耗一度电？。（3）画出电压、电流相量图。解（1）P=UI,I=P/U=40/220≈0.1818AIm=（40/220）*√2≈0.257A（2）1000/40=25，即25小时相量图如图IIUO3.17为了使一个48V/0.2A的灯泡接在220V/50Hz的交流电源上能正常工作，可以串上一个电容器限流，问应串联多大的电容才能达到目的？如果串上一个电感限流呢？解（1）串联元件会必须导致灯泡电压为48V，电流为0.2A,灯泡电阻为48/0.2=240Ω根据欧姆定律0.2=220/√（X=1073.5Ω，计算电容C=(1/1073.5)/314=2.97uF（2）串联电感的阻抗也为X=1073.5Ω，计算电感L=1073.5/314≈3.418H3.18一个电感线圈接到电压为120V的直流电源上，测得电流为10A；接到频率为50Hz电压为220V的交流电源上，测得电流为15A，求线圈的电阻和电感。解直流时电感短路：线圈的电阻R=Udc/Idc=120/10=12Ω交流时：线圈的阻抗ǀZǀ=Uac/Iac=220/15=14.67ΩXL=√(Z²-R²)=√(14.67²-12²)=√(215.11-144)=√71.11=8.43ΩL=XL/(2πf)=8.43/(314)=0.0269H=26.9mH答案：R=12ΩL=26.9mH3.19日光灯电路可以看成是一个RL串联电路，若已知交流电压为220V，灯管为400Ω,镇流器感抗为300Ω。求：（1）电路中的总阻抗、电流；（2）各元件两端的电压电流与端电压的相位关系，并画出电压、电流的相量图。解（1）总阻抗和电流：

ǀZǀ=√(R²+XL²)=√(400²+300²)=500Ω

I=U/Z=220/500=0.44A（2）元件电压：

UR=IR=0.44×400=176V

UL=IXL=0.44×300=132V相位关系：

UR与I同相（0°）

UL超前I90°

U超前Iφ=arctan(XL/R)=arctan(300/400)=36.87°相量图如图36.87°36.87°OIUUU3.20把10Ω的电阻、10mH的电感和10uF的电容分别接在10V50HZ的交流电源上，试分别计算电源电流并画出电压电流相量图。解电阻R=10Ω：

电源电流I=U/R=10/10=1A电感L=10mH：

XL=ωL=314×0.01=3.14Ω

电源电流I=U/XL=10/3.14=3.18A电容C=10μF：

XC=1/(ωC)=1/(314×10⁻⁵)=318.3Ω

电源电流I=U/XC=10/318.3=0.0314A相量图如图3.21有一线圈，接在电压为24V的直流电源上，测得电流为8A。然后再将这个线圈改接到电压为24V、频率为50Hz的交流电源上，测得的电流为4.8A。试问线圈的电阻及电感各为多少？解已知：直流Udc=24V，Idc=8A；交流Uac=24V，Iac=4.8A，f=50Hz直流时电感短路：

R=Udc/Idc=24/8=3Ω交流时：

ǀZǀ=Uac/Iac=24/4.8=5ΩXL=√(Z²-R²)=√(5²-3²)=√16=4ΩL=XL/(2πf)=4/(314)=0.01274H=12.7mH答案：

R=3Ω，L=12.7mH3.22如图3-60所示正弦交流电路,已标明支路电流表的读数,试用相量图求总电流表的读数。解IRIIRILIR+IO+13mA4mAIRICIR+I+11mA1mA总电流表的读数32+423.23在如图361所示电路中,已知u=100sin(314t+30°)V,i=20sin(314t+20°)A,i2=10sin(314t+85°)A,试求:i1、Z1、Z2,并说明Z1、Z2的性质,绘出相量图。解I₁=I-I2=20/√2∠20°−10/√2∠85°

=14.1421∠20°−7.0711∠85°

=13.289+j4.837−(0.616+j7.044)

=12.673−j2.207

=12.86∠−9.88°i1=12.86√2sin(ωt−9.88°)A=18.19sin(ωt−9.88°)AZ1​=U/I1=(12.86∠−9.88°)/（70.71∠30°）=5.50∠39.88Z2=U/I2=(70.71∠30°)）/(7.07∠85°)=10.00∠−55Z1为感性负载，Z2为容性负载II1I+1I2U3.24如图3=62所示电路中,已知U=10V,R1=10Ω,R2=5Ω,XL=53Ω,求:(1)电流I,并画出电压和电流相量图;(2)计算电路的有功功率P和功率因数cosφ。解设U=10∠0°V(1)求电流IZ₁=R₁=10ΩZ₂=R₂+jX_L=5+j5√3=5+j8.66=10∠60°ΩI1=U/Z₁=10∠0°/10=

1∠0°AI2=U/Z₂=10∠0°/10∠60°=1∠−60°AI=I1+I2=1∠0°+1∠−60°=1+(0.5−j0.866)=1.5−j0.866=1.732∠−30°A所以：电流I=1.732A相量图：UOUOIII3O3O(2)有功功率P和功率因数cosφcosφ=cos30°=0.866P=UIcosφ=10×1.732×0.866=15W3.25已知某交流电路,电源电压u=10sin(314t)V,电路中的电流i=2sin(314t-60°)A,求电路的功率因数、有功功率、无功功率和视在功率。解U=10/√2=7.07VI=2/√2=1.414Aφ=0°−(−60°)=60°cosφ=cos60°=0.5（滞后）P=UIcosφ=7.07×1.414×0.5=5WQ=UIsinφ=7.07×1.414×0.866=8.66varS=UI=7.07×1.414=10VA3.26已知正弦交流电压有效值为50V,频率为50Hz,加在10Ω电阻、470μF电容和10mH电感组成的串联电路上,求电路的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数。解XL=2πfL=2π×50×10×10⁻³=3.14ΩXC=1/(2πfC)=1/(2π×50×470×10⁻⁶)=6.77ΩZ=R+j(X_L−X_C)=10+j(3.14−6.77)=10−j3.63Ω|Z|=√(10²+3.63²)=10.64Ωφ=arctan(−3.63/10)=−19.95°I=U/|Z|=50/10.64=4.70Acosφ=cos19.95°=0.94S=UI=50×4.70=235VAP=UIcosφ=50×4.70×0.94=220.9WQ=UIsinφ=50×4.70×sin(−19.95°)=−80.1var（容性）3.27已知电路如3-63所示,当接到有效值为50V、频率为50Hz的交流电压上时,求:(1)总复阻抗;(2)总电流;(3)功率因数;(4)电阻上的电压。解：(1)总复阻抗ZRC==10×(−j10)/(10−j10)=5−j5ΩZ=(5−j5)+j10=5+j5=7.07∠45°Ω(2)总电流I=U/|Z|=50/7.07=7.07A(3)功率因数φ=45°cosφ=cos45°=0.707（电流滞后）(4)电阻上的电压UR=I×|ZRC|=7.07×|5−j5|=50V3.28某220V/50Hz正弦交流电路中有一个电动机(感性负载)的有功功率为1kW,功率因数为0.6,如要将功率因数提高到0.9,需要并联多大的电容?解：已知U=220V，f=50Hz，P=1000W，cosφ₁=0.6，cosφ₂=0.9并联前的阻抗角φ₁=arccos0.6=53.13°，tanφ₁=1.333并联后的阻抗角φ₂=arccos0.9=25.84°，tanφ₂=0.484并联前的无功功率Q₁=Ptanφ₁=1000×1.333=1333var并联后的无功功率Q₂=Ptanφ₂=1000×0.484=484var电容上的无功功率QC=Q₁−Q₂=1333−484=849var套电容上的无功功率公式C=QC/(2πfU²)=849/(2π×50×220²)=5.59×10⁻⁵F=55.9μF3.29某RLC串联电路中,已知R=3Ω,L=90μH,C=0.1μF,所加正弦交流电源电压为10V。求:(1)谐振频率;(2)特性阻抗和品质因数;(3)谐振时各元件上的电压;(4)谐振时电路的有功功率。解：(1)谐振频率f₀=1/(2π√(LC))=1/(2π√(90×10⁻⁶×0.1×10⁻⁶))=5.31×10⁴Hz=53.1kHz(2)特性阻抗和品质因数ρ=√(L/C)=√(90×10⁻⁶/0.1×10⁻⁶)=30ΩQ=ρ/R=30/3=10(3)谐振时各元件上的电压I₀=U/R=10/3=3.33AUR=I₀R=3.33×3=10VUL=I₀ω₀L=QU=10×10=100VUC=I₀/(ω₀C)=QU=10×10=100V(4)谐振时电路的有功功率P=I₀²R=3.33²×3=33.3W3.30如图3-64所示,某线圈(等效于电感量和直流电阻串联)与电容并联后接在一个电压为10V的交流电源上,求:(1)发生并联谐振的频率;(2)谐振时各支路电流和总电流。解（理想情况，忽略线圈电阻）：(1)谐振频率f₀=1/(2π√(LC))=1/(2π√(10×10⁻⁶×10×10⁻⁹))=503kHz(2)谐振时各支路电流和总电流理想谐振时，线圈支路阻抗为纯电感Z₁=jω₀L，电容支路阻抗Z₂=−j/(ω₀C)谐振时ω₀L=1/(ω₀C)，两支路电流大小相等、相位相反：I₁=I₂=U/(ω₀L)=U/√(L/C)=10/√(10×10⁻⁶/10×10⁻⁹)=10/√1000=0.316A总电流I=0A（理想谐振时总电流为零）3.31某串联电路如图3-65所示,已知u=2sin(ωt+30°)V,i=20sin(ωt+30°)mA,求:(1)电阻R;(2)电路的频率;(3)电感和电容上的电压解：已知u=2sin(ωt+30°)V，i=20sin(ωt+30°)mA电压与电流同相，电路处于串联谐振状态，φ=0°(1)电阻RU=2/√2=1.414V，I=20×10⁻³/√2=0.01414AR=U/I=1.414/0.01414=100Ω(2)电路的频率f₀=1/(2π√(LC))=1/(2π√(100×10⁻⁶×100×10⁻¹²))=1.59×10⁶Hz=1.59MHzω₀=2πf₀=10⁷rad/s(3)电感和电容上的电压ρ=√(L/C)=√(100×10⁻⁶/100×10⁻¹²)=1000ΩQ=ρ/R=1000/100=10UL=UC=QU=10×1.414=14.14V3.32电路如图3-66所示,已知电源相电压为220V,U、V、W相的负载分别为40W电烙铁、20W白炽灯、100W电炉,负载额定电压均为220V。求各相负载电流及中线电流并画出电流相量图。若中线断裂,将有什么危险?解：已知U_P=220V，三相负载均为纯电阻(1)各相负载电流IU=40/220=0.182AIV=20/220=0.091AIW=100/220=0.455A(2)中线电流IU=0.182∠0°AIV=0.091∠−120°AIW=0.455∠120°AIN=0.182∠0°+0.091∠−120°+0.455∠120°=0.328∠106.1°A(3)相量图UUOIU12OIW12OIVI(4)中线断裂的危险中线断裂后，三相负载不对称，各相电压不再为220V。负载轻的V相电压升高，可能烧毁负载；负载重的W相电压降低，不能正常工作。3.33如图3-66所示,电源是相电压为220V的三相对称电源,若将U、V、W相的负载均以100Ω电阻和10μF电容串联替代,电路的频率为50Hz,求:(1)线电压;(2)各相负载电流;(3)中线电流;(4)总有功功率。解：(1)线电压U_L=√3U_P=√3×220=381V(2)各相负载电流XC=1/(2πfC)=1/(2π×50×10×10⁻⁶)=318.3ΩZ=R−jX_C=100−j318.3=333.6∠−72.56°ΩIP=UP/|Z|=220/333.6=0.659A(3)中线电流三相负载对称，IN=0A(4)总有功功率cosφ=cos72.56°=0.3P=3UPIPcosφ=3×220×0.659×0.3=130.5W3.34某三相电路如图3-67所示,频率为50Hz的电源对称且相电压为30V,求各相负载电流和中线电流并画出电流相量图。解：1.计算阻抗角频率：ω=2π×50=100πrad/sU相(电阻):ZU=10ΩV相(电感10mH):ZV=j(100π×0.01)≈j3.14ΩW相(电容100μF):ZW=-j/(100π×100×10^-6)≈-j31.83Ω2.计算各相电流（以U相为0°参考）IU=30∠0°/10∠0°=3∠0°AIV=30∠-120°/(j3.14)≈9.55∠150°AIW=30∠120°/(-j31.83)≈0.94∠-150°A3.计算中线电流IN=IU+IV+IW=(3+j0)+(-8.27+j4.775)+(-0.814-j0.47)≈-6.084+j4.305A换算为极坐标：IN≈7.45∠144.7°A4.电流向量图OOIUIIVI+13.35某对称三相电路如图3-68所示,已知,电源相电压为220V,对称三角形负载的每相复阻抗均为10∠30°Ω,求每相负载的相电压、有功功率、无功功率和电路的总功率因数。解:1.计算负载相电压由于负载是三角形（Δ）连接，负载的相电压等于电源的线电压。线电压UL=√3×Up=√3×220≈381.05V所以，每相负载的相电压：U相≈381V2.计算每相负载的有功功率和无功功率阻抗Z=10∠30°Ω，说明阻抗角φ=30°。电阻分量R=10×cos30°≈8.66Ω电抗分量X=10×sin30°=5Ω每相负载电流（相电流）I相：I相=U相/Z=381.05/10=38.105A每相负载的有功功率P相：P相=I相²×R=38.105²×8.66≈12.57kW每相负载的无功功率Q相：Q相=I相²×X=38.105²×5≈7.26kvar3.计算电路的总功率因数对称三相电路的总功率因数等于单相负载的功率因数。cosφ=cos30°≈0.8663.36某脉冲电压,最高为5V,最低为0V,当此脉冲接到10Ω电阻上时,其发热情况和接到3V直流电源上相同,求此脉冲的占空比。解：1.计算3V直流电源的发热功率根据功率公式P=U²/R：P_DC=3²/10=9/10=0.9W2.计算脉冲的平均功率设占空比为D（0≤D≤1）。在周期T内，有DT的时间电压为5V，其余时间电压为0V。脉冲的平均发热功率为：P_pulse=(5²/10)×D=25D/10=2.5DW3.根据发热等效求占空比D发热情况相同，即平均功率相等：P_DC=P_pulse0.9=2.5D解得：D=0.9/2.5=0.36答：此脉冲的占空比为0.36（即36%）3.37如图3-69所示,求各非正弦周期电压的有效值。解答：非正弦周期电压的有效值计算公式为：（即一个周期内的均方根值）。1.图(a)：脉冲方波周期T=1s，幅值Um=1V。电压在0~0.6s为1V，在0.6~1s为0V。有效值：=√0.6≈0.775V2.图(b)：锯齿波周期T=1s，峰值为Um=1V。电压表达式：u(t)=t(V)，时间范围0≤t≤1s。3.图(c)：三角波周期T=1s，峰值为Um=1V。电压表达式：上升段u(t)=2t(V)，下降段u(t)=2-2t(V)。有效值：4.图(d)：正弦半波（全波整流波形）周期T=1s，峰值Um=1V，角频率ω=2πrad/s。0.5∼1s

为

0V。电压表达式：u(t)=sin(2πt)。有效值：Ud​=1/2​=0.5

V最终答案总结：(a)U≈0.775V(b)U≈0.577V(c)U≈0.577V(d)U≈0.5V3.38某单口网络的端口电压和电流分别为:u=4+3cos(t+45°)+5cos(2t+30°)+2cos(3t+15°)V,i=3+3cos(t-45°)+2cos(2t+15°)A,u,i为关联参考方向,求单口网络吸收的平均功率。解1.直流分量：P0=U0I0=4×3=12W2.基波分量：P1=0.5×3×3×cos[45∘−(−45∘)]=4.5×cos(90∘)=0W3.二次谐波分量：P2=0.5×5×2×cos(30∘−15∘)=5×cos(15∘)≈4.83W4.三次谐波分量：电流中无此频率分量，P3=0WP总​=P0​+P1​+P2​+P3​=12+0+4.83+0=16.83W3.39如图3-70所示,在正弦交流电路中,已知u1=2202sin(314t)V,u2=2202sin(314t-45°)V,试用相量表示法求电压ua和ub。解已知相量为：

U1=220∠0°V

U2=220∠-45°V(1)求Ua：

Ua=U1+U2

Ua=220∠0°+220∠-45°

Ua=220+220(cos45°-jsin45°)

Ua=220+220(0.707-j0.707)

Ua≈220+155.5-j155.5

Ua≈375.5-j155.5V

转换为极坐标：

Ua≈406.5∠-22.5°V(2)求Ub（图b