2026新教材数学 第二章 一元二次方程 2 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

第二章一元二次方程2一元二次方程的解法第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程方程一：x2＋8x－9＝0.方程二：2x2＋4x－9＝0.问题1：对于方程一，上节课刚学过，该如何求解？用配方法求解，因为它的二次项系数是1，可以给它配上一个合适的数，把它变形成(x＋4)2＝25这种完全平方式等于常数的形式，然后直接开平方求解.问题2：仔细观察方程二，它和方程一最大的不同在哪里？方程二的二次项系数是2，不是1了.导入新课面对这个二次项系数不为1的一元二次方程，上节课的配方秘籍还能直接使用吗？如果强行模仿，给2x2＋4x

这部分配方，那么会发生什么？导入新课环节一：探究新知高效课堂例解方程：3x2＋8x－3＝0.既然二次项系数不为1成了直接配方的障碍，能否运用数学中的转化思想，把这个新问题变成已经可以解决的旧问题呢？第一步怎么做？

为什么？直接配方会遇到困难；可以把二次项系数变成1.高效课堂“障碍”是二次项系数3，那么最直接的想法就是——先消除这个“障碍”.如何将二次项系数化为1呢？在方程的两边同时除以3.也就是说，第一步是两边同时除以3，得x2＋

x－1＝0.这一步之后，方程变成了什么形式？二次项系数为1的一元二次方程.对照方程x2＋8x－9＝0，回忆配方的步骤，第一步做什么？将常数项移到等式的另一边，即移项，得x2＋

x＝1.高效课堂接下来呢？配方!这里所加的常数是如何确定的？两边同时加上一次项系数一半的平方，即配方，得x2＋

x＋

＝1＋

，即＝.现在方程变成了(x＋m)2＝n的形式.接下来怎么做？两边直接开平方求解.高效课堂解：两边都除以3，得x2＋

x－1＝0.配方，得x2＋

x＋

－－1＝0，即

－

＝0.移项，得

＝.两边开平方，得＝±，即＝或＝－.所以x1＝，x2＝－3.高效课堂将这个过程与上节课解二次项系数为1的一元二次方程的步骤进行对比，有什么发现？能否总结出解这类方程的一般步骤？用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)化：方程两边都除以二次项系数，将二次项系数化为1；(2)配：在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，构成完全平方式；(3)移：将常数项移到方程的另一边；(4)开：方程两边同时开平方；高效课堂(5)解：解两个一元一次方程，写出原方程的两个根.其中第一步“化”，就是今天学习的新内容.它的目的就是将二次项系数不为1的一元二次方程，转化为已经掌握的模式(二次项系数为1的一元二次方程)，这体现了数学中无处不在的化归思想.后续的“配、移、开、解”步骤，正是对上节课所学内容的巩固和应用.高效课堂现在请解前面的方程二.两边都除以2，得x2＋2x－

＝0.配方，得x2＋2x＋1－1－

＝0，即(x＋1)2－

＝0.移项，得(x＋1)2＝.两边开平方，得x＋1＝±，即x＋1＝

，或x＋1＝－.所以x1＝－1＋

，x2＝－1－.环节二：实际应用高效课堂配方法不仅是一个精巧的代数工具，更是解决实际问题的有力帮手.现在，走进一个物理中的运动问题，感受数学的广泛应用.一个小球从地面以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h＝15t－5t2.小球何时能达到10m高？题目中给出了高度h与时间t的函数表达式，问题是小球何时能达到10m高，这里的何时指的是什么？高效课堂时间t的值.那么，当小球在空中的高度h为10m时，该如何用数学式子来表达这个问题呢？列出方程15t－5t2＝10.仔细观察这个方程，它和今天学习的方程类型一致吗？它是一个关于t的一元二次方程，且二次项系数为－5，不为1.现在，任务是解这个方程.为了求解，首先需要把这个方程整理成什么形式？高效课堂一般形式，即把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式.那么，将这个方程进行整理.整理，得－5t2＋15t－10＝0或5t2－15t＋10＝0.通常，习惯将二次项系数化为正数，所以选择5t2－15t＋10＝0.现在，这个方程的二次项系数是5，不为1.接下来，运用刚才归纳的步骤来求解.第一步是什么？化，两边都除以二次项系数5，整理，得t2－3t＋2＝0.高效课堂配方，得t2－3t＋

＝－2＋

，即

＝.两边开平方，得t－

＝±，即t－

＝

，或t－

＝－.所以t1＝2，t2＝1.现在，请大家思考，这两个解在物理问题中分别表示什么意义？高效课堂结合小球竖直上抛的运动过程来理解.小球从地面h＝0出发，先上升再下降.它在上升过程中会经过10m的高度，对应一个时间点1s；到达最高点后下落，再次经过10m的高度，对应另一个时间点2s.所以，这里的两个解都是符合题意的.总结：在1s时，小球上升达到10