数学二模拟试卷（2015考研全国统考·含答案详解）

数学二模拟试卷（2015考研全国统考·含答案详解）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置上。）1.函数f(x)=arcsin(x^2-x)在区间[-1,1]上的可导区间为（）A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,1)C.[0,1]D.(-1,0)∪(1,∞)解析：函数f(x)=arcsin(x^2-x)的定义域需满足-1≤x^2-x≤1。解不等式得x∈[0,1]。在x=0和x=1处，f(x)的导数存在性需单独验证。f'(x)=(2x-1)/(√(1-(x^2-x)^2))，当x=0时导数存在，当x=1时导数不存在。故可导区间为[0,1)。2.设函数f(x)在x=0处二阶可导，且满足f(0)=0,f'(0)=1,f''(0)=3，则极限lim(x→0)(xf''(x)+xf'(x)+f(x)-x^2)的值为（）A.1B.2C.3D.4解析：由泰勒公式f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2x^2+o(x^2)，代入得f(x)=x+3/2x^2+o(x^2)。则原式=lim(x→0)(x3+x+x+3/2x^2+o(x^2)-x^2)=lim(x→0)(3x+x+3/2x^2-x^2+o(x^2))=4。3.已知函数y=ln(1+x)与y=x的图形在点(0,0)处的法线重合，则函数y=ln(1+x)在x=0处的曲率为（）A.1B.1/2C.1/3D.2解析：两函数在x=0处的切线均为y=x，故法线斜率为-1。y=ln(1+x)的导数y'=1/(1+x)，二阶导数y''=-1/(1+x)^2。在x=0处，曲率k=|y''|/(1+(y')^3)=|(-1)|/(1+(1)^3)=1/2。4.计算不定积分∫(xarctan(x^2))/sqrt(1+x^4)dx的值为（）A.(1/4)ln(1+x^4)+CB.(1/2)arctan(x^2)+CC.(1/2)sqrt(1+x^4)arctan(x^2)+CD.(1/4)arctan(x^2)+C解析：令t=x^2，则dt=2xdx。原式=1/2∫(arctan(t))/sqrt(1+t^2)dt。再令u=1+t^2，则du=2tdt。继续积分得1/4∫(arctan(sqrt(u-1)))/sqrt(u)du。通过分部积分法可得最终结果为(1/2)sqrt(1+x^4)arctan(x^2)+C。5.级数∑(n=1to∞)(narctan(n))/n^2的敛散性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判断解析：考察一般项lim(n→∞)(narctan(n))/n^2=lim(n→∞)arctan(n)/n=0。由于arctan(n)增长速度慢于n，故原级数绝对收敛。6.设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0。若∫(0to1)f(x)dx=1，则存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=-2的充分必要条件为（）A.f(ξ)=1B.f(ξ)=-1C.f(ξ)=2D.f(ξ)=0解析：根据积分中值定理，存在ξ∈(0,1)使得f(ξ)=∫(0to1)f(x)dx=1。对f(x)构造辅助函数F(x)=f(x)+2x。则F(0)=F(1)=0，由罗尔定理得存在ξ∈(0,1)使得F'(ξ)=f'(ξ)+2=0，即f'(ξ)=-2。充分必要条件为f(ξ)=1。7.已知函数y=x^3-ax^2+bx在x=1处取得极值，且曲线在点(1,0)处的曲率半径为3，则a和b的值分别为（）A.a=3,b=2B.a=3,b=-2C.a=-3,b=2D.a=-3,b=-2解析：由y(1)=0得1-a+b=0，即a-b=1。y'(1)=0得3-2a=0，即a=3/2。联立解得a=3,b=2。曲率半径R=|(1+(y')^2)^(3/2)|/|y''|。y''=6x-2a，在x=1处y''=4。代入R=3得|(1+(3/2)^2)^(3/2)|/4=3，验证成立。8.微分方程y''-4y=0的通解为（）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1sin(2x)+C2cos(2x)C.y=C1e^x+C2e^-3xD.y=C1e^2x+C2xe^-2x解析：特征方程r^2-4=0的根为r1=2,r2=-2。故通解为y=C1e^2x+C2e^-2x。9.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(0)=0,f(1)=1。若对任意x1,x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|^2，则f(1/2)的值为（）A.1/4B.1/2C.1/3D.1/8解析：令x1=0,x2=1/2，则|f(1/2)|≤(1/2)^2=1/4。令x1=1/2,x2=1，则|f(1/2)-1|≤(1/2)^2=1/4。两式联立得1/4≤f(1/2)≤3/4。结合f(0)=0,f(1)=1，唯一满足的值为f(1/2)=1/2。10.级数∑(n=1to∞)(cos(nπ)/n)^n的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断解析：由于cos(nπ)/n为有界数列且绝对值小于1，故原级数绝对收敛。二、