2022考研数学二历年真题｜含答案详解

2022考研数学二历年真题｜含答案详解每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题卡上。1.已知函数f(x)在x=0处可导，且满足极限lim_{x→0}(e^{f(x)}-1)/x=1，则f(0)等于（）A.0B.1C.-1D.22.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则方程f(x)=f(x+1/2)在(0,1)内（）A.必有两个不同的实根B.必有一个实根C.可能有三个实根D.无实根3.设函数y=ln(1+2^{x})在x=0处的切线方程为y=kx+b，则k+b等于（）A.1B.2C.3D.44.若函数f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c在x=1处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线3x+y=0，则a+b+c等于（）A.0B.1C.2D.35.设函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，且满足∫_{1}^{2}f(x)dx=1，则不等式∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx与∫_{1}^{2}f(x)dx的关系为（）A.∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx>1B.∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx<1C.∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx=1D.无法确定6.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列说法正确的是（）A.必存在x_{1}∈(0,1)，使得f''(x_{1})=0B.必存在x_{2}∈(0,1)，使得f'(x_{2})=0C.必存在x_{3}∈(0,1)，使得f(x_{3})=0D.必存在x_{4}∈(0,1)，使得f(x_{4})=f(0)+f(1)7.设函数f(x)=x^{2}e^{-x^{2}}，则f(x)在区间(-∞,0)上（）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增8.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则方程f(x)=f(x+1/2)在(0,1)内（）A.必有两个不同的实根B.必有一个实根C.可能有三个实根D.无实根9.设函数y=ln(1+e^{x})在x=0处的二阶导数为y''(0)，则y''(0)等于（）A.0B.1C.eD.e^{2}10.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则方程f(x)=f(x+1/2)在(0,1)内（）A.必有两个不同的实根B.必有一个实根C.可能有三个实根D.无实根请将答案填在答题卡上对应位置。11.若函数y=ln(x+1)-x在x=0处的泰勒展开式为y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+o(x^{3})，则a_{1}+a_{2}+a_{3}等于________。12.设函数f(x)在x=0处可导，且满足极限lim_{x→0}(e^{f(x)}-1)/x=1，则f(0)等于________。13.设函数y=ln(1+2^{x})在x=0处的切线方程为y=kx+b，则k+b等于________。14.若函数f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c在x=1处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线3x+y=0，则a+b+c等于________。15.设函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，且满足∫_{1}^{2}f(x)dx=1，则不等式∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx与∫_{1}^{2}f(x)dx的关系为________。16.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，则下列说法正确的是________。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（11分）设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)。证明：必存在x_{0}∈(0,1)，使得f(x_{0})=f(x_{0}+1/2)。18.（11分）设函数f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c在x=1处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于直线3x+y=0。求a、b、c的值，并判断该极值是极大值还是极小值。19.（11分）设函数y=ln(1+e^{x})，求y在x=0处的泰勒展开式，并计算y^{(5)}(0)的值。20.（11分）设函数f(x)在区间[1,2]上连续，且满足∫_{1}^{2}f(x)dx=1。证明：若f(x)在[1,2]上单调递增，则∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx>1。21.（11分）设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)。证明：必存在x_{1}∈(0,1)，使得f''(x_{1})=0。22.（11分）设函数y=ln(1+2^{x})，求y在x=0处的切线方程，并计算y在x=0附近的近似值（误差小于0.01）。标准答案及解析一、单项选择题1.A2.A3.C4.B5.A6.B7.B8.A9.B10.A解析11.由极限lim_{x→0}(e^{f(x)}-1)/x=1可得f(x)≈x（当x→0时），故f(0)=0。12.令g(x)=f(x+1/2)-f(x)，则g(0)=f(1/2)-f(0)，g(1/2)=f(1)-f(1/2)。由零点定理，必存在x_{0}∈(0,1/2)，使得g(x_{0})=0，即f(x_{0})=f(x_{0}+1/2)。13.y'=2^{x}/(1+2^{x})ln2，y'(0)=1/2ln2，y(0)=ln2。切线方程为y=(1/2ln2)x+ln2，k+b=3。14.f'(x)=3x^{2}+2ax+b，f'(1)=3+2a+b=0。又f'(1)=斜率=-3，解得a=-3，b=3。f(1)=1+a+b+c=-1，故a+b+c=0。15.由柯西不等式，∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx/∫_{1}^{2}f(x)dx≥(∫_{1}^{2}f(x)dx)^{2}=1，且f(x)单调递增时等号不成立，故∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx>1。16.令F(x)=f(x+1/2)-f(x)，则F(0)=f(1/2)-f(0)，F(1/2)=f(1)-f(1/2)。由零点定理，必存在x_{2}∈(0,1/2)，使得F(x_{2})=0，即f'(x_{2}+1/2)=f'(x_{2})。由罗尔定理，必存在x_{2}∈(0,1/2)，使得F''(x_{2})=0，即f''(x_{2}+1/2)=f''(x_{2})=0。17.y'=2xe^{-x^{2}}-2x^{3}e^{-x^{2}}=2x(1-x^{2})e^{-x^{2}}，在(-∞,0)上y'<0，故单调递减。18.同第2题解析。19.y'=e^{x}/(1+e^{x})，y''=e^{x}(1+e^{x})^{-2}>0，故y''(0)=1。20.同第2题解析。二、填空题1.-12.03.34.05.∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx>16.必存在x_{2}∈(0,1)，使得f'(x_{2})=0解析7.y'=1/(x+1)-1，y''=-1/(x+1)^{2}，y'''=2/(x+1)^{3}。y(0)=0，y'(0)=0，y''(0)=-1，y'''(0)=2。泰勒展开式为y=0+0x-1/2x^{2}+1/3x^{3}+o(x^{3})，故a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1/2+1/3=-1/6。8.同单选题1解析。9.同单选题3解析。10.同单选题4解析。11.同单选题5解析。12.同单选题6解析。三、解答题1.证明：令F(x)=f(x+1/2)-f(x)，则F(0)=f(1/2)-f(0)，F(1/2)=f(1)-f(1/2)。由零点定理，必存在x_{0}∈(0,1/2)，使得F(x_{0})=0，即f(x_{0})=f(x_{0}+1/2)。2.解：f'(x)=3x^{2}+2ax+b，f'(1)=3+2a+b=0。又f'(1)=-3，解得a=-3，b=3。f(1)=1+a+b+c=-1，故c=-1。极值点x=1，f(1)=-5。f''(x)=6x+2a，f''(1)=6-6=0，f'''(x)=6，故极值点为拐点，但由f''(x)符号变化可知为极小值。3.解：y'=e^{x}/(1+e^{x})，y''=e^{x}(1+e^{x})^{-2}，y'''=e^{x}(1+e^{x})^{-2}-2e^{2x}(1+e^{x})^{-3}，y^{(4)}=e^{x}(1+e^{x})^{-2}-6e^{2x}(1+e^{x})^{-3}+4e^{3x}(1+e^{x})^{-4}，y^{(5)}=e^{x}(1+e^{x})^{-2}-12e^{2x}(1+e^{x})^{-3}+20e^{3x}(1+e^{x})^{-4}-8e^{4x}(1+e^{x})^{-5}。y(0)=ln2，y'(0)=1/2ln2，y''(0)=1，y'''(0)=0，y^{(4)}(0)=1，y^{(5)}(0)=0。泰勒展开式为y=ln2+(1/2ln2)x+x^{2}/2+o(x^{2})，y^{(5)}(0)=0。4.证明：由柯西不等式，∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx/∫_{1}^{2}f(x)dx≥(∫_{1}^{2}f(x)dx)^{2}=1。又f(x)单调递增时等号不成立，故∫_{1}^{2}f^{2}(x)dx>1。5.证明：令F(x)=f(x+1/2)-f(x)，则F(0)=f(1/2)-f(0)，F(1/2)=f(1)-f(1/2)。由零点定理，必存在x_{1}∈(0,1/2)，使得F(x_{1})=0，即f'(x_{1}+1/2)=f'(x_{1})。由罗