湖南省衡阳市四校 2026-2027学年九年级上学期开学考试数学试题（含解析）

2026年下学期入学测试九年级数学学科测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列各式中是分式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．根据分式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是分式，故A符合题意；B、是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意；C、分母不含字母，不是分式，故C不符合题意；D、分母不含有字母，不是分式，故D不符合题意，故选：A．2.“春风不来，三月的柳絮不飞”，据测定，柳絮纤维的直径约是0.00000105米，将数据0.00000105用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：0.00000105=，故选：C．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.如图，已知，，与相交于点O，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分求解即可．【详解】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵与相交于点O，∴，，故选项B正确，符合题意．4.下列图象中，不是的函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：A、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意；B、对于任意的一个x，y有两个值与其对应，故不是的函数，故选项符合题意；C、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意；D、对于任意的一个x，y都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，故选项不符合题意．5.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：甲乙丙丁98991.20.41.80.4根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根据10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；再由10次射击成绩的方差可知，也就是丁的射击成绩比较稳定，从而得到答案．【详解】解：，由四人的10次射击成绩的平均数可知淘汰乙；，由四人的10次射击成绩的方差可知丁的射击成绩比较稳定；故选：D．本题考查通过统计数据做决策，熟记平均数与方差的定义与作用是解决问题的关键．6.一次函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】解：∵，，∴一次函数的图象大致是．7.如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】解：A.∵，，∴四边形是平行四边形.∵，∴四边形是菱形，故不符合题意；B.只能判断出四边形是菱形，故不符合题意；C.∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，故符合题意；D.不能判定四边形是正方形，故不符合题意.8.如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可．【详解】解：将代入得，解得，∴点P的横坐标为，由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方，∴关于的不等式的解集是．9.如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】A【解析】【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可．【详解】解：四边形是矩形，，是矩形的对角线的中点，，是边的中点，是矩形的对角线的中点，，，，，，．10.如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点E、F，连结交于点，连结、．若，，下列四个结论中正确的是（）①为等边三角形；②；③四边形是菱形；④．A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】先根据矩形得到，，再结合得到是等边三角形，，即可证明，得到，，再证明在的垂直平分线上，得到，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；根据直角三角形的性质得到，，即可得到，故②正确；先得到，再根据，得到即可求出面积比．【详解】解：四边形是矩形，为中点，，，∴，，是等边三角形，，，，∵，∴，，，在和中，，，，，，，，∵，，，∴，∵，∴垂直平分，∵矩形中三点共线，∴在的垂直平分线上，，结合，可得是等边三角形，故①正确；由①可得也是等边三角形，，∴由四边相等的四边形是菱形可得四边形是菱形，故③正确；是等边三角形，，∵，，∴垂直平分，即，∵∴，在中，，，，，即，故②正确；∵，，∴，，∵，，∴，，，∵，∴∴，故④正确综上，正确的结论是①②③④．二、填空题（每小题3分，共18分）11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】解：∵有意义，∴分母不为，即，解得．12.已知点，都在直线上，则，的大小关系是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出．【详解】解：，随x的增大而增大，又点，都在直线上，且，．故答案为：．13.如图，在平行四边形中，，以点的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了角平分线的作法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由作法可知，平分，再结合平行四边形的性质，可得，进而得出，即可求解．【详解】解：由作法可知，平分，，在平行四边形中，，，，，，，故答案为：．14.若方程有增根，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式方程的增根问题，先解分式方程得出，再由原分式方程有增根得出，从而得出，计算即可得解．【详解】解：去分母得：，解得：，∵方程有增根，∴，即，∴，解得：，故答案为：．15.某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，掌握方差及平均数的计算公式是解题的关键．根据方差及平均数计算公式进行计算即可．【详解】解：．故答案为：．16.在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，依次作正方形，正方形，正方形，……使得点，，，……在直线上，，，，……在x轴正半轴上，则点的纵坐标为_________．【答案】【解析】【分析】先由直线求出坐标，进而确定第一个正方形的边长及坐标；再利用在直线上且横坐标与相同，得到正方形边长的递推关系，从而发现纵坐标构成等比数列．【详解】解：对于直线，令，得，，正方形的边长为，，．在直线上，且横坐标与相同为，，正方形的边长为，，．同理，的横坐标与相同为，，正方形的边长为，，．依此类推，各正方形边长依次为，，，，，且的纵坐标等于第个正方形的边长，点的纵坐标为，点的纵坐标为．三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19、20题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分，共72分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算即可求解．【详解】解：．18.解方程：．【答案】无解【解析】【分析】本题考查了解分式方程，依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解，最后检验即可．【详解】解：去分母得，，去括号得，移项、合并同类项得，当时，，∴是原方程的增根，原方程无解．19.先化简，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的1写成分母是的分式，再把除式中的分子分解因式，把除法化成乘法进行约分，再选择能让分式有意义的数代入进行计算即可．【详解】解：原式，当和3时，分式无意义，只能为1，当时，原式．20.如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明：，和都是直角三角形，在和中，，，，点B、C、F、E在一条直线上，，，在和中，，≌，，又，四边形是平行四边形．【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质；先依据“”判定和全等，得，由此得，进而依据“”判定和全等，得，再根据即可得出结论．【详解】略21.交通安全教育是保障人们生命安全的重要措施．为了增强学生交通安全意识，某校举行了“安全文明出行，共创和谐交通”知识测试活动，现从该校七、八年级的测试成绩中各随机抽取了名学生成绩（满分分，得分均为整数），并将所抽取的成绩进行整理、分析，制成统计图表，部分信息如下：将八年级被抽取的名学生的测试成绩，分为五组：A．，B．，C．，D．，E．，其中D组的数据为：，，，，，，，，．

七、八两个年级被抽取的学生测试成绩数据统计表如下：班级七年级八年级平均数中位数b众数a7方差根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出图表中，，的值：______，______，______；（2）若该校八年级总人数为人，且都参加了此次交通安全知识测试，估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有多少人？【答案】（1）8，7，30（2）估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有人【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图数据计算即可；（2）用样本估算整体，根据题意可知就是E组的成绩，根据E组的占比计算即可．【小问1详解】解：由统计图可得，七年级中成绩是8分的人数最多，为5人，∴众数是8，即；由扇形统计图可知，八年级A组占比5%，A组人数为（人），B组占比5%，B组人数为（人），∵C组人数为3人，∴C组的占比为，∵D组人数为9人，∴D组的占比为，∴八年级成绩的中位数是第十位学生和第十一位学生成绩的平均值是7，即；由扇形统计图可知，∴；【小问2详解】解：根据题意可知，的成绩就是E组的成绩，由（1）可知，E组的占比是，（人），答：估计此次测试中八年级成绩优秀（）的学生大约有240人．22.某市有甲、乙两个垃圾处理厂，甲厂处理50吨垃圾所用的时间与乙厂处理40吨垃圾所用的时间相同，甲厂每小时比乙厂每小时多处理垃圾2吨．（1）求甲、乙两个垃圾处理厂每小时各处理垃圾多少吨？（2）某天该市有180吨垃圾，甲处理厂工作1小时所需费用1000元，乙处理厂工作1小时所需费用720元，甲厂处理的垃圾吨数不少于乙厂处理垃圾吨数的2倍，要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作多少小时？最少费用是多少元?【答案】（1）甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾10吨，乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾8吨；（2）要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作12小时，最少费用为17400元【解析】【分析】（1）设甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，则乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；（2）设甲处理厂工作小时，则甲处理垃圾吨，乙处理垃圾吨，根据题意，列出一元一次不等式求得的范围，设所需费用为，根据题意列出一次函数，根据一次函数的性质求得最小值即可求解．【小问1详解】解：设甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，则乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾吨，根据题意得，，解得，经检验，是原方程的解，吨，答：甲垃圾处理厂每小时各处理垃圾10吨，乙垃圾处理厂每小时各处理垃圾8吨；【小问2详解】设甲处理厂工作小时，则甲处理垃圾吨，乙处理垃圾吨，根据题意，，解得，设所需费用为，则，，随的增大而增大，当时，取得最小值，最小值为（元），答：要处理完这批垃圾又要使所需费用最少，则甲处理厂工作12小时，最少费用为17400元．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式，一次函数关系式是解题的关键．23.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点是的中点，以为边，在轴上方作正方形，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，设点运动时间为秒，的面积为，回答下列问题：（1）点的坐标为__________；当点在线段上时，的长度为__________（用含的代数式表示）（2）当时，的面积为__________；（3）①求点在上运动时，的面积和运动时间之间数量关系；（用含的代数式表示）②当的面积为时，直接写出的值为__________．【答案】（1）；（2）（3）①；②【解析】【分析】（1）根据线段的中点得到，然后根据正方形的性质得到点的坐标，根据点的运动求出线段的长；（2）根据的值可知，点在线段上，然后利用计算解题；（3）①当点运动到线段上时，，计算即可；②当的面积为时，分三种情况讨论：点在线段上，在线段上，在线段上，分别求出的面积和运动时间之间的数量关系，再把分别代入求出的值并判断是否符合题意．【小问1详解】解：点A的坐标为，点是的中点，点的坐标为，∴．四边形是正方形，且点在第一象限，∴，，点的坐标为．∵，，∴，∵点P以每秒个单位长度的速度运动，∴点在线段上时，，∴．【小问2详解】解：，点的速度为每秒个单位长度，点从点运动到点用时秒，当时，点已经经过点，进入到线段上，．【小问3详解】①当点运动到线段上时，，点在上的移动距离为，点的横坐标为，即，；②当的面积为时，分三种情况讨论：情况：当点在线段上时，，点的横坐标，，令，即，解得，不符合题意，舍去；情况：当点在线段上时，，点的横