第3章 勾股定理 单元测试（含答案）2026-2027学年苏科版数学八年级上册

苏科版（2024）八年级上册第3章勾股定理单元测试一、选择题1.如图铁路上A，B两点相距40

km，C，D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA=24

km，CB=16

km，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C，D两村到该候车点的距离相等.则候车点E应距A点()A.12

km

B.16

kmC.20

km

D.24

km2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d且c<a<d<b.若a＝2，b＋c＝12，则下列判断错误的是()A.四边形ABCD的面积是24B.d＝10C.连接BD，则BD＝12D.AD<BC3.已知的三边长满足，则的形状为（

）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.不能确定4.下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A.a＝1，b＝2，c＝2B.a＝2，b＝3，c＝5C.a＝2，b＝4，c＝5D.a＝3，b＝4，c＝55.一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）A.B.C.D.6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边是a、b、c，哪个条件不能判断△ABC是直角三角形（）A.∠A+∠B＝∠CC.∠A：∠B：∠C＝3：4：5B.∠A：∠B：∠C＝1：2：3D.b2+a2＝c27.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A.3，4，5B.1，1，2C.6，8，10D.5，12，138.如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要()A.3米

B.4米

C.5米

D.41米9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别为9、25、4、9，则最大正方形的面积是（

）

A.13B.26C.34D.4710.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（

）

A.B.C.D.11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若AC＝5，BC＝12，则△ACD的周长为（）A.13B.17C.18D.3012.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（

）

①

②③

④A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.如图，数轴上点C所表示的数是．14.如图，，P为直线上一动点，连接，若，则线段的最小值为

．15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC=.

16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AC＝5，那么CD长为．17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：，∵．∴2543是“勾股和数”（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是

．（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是

三、解答题18.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图1，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.[证明定理]如图2，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程.19.某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE.一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm.(图中所有点均在同一平面内)(1)求梯子AB的长；(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长.20.[新考向

]

某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由．21.某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在某次数学活动中小明搬来一架梯子（米）靠在宣传牌（）处，底端落在地板处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（）的处，而底端向外移动了1米到处（米）．已知，点，分别在线段，上，测量得米．求宣传牌（）的高度．22.以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（5，12，13），（7，24，25）等．(1)根据上述三组勾股数的规律，写出第四组勾股数组；(2)用含n（n为正整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．

苏科版（2024）八年级上册第3章勾股定理单元测试（参考答案）一、选择题1.如图铁路上A，B两点相距40

km，C，D为铁路两边的两个村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA=24

km，CB=16

km，现在要在铁路旁修建一个候车点E，使得C，D两村到该候车点的距离相等.则候车点E应距A点()A.12

km

B.16

kmC.20

km

D.24

km【答案】B【解析】设AE=x

km，则BE=(40-x)km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到候车点的距离相等，∴AD2+AE2=DE2，BE2+BC2=CE2，∴AD2+AE2=BE2+BC2，∴242+x2=(40-x)2+162解得x=16，则候车点E应距A点16

km.2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d且c<a<d<b.若a＝2，b＋c＝12，则下列判断错误的是()A.四边形ABCD的面积是24B.d＝10C.连接BD，则BD＝12D.AD<BC【答案】A【解析】由已知可得a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2，∵d<b，∴AD2<BC2，∴AD<BC，∴选项D不符合题意；如图，连接BD，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴AB2＋AD2＝BD2＝BC2＋CD2，∴a＋d＝b＋c，BD＝BC∵a＝2，b＋c＝12，∴d＝b＋c－a＝12－2＝10，BD＝12，∴选项B，C不符合题意；∵(b-∴b－2bc＋c>0，∴2bc<b＋c＝12，∴bc<6，∴四边形ABCD的面积S＝12ad+12bc=12∴选项A符合题意.3.已知的三边长满足，则的形状为（

）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】B【解析】解：∵，∴，，，∴，，，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，故选：．4.下列各组线段，能组成直角三角形的是（）A.a＝1，b＝2，c＝2B.a＝2，b＝3，c＝5C.a＝2，b＝4，c＝5D.a＝3，b＝4，c＝5【答案】D【解析】A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；故选：D．5.一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如图，把圆柱的侧面展开，则，根据两点之间，线段最短，可知，蚂蚁所走过的最短路径即为线段的长，∵圆柱的底面半径为，∴，在中，由勾股定理得，则，故选：B．6.在△ABC中，∠A、∠B、∠C对边是a、b、c，哪个条件不能判断△ABC是直角三角形（）A.∠A+∠B＝∠CB.∠A：∠B：∠C＝1：2：3C.∠A：∠B：∠C＝3：4：5D.b2+a2＝c2【答案】C【解析】A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合题意；B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°90°，∴△ABC是直角三角形，故B不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°75°，∴△ABC不是直角三角形，故C符合题意；D、∵b2+a2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合题意；故选：C．7.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）A.3，4，5B.1，1，2C.6，8，10D.5，12，13【答案】B【解析】A．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．1+1＝2，不符合三角形的三边关系定理，不能推出是直角三角形，故本选项符合题意；C．∵62+82＝36+64＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：B．8.如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米.将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要()A.3米

B.4米

C.5米

D.41米【答案】D【解析】如图，长方形AA'BB'是圆柱的侧面展开图，连接AB，此时所需彩带最短长度为AB，∵∠AA'B＝90°，由题意得AA'＝4米，A'B＝5米，由勾股定理得AA'2＋A'B2＝AB2，即AB2＝42＋52＝41，∴AB＝41(负值已舍去).即彩带最短需要41米.9.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别为9、25、4、9，则最大正方形的面积是（

）

A.13B.26C.34D.47【答案】D【解析】如图，标注正方形F和正方形G，

由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积即同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积即∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积即正方形E的面积为故选：D．10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（

）

A.B.C.D.【答案】C【解析】∵四边形是“垂美”四边形，即，∴在中，，在中，，∴，在中，，在中，，∴，∴，故选：．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E．若AC＝5，BC＝12，则△ACD的周长为（）A.13B.17C.18D.30【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴，∴，∵BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝18，故选：C．12.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（

）

①

②③

④A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，即，∴，故结论①正确；∵，∴，∴，故结论②正确；∵，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故结论③正确；∵在中，，在中，，∴，∵，，∴，故结论④正确．综上，正确的结论有4个．故选：D二、填空题13.如图，数轴上点C所表示的数是．【答案】【解析】由题意可得：OA⊥AB，OA＝3，AB＝2，OC＝OB，由勾股定理可得：．故答案为：．14.如图，，P为直线上一动点，连接，若，则线段的最小值为

．【答案】【解析】∵，∴，∴为直角三角形，∵P为直线上一动点，∴当时，最小，∴，∴，∴；故答案为：．15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C在小正方形的格点上，连接AB，BC，则∠ABC=.

【答案】45°【解析】如图，连接AC，由勾股定理得AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，∴AB=AC，AB2+AC2=BC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°.16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝3，AC＝5，那么CD长为．【答案】【解析】∵AB＝3，AC＝5，∠ABC＝90°，∴，∴，∵BD⊥AC，∴，∴，∴，故答案为：．17.若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．如：，∵．∴2543是“勾股和数”（1）判断2022，2023，2024是“勾股和数”的是

．（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，若，，当为整数时，M是

【答案】（1）2024；（2）8109或4536或4563【解析】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“勾股和数”．（1）根据“勾股和数”的定义进行验证即可；（2）由“勾股和数”的定义可得，根据均是整数可得为3的倍数，据此得出符合条件的c，d的值，然后即可确定出M．（1）解：2022不是“勾股和数”，5055是“勾股和数”；理由：∵，，∴2022不是“勾股和数”；∵，，∴2023不是“勾股和数”；∵，，∴2024是“勾股和数”；（2）∵为“勾股和数”，∴，∴，∵，∵为整数，∴为3的倍数，∴①，，此时；②，或，，此时或4563，综上，M的值为8109或4536或4563．故答案为：2022，8109或4536或4563．三、解答题18.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图1，验证著名的勾股定理.这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.[证明定理]如图2，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程.【答案】解如图，△ABF△DBC，∴∠ABF=∠DBC，∴∠CBF=∠DBC+∠DBF=∠ABF+∠DBF=90°，∴S△BCF=12BC·BF=12c∵S△CEF=12CE·EF=12(a+b)(a-b)S△ABF=12AB·AF=12S梯形ABCE=12(AB+CE)·BD=12(a+a+b)a=a2∵S△BCF=S梯形ABCE-S△ABF-S△CEF，∴12c2=a2+12ab-12ab∴12c2=12a2+12∴a2+b2=c2.19.某教学楼走廊左右两侧是竖直的墙MD和NE.一架梯子AB在走廊DE上斜靠在左墙MD时，梯子底端B到左墙的距离BD＝7dm，顶端A到地面的距离AD＝24dm.(图中所有点均在同一平面内)(1)求梯子AB的长；(2)如果保持底端位置B不动，将梯子斜靠在右墙NE上时，若梯子顶端C距离地面的距离CE＝20dm，求该教学楼走廊的宽度DE的长.【答案】解(1)∵MD⊥DE，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，AD＝24dm，BD＝7dm，∴AB＝AD2+BD∴梯子AB的长为25dm.(2)在Rt△CEB中，CE＝20dm，BC＝AB＝25dm，∴BE＝