广东省2027届湛江高三金太阳9月联考数学试题+答案

高三数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.复数z=|3-4i+3—4i的实部为

A.1B.5C.8D.10

2.若椭圆C的焦点在y轴上，则C的方程可以为

ABn

寸

3.若A,0,P是三个互不重合的点，且OP²=OP·OA,则

A.OP⊥APB.OA⊥AP

C.OA_OPD.|OA|=|OP|

4.某工厂抽检了200个零件，并统计了这200个零件的质量(单位：g)的数据，得到如下表格：

质量/g498499500501502503

频数485616205030

由表可知这200个零件的质量的第60百分位数为

A.500gB.500.5gC.501gD.501.5g

5.若一个三位数的十位数既大于个位数又大于百位数，则称这个三位数为伞数，其中十位数称

为伞轴数.在用数字1,2,3,6.7.8组成的伞数中，伞轴数为7的伞数的总个数为

A.12B.16C.18D.24

6.设集合A={(x,y)|y²=x³,B={(x,y)|y=ax},若A∩B的子集的个数为4,则a的取

值范围是

A.(0,十∞)B.(一∞,0)U(1,十∞)

C.(1,+∞)D.(一○,0)U(0,十∞)

【高三数学第1页(共4页)】

7.在同一平面直角坐标系内，函数f(x)=logux+b(a>0,且a≠1),g(x)=bx+a-1的图象

可能是

ABCD

8.已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的8个顶点均在球O的球面上，AB=4,BC=2,二面角

,过线段AB的中点E作球O的截面，则该截面面积的最小值为

A.2πB.4πC.6πD.8π

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆(:x²+y²=2与圆C:(x—4)²+(y+3)²=r²(r>0)有公共点，则

A.r的最小值为5—√2B.r的最大值为5+√2

C.r的最小值为5—√2D.r的最大值为5+2√2

10.若一个非等腰三角形的三条边的长度为lgm,lg(10m),lgm²,则

A.该三角形可能是锐角三角形

B.该三角形不可能是钝角三角形

C.当m=100时，该三角形最小内角的余弦值为

D.存在唯一的m,使得该二角形的三边的长度可以构成等比数列

11.将容量为N的总体分为两层，第一、二层的容量分别为N₁,N₂,现从这个总体中抽取容量

为n的样本，设第一、二层抽取的样本量分别为n;·n2,n≥2,n₂≥2,且.记简

单随机抽样下，总体中两个特定不同个体都被抽中的概率为Po;记按比例分层随机抽样下，

同属第一层、同属第二层、分属两层的两个特定不同个体都被抽中的概率分别为P₁,P₂,

P₃.下列结论正确的是

A.(N₁-1)(P₈-P₁)=(N-1)(P₃-P。)

B.(N₁-1)(P₃-P₁)=(N₂-1)(P₃-P₂)

C.N(P₃-P₁)+N₂(P₃-P₂)<2N(P₃-P₀)

D.N₁(P₃—P₁)+N₂(Pa-P₂)>2(N-1)(P₃-P。)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线y=6x+1-Inx在点(1,7)处的切线方程为▲

13.若双曲线C:x²—my²=m的离心率,P为C的左支上一点，F₁,F²分别为C的左、右

焦点，且PF₁|+|PF₂|=2m,则|PF₂|=_▲

【高三数学第2页(共4页)】

14.定义符号函数则函数f(x)=sgn(sinxcosx)sin2x+sgn(sinx)·

cos2x的最小正周期为▲,值域为▲_·

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

甲、乙参加激光射击体验项目，已知甲、乙每次射击命中目标的概率分别为,且每人每

次射击命中目标与否相互独立.

(1)若甲、乙各射击1次，求这2人中恰有1人命中目标的概率；

(2)若甲射击2次，乙射击1次，记甲、乙2人中至少命中目标1次的人数为X,求X的数学

期望.

16.(15分)

如图，三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积为,AA₁⊥底面ABC,△ABC为正三角形，AB=

4,A₁B₁=2,且D为B₁C₁的中点.

(1)求AA₁.

(2)证明：BC1AD.

(3)求直线AD与平面BCC₁B₁所成角的余弦值.

17.(15分)

已知抛物线C₁:x²=2py(p>0),C₂:y²=2px的焦点分别为F₁,F₂,且|F₁F₂|=√2.

(1)求直线F₁F²的方程；

(2)若直线F₁F₂与C₁从左到右分别交于A,B两点，与C2从左到右分别交于C,D两点，

求|AD|+|BC|.

【高三数学第3页(共4页)】

18.(17分)

如图，在矩形A₁B₁C₁D₁中，O为A₁B₁边上的中点，A₁B₁=2A₁D₁=2,点A₁,B₁均在半

圆A₂OB₂的直径A₂B₂上，C₁,D₁均在半圆A₂OB₂的弧A₂B₂上，作矩形A₂B₂C₂D₂,直

线C₂D₂与半圆A₂OB₂相切，点A₂,B₂均在半圆A₃OB₃的直径A₃B₃上，C₂,D₂均在半

圆A₃OB₃的弧A₃B₃上，作矩形A₃B₃C₃D₃,如此无限继续下去，记矩形A„B,C,D。的面

积为a(n∈N+).

(1)求a2;

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)若b,=tan(log₂an),求数列{b„bn+1}的前n项和.

19.(17分)

已知函数f(x)=2ax³—3ax²—6eˣ(x-2).

(1)当a=0时，证明：f(x)≤6e.

(2)已知f(x)有三个极值点，记为x;,x2,x3.

(i)求a的取值范围；

(ii)证明：(x₁+x₂+x₃—3)(x₁x₂xs—1)<0.

N

1

【高三数学第4页(共4页)】

高三数学参考答案

题序1234567891011121314

答案CCACBDCBBCACDABDy=5x+262π;[-1,√2]

【评分细则】

【1】第1～8题，凡与答案不符的均不得分.

【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的

得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分.

【3】第12题的答案还可以写为5x-y+2=0.

【4】第13题，其余答案均不得分.

【5】第14题，答对第一空得2分，答对第二空得3分.

1.C【解析】本题考查复数的模与实部，考查数学运算的核心素养.

z=|3-4i|+3—4i的实部为√3²+(一4)²+3=8.

2.C【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查逻辑推理的核心素养.

椭圆的焦点在y轴上，椭的焦点均在x

轴上.

3.A【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.

因为OP²=OP·OA,所以OP²-OP·OA=OP·(OP-OA)=OP·AP=0,因为A,0,

P是三个互不重合的点，所以OP⊥AP.

4.C【解析】本题考查统计中的百分位数，考查数据处理能力.

因为被抽检的零件中，质量小于或等于500g的零件共有48+56+16=120个，且220×0.6

=132,所以这220个零件的质量的第60百分位数为501g.

5.B【解析】本题考查新定义与计数原理，考查逻辑推理的核心素养.

若伞轴数为7,则该伞数的个位数与百位数均要小于7,则个位数为1,2,3,6之一，百位数为

1,2,3,6之一，则伞轴数为7的伞数的总个数为4×4=16.

6.D【解析】本题考查点集的交集，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

若A∩B的子集的个数为4,则A∩B有2个元素.将y=ax代入y²=x³,解得x=0或x=

a²,则A∩B={(0,0),(a²,a³)},则a²≠0,所以a∈(一∞,0)U(0,+∞).

7.C【解析】本题考查对数函数与一次函数的图象，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.

对于A,由f(x)的图象可知0<a<1,b>0,由g(x)的图象可知b<0,互相矛盾，A错误.

对于B,由f(x)的图象可知0<a<1,b<0,由g(x)的图象可知a-1>0,即a>1,互相矛

盾，B错误.

对于D,由f(x)的图象可知a>1,b<0,由g(x)的图象可知b>0,互相矛盾，D错误.

【高三数学·参考答案第1页(共9页)】

对于C,由f(x),g(x)的图象可知a>1,b>0,C正确.

8.B【解析】本题考查二面角、长方体的外接球及球的截面，考查数学运算的核心素养与空间

想象能力.

易得AB⊥BC₁,AB⊥BC,所以二面角C₁-AB-C的平面角为∠C₁BC,即由

,得CC₁=2√3,所以球O的半径易

得OE=2,该截面为圆，设该圆的半径为r.当OE垂直于该截面时，该截面的面积最小，此时

r=√R²-OE²=2,所以该截面面积的最小值为πr²=4π.

9.BC【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.

因为圆O的圆心为原点O,半径为√2,圆C的圆心为C(4,—3),半径为r,所以|OC|=5,

又这两个圆有公共点，所以rmn=5—√2,rmax=5+√2.

10.ACD【解析】本题考查解三角形与对数的运算，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

依题意得t=1gm>0,则m>1,则lg(10m)=1+1gm=1+t,lgm²=21gm=2t.

当m=100时，t=2,该三角形最小内角的余弦值,最大内角的余弦值为

,则其最大内角为钝角，所以其为钝角三角形，B错误，C正确.

当t=1.2时，该三角形的三边长为1.2,2.2,2.4,因为1.2²+2.2²-2.4²>0,所以该三角

形最长边所对的角为锐角，此时，该三角形为锐角三角形，A正确.

因为t>0,所以1+t>t,2t>t.当2t>1+t,即t>1时，若三边的长度可以构成等比数列，

则t·2t=(1+t)²,解得t=1+√2(负根已舍去),此时t+1+t>2t;当1+t>2t,即0<t<

1时，若三边的长度可以构成等比数列，则t·(1+t)=(2t)²,解得舍去),此时t

+2t<1+t.所以存在唯一的m,使得该三角形的三边的长度可以构成等比数列，且m=

10¹+2,D正确.

11.ABD【解析】本题考查分层随机抽样、组合数、古典概率的综合，考查逻辑推理与数学运算

的核心素养及应用意识.

,所以P₃一

,同理得P₃-P₂=

,则(N₁-1)(P₃-P₁)=(N-1)(P₃-P₀),(N₁-1)(P₃一

【高三数学·参考答案第2页(共9页)】

P₁)=(N₂—1)(P₃-P₂),A,B均正确.

当0<q<1时，N₁(P₃—P₁)+N₂(P₃—P₂)>2N(P₃-P₀),C错误.

2,所以N₁(P₃-P₁)+N₂(P₃-P₂)>2(N-1)(P₃-P。),D正确.

12.y=5x+2【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.

因为,所以y'lx=1=5,则曲线y=6x+1—Inx在点(1,7)处的切线方程为y-7

=5(x-1),即y=5x+2.

13.6【解析】本题考查双曲线的定义与离心率，考查直观想象与数学运算的核心素养.

由x²—my²=m,,解得m=4.依题意可得|PF₂|-|PF₁|=

2√4=4,因为|PF₁I+|PF₂|=2m=8,所以|PF₂|=6.

14.2π;[-1,√2]【解析】本题考查新定义函数、三角恒等变

换、三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理、直观想象及

数学运算的核心素养.

因与sin2x同号，所以sgn(sinxcosx)=

,则sgn(sin2x)sin2x=|sin2x|,则f(x)=|sin2x|+

sgn(sinx)cos2x.因为函数y=|sin2x|,y=sgn(sinx),y=cos2x的最小正周期分别为

,所以函数y=sgn(sinx)cos2x的最小正周期为2π,则f(x)的最小正周期为2π.

当时，sinx>0,sgn(sinx)=1,sin2x>0,则f(x)=sin2x+cos2x=

,因为,所以f(x)的取值范围为(—1,√2).

当时，sinx>0,sgn(sinx)=1,sin2x≤0,则f(x)=-sin2x+cos2x=

,因为,所以f(x)的取值范围为[-1,√2].

当时，sinx<0,sgn(sinx)=-1,sin2x>0,则f(x)=sin2x—cos2x=

,因为,所以f(x)的取值范围为(-1,√2).

【高三数学·参考答案第3页(共9页)】

当)时，sinx<0,sgn(sinx)=-1,sin2x≤0,则f(x)=—sin2x—cos2x=

,因为,所以f(x)的取值范围为(-1,√2).

又f(O)=f(π)=f(2π)=0,且f(x)的最小正周期为2π,所以f(x)的值域为[-1,√2].

15.【解析】本题考查相互独立事件的概率与随机变量的数学期望，考查数学运算与逻辑推理的

核心素养.

解：(1)若甲、乙各射击1次，则甲命中目标且乙未命中目标的概率

……………2分

甲未命中目标且乙命中目标的概率………………4分

所以这2人中恰有1人命中目标的概率…………………6分

(2)X的所有可能取值为0,1,2.7分

当X=0时，甲两次均未命中目标且乙未命中目标，所以

………………………8分

当X=2时，甲至少命中目标1次且乙命中目标，所以

…………………………10分

………11分

…………………13分

【评分细则】

第(1)问中，直接写“这2人中恰有1人命中目标的概率

,不扣分.

16.【解析】本题考查三棱台的体积、空间中的垂直关系、线面角，考查直观想象、数学运算及逻辑

推理的核心素养.

(1)解：因为△ABC为正三角形，所以根据三棱台的性质可得△A₁B₁C₁为正三角形，……

……………1分

由AB=4,A₁B₁=2,得△ABC的面积,△A₁B₁C₁的面积

=√3,…………………………2分

【高三数学·参考答案第4页(共9页)】

所以三棱台ABC-A₁B₁C₁的体积,……3分

解得AA₁=4.………………4分

(2)证明：取BC的中点E,连接AE,A₁D.因为△ABC为正三角

形，所以AE⊥BC5分

根据三棱台的性质可得………6分

以E为坐标原点，EČ,EA的方向分别为x,y轴的正方向建立空

间直角坐标系，如图所示，则B(—2,0,0),C(2,0,0),A(0,2√3,

0),D(0,√3,4)7分

因为AD=(0,一√3,4),BC=(4,0,0),………………8分

所以AD·BC=0,则AĎ⊥BC,即BC⊥AD.……………9分

(3)解：连接BD.BD=(2,√3,4).……………………·10分

设平面BCC₁B₁的法向量为n=(x,y,z),则n·BC=4x=0,

n·BD=2x+√3y+4z=0,·11分

令y=4,得n=(0,4,一√3).……………12分

设直线AD与平面BCC₁B₁所成的角为θ,

,……………14分

因为θ为锐角，所以,即直线AD与平面BCC₁B₁所成角的余弦值为

…………………………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中，未写“根据三棱台的性质可得△A₁B₁C₁为正三角形”,直接得到“△A₁B₁C₁

的面积,扣1分.

【2】第(2)问中，未写“根据三棱台的性质可得,直接得到“D(0,√3,4)”,扣1分.

【3】第(3)问中，平面BCC₁B₁的法向量不唯一，只要所求法向量是与n=(0,4,一√3)共线的

非零向量即可；得到‘,未写“直线AD与平面BCC₁B₁所成角的余

弦值,不扣分.

【4】第(2)(3)问还可以这样解答：

(2)证明：连接A₁D.根据三棱台的性质可得△A₁B₁C₁为正三角形，

【高三数学·参考答案第5页(共9页)】

因为D为B₁C₁的中点，

所以A₁D⊥B₁C₁5分

因为AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥底面A₁B₁C₁,又B₁C₁C底面A₁B₁C₁,

所以AA₁⊥B₁C₁.6分

因为AA₁∩A₁D=A₁,所以B₁C₁⊥平面AA₁D7分

又ADC平面AA₁D,所以B₁C₁⊥AD8分

根据三棱台的性质可得B₁C₁//BC,则BC⊥AD.9分

(3)解：取BC的中点E,连接AE,DE.

根据三棱台的性质可得A₁D//AE,A₁AE=√3………………10分

所以A,E,D,A₁四点共面，易证AE⊥BC,

由AA₁⊥底面ABC,BCC底面ABC,

得AA₁⊥BC11分

因为AA∩AE=A,所以BC⊥平面AEDA,又BCC平面BCCB,

₁₁₁₁B

所以平面BCC₁B₁⊥平面AEDA₁,则AD在平面BCC₁B₁内的射影在DE上，从而直线

AD与平面BCC₁B₁所成的角为∠ADE(或其补角)13分

取AE的中点H,连接DH,则DH⊥AE,DH=AA₁=4,HE=A₁D=√3,由勾股定理可

得AD=√AA²+A₁D²=√19,DE=√DH²+HE²=√1914分

在△ADE中，由余弦定理得

故直线AD与平面BCC₁B₁所成角的余弦值为…………………15分

17.【解析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合，考查直观想象与数学运算的核心

素养.

解：(1)由题意得……………………2分

由………………3分

得p=24分

所以kF₁F₂=-15分

故直线F₁F²的方程为y=—x+16分

(2)由(1)得C₁:x²=4y,C₂:y²=4x.7分

由得x²+4x-4=0…………………8分

………………………9分

【高三数学·参考答案第6页(共9页)】

所以|AB|=√1+(-1)²·√(xA+xB)²—4xAxB=811分

因为C₁,C₂关于直线y=x对称，直线F₁F²关于直线y=x对称，所以|CD|=|AB|=8.

…………………………13分

故|AD|+|BC|=|AB|+|BD|+|BC|=|AB|+|CD|=16.………15分

【评分细则】

【1】第(1)问中，直线F₁F²的方程还可以写成x+y-1=0.

【2】第(2)问中，还可以这样求|AB|:

|AB|=|AF₁|+|BF₁|=yA+1+yB+1=—(xA+xB)+4=8.

【3】第(2)问中，还可以这样求|CD|:

由得x²—6x+1=0,得xc+xD=6,

所以|CD|=|CF₂|+|DF₂|=xc+xp+2=8.

18.【解析】本题考查数列的递推公式与三角恒等变换，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

解：(1)如图1,连接OC₁,则OC₁=√OB²+B₁C?=√2.……

…………1分

在矩形A₂B₂C₂D₂中，因为直线C₂D₂与半圆A₂OB₂相切，

所以B₂C₂=OC₁=√2,A₂B₂=2OC₁=2√2.2分

故a₂=A₂B₂·B₂C₂=4.…………………3分图1

(2)如图2,连接OC,,则OC,=√2B„C,4分

在矩形A+1Bn+1Cn+1Dn+1中，因为直线Cn+1Dn+1与半圆D+

A+1OB+1相切，所以B+1Cn+1=OC,=√2B„C,…5分

A„+1B+1=2OC,=2Bn+1Cn+1=2√2B„Cn6分

由A+1B+1=2B,+1Cn+1,得A„B„=2B,C,

所以a=A,B,·B„C,=2(BC,)²,……7分图2

an+1=A+1B„+1·B,+1Cn+1=4(BC,)²=2an.8分

又a₁=2,所以{a„}是首项为2,公比为2的等比数列.…………………9分

故an=2×2”⁻¹=2”.………………………10分

(3)由(2)得b=tan(log₂2")=tann,所以b„bm+1=tanntan(n+1).…11分

由,得

………………14分

所以数列{bbn+1}的前n项和T=b₁b₂+b₂b₃+…+bbn+1=tanltan2+tan2tan3+…

…………………………15分

【高三数学·参考答案第7页(共9页)】

…………16分

………17分

【评分细则】

第(1)(2)问中，先求出a=2”,再求出a₂=4,不扣分.

19.【解析】本题考查导数在研究函数中的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养及化归与

转化的数学思想.

(1)证明：当a=0时，f(x)=—6e²(x-2),则f'(x)=-6(x—1)e.…1分

令f'(x)<0,得x>1,f(x)在(1,十∞)上单调递减，令f'(x)>0,得x<1,f(x)在(一∞,

1)上单调递增，………………2分

所以f(x)≤f(1)=6e,即f(x)≤6e.…………………3分

(2)(i)解：由f'(x)=6ax²—6ax—6e³(x—1)=6(x-1)(ax—eˣ)=0,得x=1或ax=

e⁴,……………5分

因为f(x)有三个极值点，所以f'(x)有三个异号零点，

所以关于x的方程ax=eˣ有两个不等