概率论 课件（第三讲：随机事件的概率）

第2章样本空间、随机事件与概率中国人民大学龙永红Content目录第2讲

样本空间与事件1第3讲随机事件的概率23第4讲计数原理与典型计数问题4第5讲古典概型计算典型问题第3讲随机事件的概率概率公理与概率的性质古典概型与几何概型概率的加法公式概率的连续性/01概率公理及概率的性质一、概率的公理化定义

无论概率的频率解释还是主观解释，也无论具体情况如何确定概率，为了保障事件概率之间具有逻辑一致性，即所确定的概率之间不矛盾，要求作为确定概率的集函数要满足一些共同的要求，这些要求归结以下几条公理，概率满足的其他一般性质，可以由这几条公理导出。一、概率的公理化定义

二、频率与质量的概率抽象属性

【例2.8】（概率与质量）概率与质量在概念的形式化层面具有共同性：如果把某物体整体看成一个样本空间，物体的每一个点视为样本空间中的元素（即样本点）；把整个物体的质量归一化为一个单位，即样本空间（全空间）总质量视为1，满足归一化公理；显然，质量满足非负性和可加性。因而总质量归一化后，质量满足概率公理。反过来，我们也可将概率视为质量。事实上，在后续的讨论中，我们将看到，概率的许多概念和方法借鉴了物理中的质量的相关概念和方法。三、概率的性质/02古典概型与几何概型一、离散概率模型

概率公理为实际概率构造提出了基本要求，在实际中则需要由具体问题的特点出发来构造概率。我们首先讨论一类结构相对简单的概率模型——离散模型，即样本空间为有限或可数集的情形。一、离散概率模型

二、古典概型

古典概型是一个特殊的离散概率模型，它针对有限个可能结果情形，假设了每一个可能结果的概率相等，因而也称之为离散等可能模型或离散均匀模型，相应的概率分布列，称为离散均匀概率分布列（简称离散均匀分布）。二、古典概型

三、连续概率模型

当样本空间是连续的集合时，我们称相应的概率模型为连续模型。对于连续模型，不像离散模型那样通过确定每一个基本事件的概率就可以确定事件域中任意事件的概率。

一个直接的困难在于，概率的可加性公理只限于有限和可数个事件的并的概率，而一个连续样本空间的那些连续子集是不可数集，不可能由可数个基本事件构成，因而，仅仅由基本事件的概率无法在概率公理框架下确定不可数子集的概率。

如何确定连续样本空间中的概率使其符合概率公理框架？是连续模型的关键问题。如何解决这一问题，这里讨论一类特殊情形——几何概型，一般情况需要进一步的知识，留待后续章节讨论。三、几何概型几何概型是一类特殊的连续模型——连续等可能模型（也称连续均匀模型），其中每个可能结果出现可能性相同.

如何理解连续等可能模型？如何由等可能性确定概率模型的基本要素？我们从一个特殊的例子入手。

三、几何概型问题：在几何概型中，每个点被取到的可能性相同，意味着：每个点被取到的概率为0，为什么？每个点被取到的概率为0是否完整刻画了等可能性？为什么？如何合理刻画等可能性？类比于物体质量分布，同样的问题是如何刻画质量分布均匀呢？

设想有一根棍棒，于是将其质量视为分布在一个线段上，任取其中一段，若质量分布是均匀的，意味着这一段物体质量与位置无关，只与其长度成正比，进一步，假设棍棒总长度视为1个长度单位，总质量视为一个质量单位，那么每一段的质量就等于长度，这就是质量分布均匀的本质特征。

图2-5概率和质量的均匀分布三、几何概型

三、几何概型

三、几何概型

/03概率的加法公式一、加法公式二、概率的进一步性质/03概率的连续性一、单调集列的极限

概率的连续性是指概率作为一个集函数关于集合变量的极限的连续性，也即概率函数运算与集合变量的极限运算的交换性质。我们首先需要引入集合列的极限的概念，这里只讨论单调集列这一特殊情形。一般集合列的极限问题，将在后续概率的极限理论中展开讨论。根据事件域的可数运算封闭性，事件列的极限还是事件，这一事件称为事件列的极限事件。二、集函数的上连续与下连续概念三、概率的连续性概率测度作为特殊的集函数具有下连续性和上连续性，我们称之为概率的连续性。

四、从有限可加性到可数可加性由概率可数可加性公理可导出了概率的有限可加性，但反之，有限可加性不能导出可数可加性。