2026年秋高一数学上讲义高频中档题专练-学生版

中

等

高一数学生

高频中档题专练

y

秋季讲义

突破重难点

Ox

高一黄金阶段，专题突破与焦虑浮躁说再见

⊚考点难点直击⊚命题规律揭迷

⊚答案精练解析⊚提分思路指导⊚便捷智能复习

目录

专题1-1集合与常用逻辑用语重难点题型专练1

【题型1】结合元素的互异性求参数(分类讨论)1

【题型2】集合关系的辨析2

【题型3】利用集合相等求参数3

【题型4】利用集合中元素的个数求参数4

【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围5

热考题型1求参数的值(互异性分类讨论)6

热考题型2方程型(判别式与根的讨论)6

热考题型3不等式型(注意讨论空集)7

【题型6】容斥原理8

【题型7】集合中的新定义问题11

【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数12

热考题型1分类讨论求参数的值(互异性)12

热考题型2求参数范围(讨论空集)13

【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围14

【题型10】逆否条件的性质15

【题型11】根据充要条件求参数值16

【题型12】根据充分条件求参数取值范围17

【题型13】根据必要条件求参数取值范围17

【题型14】根据全称量词命题求参数范围(恒成立)18

【题型15】根据特称量词命题求参数范围(能成立)19

【题型16】命题与集合20

专题2-1等式性质与不等式性质22

模块一重难点题型突破22

【题型1】用不等式(组)表示不等式关系22

【题型2】利用不等式的性质判断命题真假23

【题型3】作差法比较两数(式)的大小25

【题型4】作商法比较两数(式)的大小26

【题型5】其它方法比大小27

【题型6】不等式性质的实际应用(设计方案)28

模块二中档题突破30

【题型7】糖水不等式的证明及应用30

【题型8】不等式的证明及不等式判断综合32

【题型9】利用不等式性质求代数式取值范围(待定系数法)35

模块三【课后作业】36

专题2-2基本不等式(1)41

模块一知识点与重点题型梳理41

【题型1】直接使用基本不等式和常用不等式41

【题型2】凑配法求最值42

【题型3】分离常数法求最值44

【题型4】“1”的妙用：乘“1”法45

模块二解题技巧突破47

【题型5】“1”的妙用(2)：“1”的代换47

【题型6】二次比一次型换元法求最值48

【题型7】分母换元法(1)：单换元49

【题型8】分母换元法(2)：双换元+配凑51

【题型9】和，积，平方和之间的转化52

模块三【课后作业】53

专题2-3基本不等式(2)：中档题梳理与进阶训练57

模块一中档题梳理57

【题型1】判断不等式是否能成立57

【题型2】基本不等式与几何图形结合58

【题型3】基本不等式的实际应用问题61

【题型4】基本不等式恒成立问题64

【题型5】基本不等式能成立问题65

【题型6】消元法求最值66

【题型7】因式分解型68

【题型8】含有根式的配凑(根式平方和为定值型)70

【题型9】同除型(构造齐次式)70

【题型10】运用基本不等式证明不等式71

模块二技巧进阶72

【题型11】权方和不等式72

【题型12】二维柯西不等式73

【题型13】万能“k”法75

模块三【课后作业】76

专题2-4二次函数与一元二次方程，不等式综合81

模块一重点题型梳理81

【题型1】三个“二次”关系的应用81

【题型2】一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式82

【题型3】由一元二次不等式的解集求参数85

【题型4】简单的含参一元二次不等式的解集87

【题型5】实数集上的含参一元二次不等式恒成立问题：判别式法87

【题型6】一元二次不等式的实际问题89

模块二中档题突破90

【题型7】有范围限制的含参一元二次不等式恒成立问题(2)：参变分离法90

【题型8】一元二次不等式与基本不等式结合92

【题型9】一元二次不等式与集合、逻辑用语综合92

【题型10】解含参一元二次不等式95

【题型11】含参一元二次不等式恒成立问题(3)：变更主元法解96

【题型12】一元二次不等式的整数解问题97

【题型13】一元二次方程根的分布98

模块三【课后训练】102

专题3-1函数的概念及其表示106

模块一重点题型梳理106

【题型1】函数的概念106

【题型2】给出解析式求函数的定义域108

【题型3】函数图像的判断109

【题型4】相同函数的判断110

【题型5】已知定义域求参数111

【题型6】求函数值或由函数值求参111

【题型7】已知函数类型求函数的解析式(待定系数法求解析式)112

模块二中档题突破113

【题型8】抽象函数求定义域113

【题型9】建立方程组求解析式(方程思想)114

【题型10】求嵌套函数的解析式(换元或配凑)115

【题型11】分离常数法求值域116

【题型12】换元法求函数的值域118

【题型13】分段函数的求值求参119

【题型14】函数的实际应用120

模块三【课后训练】122

专题3-2函数的单调性与最值125

【题型1】单调性的概念与判断125

【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间127

【题型3】定义法讨论函数的单调性127

【题型4】利用单调性比较大小129

【题型5】求函数的最值或值域130

【题型6】利用单调性解不等式131

【题型7】在某区间上单调求参数范围132

【题型8】分段函数单调性问题134

【题型9】根据函数的最值或值域求参数135

【题型10】分段函数值域问题136

【题型11】复合函数单调性137

【题型12】不等式恒成立问题139

【课后作业】139

专题3-3函数的奇偶性与对称性142

模块一重难点题型142

【题型1】判断函数的奇偶性142

【题型2】利用奇偶性求值143

【题型3】利用奇偶性求参数144

【题型4】利用奇偶性求解析式145

【题型5】利用函数奇偶性识别图像146

【题型6】利用奇偶性与单调性比大小148

【题型7】利用单调性解奇函数不等式149

模块二中档题型150

【题型8】利用单调性解偶函数不等式150

【题型9】已知f(x)=奇函数+M151

【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用152

【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用153

【题型12】构造新函数解不等式153

模块三【课后作业】154

专题4-1幂函数与指数函数13类题型总结157

【题型1】分数型指数幂的取值范围问题157

【题型2】二重根式的化简158

【题型3】求函数解析式159

【题型4】分数型指数幂的化简与计算求值160

【题型5】大致图象的判断及利用图形性质求参数范围163

【题型6】指数幂比大小169

【题型7】指数幂结合基本不等式求最值172

【题型8】指数函数的实际应用173

【题型9】指数型函数的奇偶函数模型177

【题型10】指数型函数的值域问题179

【题型11】解指数型函数不等式与恒成立问题181

【题型12】指数型复合函数单调性184

【题型13】指数型复合函数的奇偶性问题与函数不等式综合187

专题4-2对数与对数函数15类题型汇总191

【题型1】对数运算191

【题型2】指数式与对数式的相互转化192

【题型3】换底公式的应用194

热考题型1用已知对数表示其他对数194

热考题型2利用换底公式证明等式恒等195

【题型4】对数函数函数的概念与图象196

热考题型1对数函数的概念196

热考题型2对数函数过定点问题197

热考题型3对数函数的图象性质198

【题型5】解对数方程200

热考题型1常规对数方程200

热考题型2对数型嵌套函数方程201

【题型6】对数型复合函数的奇偶性问题202

【题型7】对数相关函数图像的识别205

【题型8】对数型复合函数的值域问题207

热考题型1已知对数型复合函数的解析式求值域207

热考题型2已知对数型复合函数的值域求参数范围208

【题型9】比较大小209

热考题型1找中间数比较大小210

热考题型2结合单调性比大小210

热考题型3去“1”法比大小211

热考题型4指对互化，换底公式比大小212

热考题型5结合函数图形比大小214

热考题型6结合函数单调性与奇偶性比大小215

【题型10】对数型复合函数的单调性216

热考题型1已知对数型复合函数的解析式求单调区间217

热考题型2根据对数型复合函数的单调性求参数范围218

【题型11】解对数不等式219

热考题型1解对数型不等式220

热考题型2结合函数性质解不等式221

【题型12】对数函数模型的实际应用222

【题型13】反函数对称性质的运用226

【题型14】等高线问题228

【题型15】对数函数的综合问题231

专题4-3函数与方程零点问题综合234

【题型1】零点存在定理235

【题型2】二分法236

【题型3】零点个数问题237

【题型4】比较零点的大小238

【题型5】由零点个数求参数范围239

【题型6】求零点的和241

【题型7】由二次函数零点分布求参数范围243

【题型8】等值线问题245

【题型9】函数零点和指数式与对数式的互化247

【题型10】嵌套函数零点问题248

【题型11】关于f(x)的方程af(x)2+bf(x)+c=0解的个数问题249

专题5-1任意角与弧度制251

【题型1】任意角的概念251

【题型2】弧度制与角度制的互化251

【题型3】终边相同的角252

【题型4】象限角与轴线角253

【题型5】区域角的表示254

【题型6】关于某条线对称的2个角的表示256

【题型7】n等分角的象限问题257

【题型8】扇形的弧长及面积公式258

【题型9】扇形中的最值问题260

专题5-2三角函数的概念262

【题型1】利用三角函数的定义求值(3种类型)263

【题型2】三角函数的符号与所在象限判断264

【题型3】求任意角的三角函数值265

【题型4】单位圆上的动点与旋转点266

【题型5】对sinα，cosα，tanα的知一求二问题267

【题型6】正、余弦齐次式的计算268

【题型7】sinα±cosα、sinαcosα关系应用269

【题型8】利用同角关系化简求值271

【题型9】证明三角恒等式273

专题5-3诱导公式275

【题型1】利用诱导公式求解给角求值275

【题型2】利用诱导公式求解给值求值问题276

【题型3】利用诱导公式化简与求值277

【题型4】利用诱导公式证明恒等式278

【题型5】诱导公式在三角形中的应用279

【题型6】利用隐藏的互余互补关系整体带入或换元求值(重点题型)280

【题型7】诱导公式与同角三角函数的综合运用281

专题5-4三角函数的图像与性质283

【题型1】五点作图法283

【题型2】含绝对值的三角函数问题286

【题型3】解三角函数不等式287

【题型4】三角函数相关图像的识别288

【题型5】三角函数图像与其他函数交点个数问题290

【题型6】求单调区间(3种类型)291

热考题型1整体法求单调区间291

热考题型2括号内有符号的情况292

热考题型3复合函数且有定义域限制292

【题型7】求值域与最值293

热考题型1y=Asin(ωx+φ)+B293

热考题型2二次函数型y=asin2x+bsinx+c293

热考题型3已知值域求参数294

热考题型4嵌套函数值域问题294

【题型8】周期性，奇偶性与对称性问题295

【题型9】利用三角函数性质比大小298

【题型10】与零点有关的问题299

热考题型1由交点个数求参数范围299

热考题型2关于零点的运算求值299

【题型11】三角函数对称性的综合应用300

热考题型1由解析式得出对称中心300

热考题型2由称性求交点横(纵)坐标值的和300

热考题型3称性的综合运算300

【题型12】求ω范围问题初步302

热考题型1由零点个数求ω的范围302

热考题型2由值域求ω的范围302

热考题型3由对称轴(中心)个数求ω的范围302

热考题型4在某区间上单调增(减)求ω的范围302

【题型13】三角函数性质综合304

专题5-5三角恒等变换及其应用306

【题型1】和差公式及其逆用306

【题型2】二倍角公式的简单应用307

【题型3】二倍角公式与诱导公式结合(换元与凑角)308

【题型4】二倍角与齐次式化简309

【题型5】给值求值(角)问题(不拆括号)310

【题型6】辅助角公式及其应用311

【题型7】和差公式与二倍角公式结合313

【题型8】三角形中的恒等变换314

【题型9】给式子求角(值)问题315

【题型10】扩角降幂与缩角升幂317

【题型11】利用三角恒等变换化简求值318

【题型12】化为同名函数320

【题型13】积化和差、和差化积公式321

【题型14】恒等变形的综合应用324

专题5-6三角函数：y=Asin(ωx+φ)的图像及性质326

【题型1】五点法作y=Asin(ωx+φ)图像及其应用326

【题型2】三角函数图像的平移与伸缩变换328

热考题型1函数名不改变329

热考题型2函数名改变(结合诱导公式)329

热考题型3由平移前后函数性质求参数330

热考题型4利用函数图像求交点个数330

【题型3】由图像识别函数解析式332

【题型4】单调性问题334

热考题型1求单调区间334

热考题型2复合函数型335

热考题型3由单调性求参数范围335

【题型5】最值与值域问题(4种类型)336

热考题型1求指定区间上的值域336

热考题型2化为二次函数型336

热考题型3设t=sinx±cosx336

热考题型4已知值域求参数范围337

【题型6】对称性与周期339

【题型7】三角函数性质辨析341

【题型8】由三角函数性质求参数的值344

【题型9】三角函数新定义问题346

【题型10】三角图像性质综合348

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里1

专题1-1集合与常用逻辑用语重难点题型专练

博观约取

【题型1】结合元素的互异性求参数(分类讨论)

解题|技巧互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现

的．简记为“互异性”．

注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况

1已知集合P有三个元素-1，2a+1，a2-1．若0∈P，则实数a的值为()

11

A.-B.1C.-或1D.0或1

22

2(高一上·四川德阳·期末)若1∈0,m,m2-2m+1，则m=．

1已知集合M=1,m,m2+3，且4∈M，则m取值构成的集合为()

A.1,4B.-1,4C.-1,1,4D.∅

2已知集合A={12，a2+4a，a-2}，且-3∈A，则a=()

A.-1B.-3或-1C.3D.-3

１

2

【题型2】集合关系的辨析

1k

1(24-25·云南·月考)设集合M=xx=k+,k∈Z，N=xx=+1,k∈Z，则()

33

A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=∅D.N∩∁RM=∅

2若A、B、C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有()

A.A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=⌀

1(24-25高一上·四川自贡·月考)已知集合A=xx=3t+1,t∈Z，B=xx=3t-2,t∈Z则“x

∈A”是“x∈B”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1

2(24-25高一上·河北石家庄·月考)已知集合M=xx=m+,m∈Z，N=

6

n1p1

xx=-,n∈Z，P=xx=+,p∈Z，则M，N，P的关系为()

2326

A.M=N⊆PB.M⊆N=PC.M=P⊆ND.N⊆P⊆M

２

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里3

3(多选)设a，b∈A=x∣x=3m+1,m∈Z，c∈B=x∣x=3k-1,k∈Z，则()

A.a+b∈AB.ab∈AC.a+b∈BD.ac∈B博观约取

4(24-25高一上·四川达州·期中)(多选)若集合M，N满足M⊆N⊆U，则下列结论正确的是

()

A.M∪N=NB.N⊆(M∩N)C.∁UM⊆∁UND.∁U(M∪N)⊆∁UM

【题型3】利用集合相等求参数

集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。

集合A与集合B相等记作A=B．

【注意】(1)两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；(2)两个集合是否相等，不能只从集合的形

式上看，比如0<x<5，x∈N构成的集合与1，2，3，4，构成的集合相等．

b

1设a，b∈R，若集合{1,a+b,a}=0,,b，则a2-b=．

a

b

2含有三个实数的集合可表示为a,,1，也可以示为a2,a+b,0，则a2023+b2024的值为．

a

３

4

b-11

1(24-25高一上·安徽·期中)若1,a,=0,,b，则b-a=．

aa

2设集合A=1,a,b，B=a,a2,ab，若A=B，则a2023-b2023的值为()

A.-2B.2C.-1D.1

b

3含有三个实数的集合可表示为a,,1，也可表示为a2,a+b,0，求a2025+b2026的值．

a

4已知M=a-3,2a-1,a2+1，N=-2,4a-3,3a-1，若M=N，则实数a的值为．

【题型4】利用集合中元素的个数求参数

利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参不等式的整数解个数或一元二次方程解的个数问题为背

景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等

1若集合A={x∈Z∣m<x<4}中有5个元素，则实数m的取值范围为()

A.[-1,0)B.(-1,0]C.(-1,0)D.[-2,-1)

４

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里5

2已知集合A=xax2-3x+2=0,x∈R,a∈R．

(1)若A中没有元素，求a的取值范围；

博观约取

(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

1(高一·浙江·期末)已知集合A={x∈N∣1<x<k}，集合A中至少有3个元素，则()

A.k>3B.k≥3C.k>4D.k≥4

2若集合xmx2+2x-1=0有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是()

A.-1B.-1,0

C.{m|m≤-1或m=0}D.mm≤-1

3设集合A=xax2+3x+1=0．

(1)若A中只有一个元素，求实数a的值；

(2)若A中至多只有一个元素，求实数a的取值范围．

【题型5】由集合间包含的关系求参数的范围

解题|技巧由集合间关系求解参数的三部曲

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若A⊆B，且A中含参数时应考虑参数使该集合为空集的情形；

５

6

第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围常采用数

形结合的思想，借助数轴解答．

【注意】(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；

(2)千万不要忘记考虑空集．

热考题型1求参数的值(互异性分类讨论)

1已知集合A={1，3，a}，B={1,a}，若B⊆A，则a=()

A.1B.0或1或3C.0或3D.3

1若集合A=1,x,4，B=1,x2，且B⊆A，则实数x的值可以是()．

A.2B.2，-2C.2，-2，0D.2，-2，0，1

热考题型2方程型(判别式与根的讨论)

1已知M=xx2-2x-3=0，N=xx2+ax+1=0,a∈R，且N⊊M，则a的取值范围为

．

1设集合A=x∣x2+5x+6=0，B=x∣mx+1=0，若B是A的真子集，则m的取值集合为

()

11111111

A.-,-B.0,,C.0,-,-D.,

23232323

2已知集合P=x|x2+x-6=0，Q={x|ax+1=0}，且满足Q⊆P，求实数a可能取的一切值．

６

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里7

2

3已知A=x(m-1)x+1=0，B=xx-2x-3=0，若A⊆B，求m的值．

博观约取

4(多选)已知集合A=x∣x2-6x+5=0，B=x∣ax2-2ax-1=0，且B⊆A，则实数a可能的

取值是()

11

A.-B.0C.-1D.

515

热考题型3不等式型(注意讨论空集)

1已知集合A=x-2≤x≤5，若B⊆A，B={xm+1≤x≤2m-1,m为常数}，求实数m的取

值范围．

2已知集合A=x1≤x<7，B=xa<x≤2a+3，若B⊆A，求满足条件的a的取值范围．

1已知集合A=x|1<x<2024，B=x|x<a，若A⊆B，则实数a的取值范围是()

A.(2024,+∞)B.[2024,+∞)C.(-∞,2024]D.(-∞,2024)

７

8

2若A={x|2a+1≤x<3a-2}，B={x|x2-11x+10<0}，且A⊆B，则实数a的取值范围是

．

3集合A=x2a-1≤x<1-a，B=xx2-4x-5<0，若A⊆B，则实数a的取值范围是

．

4已知集合A=x-1<x≤2，B=x2m-5<x<-m+3．

(1)若A⊆B，求m的取值范围．(2)若B⊆A，求m的取值范围．

【题型6】容斥原理

1(多选)某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其

中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加

“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”

都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则()

A.三项都参加的有1人B.只参加拔河的有3人

C.只参加4人足球的有2人D.只参加羽毛球的有4人

８

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里9

2某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌

课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，选择两种课

博观约取

外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人．则接受调查的小学生共有

()

A.120人B.144人C.177人D.192人

1(24-25高一上·重庆·月考)为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪

崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方．调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖

洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，

同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则

只去了一个地方的有()人

A.24B.26C.28D.30

2(24-25高一上·天津滨海新·期末)1学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有

15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比

赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比

赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为；同时参加田径和球类比赛的人数为

９

10

3(24-25高一上·重庆·期中)国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高

一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语

文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数

学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，

则只想报名物理选修课的同学有人．

4(24-25高一上·湖北·期中)学校举办运动会时，高一(1)班共有36名同学参加比赛，有26人参加

游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6

人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛．同时参加游泳和球类比

赛的有人．

5(24-25高一上·重庆·月考)高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、

政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有36人，选择化学的有24人，选择生物的

有20人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生物的

有16人．那么班上选择物理或化学或生物的学生最多有人．

6(24-25高一上·湖北荆州·月考)高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地

理、政治这六门课程中选择3门进行学习．已知选择物理的有32人，选择化学的有24人，选择生

物的有22人，其中选择了物理和化学的有18人，选择了化学和生物的有10人，选择了物理和生

物的有16人．那么班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有人．

１０

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里11

【题型7】集合中的新定义问题

111

1若x∈A且∈A就称A是伙伴关系集合，集合M=-1,0,,,1,2,3,4的所有非空子集

x32博观约取

中，具有伙伴关系的集合个数为()

A.15B.16C.64D.128

2(24-25高一上·重庆·月考)含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按

从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如4,6,9的“交替和”是9-6

+4=7；而5的交替和是5，则集合M=x∈Z∣-5≤x≤4的所有非空子集的“交替和”的总

和为()

A.2048B.2024C.1024D.512

1(多选)对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，则称A⊕B为集合A，B的对

称差．例如，若A=1，2，3，B=2，3，4，则A⊕B=1，4，下列命题中，为真命题的

是()

A.若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=⌀B.若A，B⊆R且A⊕B=∅，则A=B

C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆BD.存在A，B⊆R，使得A⊕B=∁RA⊕∁RB

2(高一上·江苏盐城·月考)设集合A=1,2,3，B=0,1,2,4，定义集合S=

(a,b)|a∈A,b∈B,a+b>ab，则集合S中元素的个数是()

A.5B.6C.8D.9

１１

12

【题型8】根据集合的交并补运算结果求参数

1、基本方法

方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法

二：(1)化简所给集合；

(2)用数轴表示所给集合；

(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；

(4)解不等式(组)；

(5)检验

2、易错点

(1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；

(2)千万不要忘记考虑空集，

3、集合基本运算的一些结论

若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立

若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与

“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn

图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

热考题型1分类讨论求参数的值(互异性)

1已知集合A=2a2,1-2a,-2，B={1-a,2-a,-5}，且A∩B={-2}，则()

A.A={-5,-2,18}B.B={-5,-2,-1}

C.a=4或a=3D.A∪B={-7,-5,-3,-2,32}

2(24-25高一上·浙江·期中)已知集合A=1,3,m2，B=1,m+2，若A∪B=A，则实数m

的值为．

１２

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里13

1(24-25高一上·江苏南京·月考)已知集合A=2a-1,a2,0，B=1-a,a-5,9，若A∩B=

9，则实数a的值为()

博观约取

A.5或-3B.±3C.5D.-3

2(24-25高二上·云南曲靖·期末)已知集合P=1,x，Q=1,-x2,2x-1，若P∪Q=Q，则x

的取值集合是．

3(24-25高一上·湖北襄阳·期中)已知集合A={1，3，a2}，B={1,|a+2|}，若A∪B=A，则

实数a=．

4(24-25高三上·江西南昌·开学考试)已知集合A=x,y∣y=x2-1，B=

x,y∣x=my+1,m∈R，A∩B=C若C为单元素集合时，则()

11

A.m=B.m=2C.m=0或m=D.m=0或m=2

22

热考题型2求参数范围(讨论空集)

1已知集合A=x4≤x<8，B=x2≤x≤10，C=xx<2a，若A∩C≠∅，求a的取值范

围．

１３

14

2已知集合A={x|2a-1<x<a+2}，B={x|0<x≤2}，U=R，若A∩B=∅，求实数a的取

值范围．

1已知集合A=x-2<x≤1，集合B=x2a-1≤x≤a+1，若A∩B=∅，则实数a的取值范

围为．

2已知集合A=xx2+8x+15≤0，B=x3m-2<x<2m+2．

(1)若A∪B=B，求实数m的取值范围；(2)若A∩B≠∅，求实数m的取值范围；

【题型9】根据集合混合运算的结果确定参数的范围

1已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤m+3，m∈R}，若A∩∁RB=A，求m的取

值范围．

2(高一上·山东青岛·期中)设集合A=x|x+m≥0，B=x|-1<x<5，全集U=R，且∁UA

∩B≠∅，则实数m的取值范围为；

3设集合A=xx+m≥0，B=x-2<x<4，全集U=R，且∁UA∩B=∅，求实数m的取

值范围．

１４

高一秋季讲义大鹏一日同风起，扶摇直上九万里15

1(高一·广东珠海·期中)已知集合A=x-2<x<7，B=xa≤x≤3a-2，若A∪∁RB=R，求

实数a的取值范围．