导数与微分考试题及答案

导数与微分考试题及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则f(x)在x0处（）。

A.必定取得极值

B.必定不取得极值

C.可能取得极值

D.可能不取得极值

2.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，则f(x)在区间(a,b)内（）。

A.必定存在极值

B.必定不存在极值

C.可能存在极值

D.可能不存在极值

3.函数f(x)在点x0处取得极大值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定（）。

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不存在

4.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在区间(a,b)内（）。

A.必定大于0

B.必定小于0

C.必定为0

D.可正可负

5.函数f(x)在点x0处取得极小值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定（）。

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不存在

6.函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，则f'(x)在区间(a,b)内（）。

A.必定大于0

B.必定小于0

C.必定为0

D.可正可负

7.函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f''(x0)必定（）。

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不存在

8.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，则f(x)在区间(a,b)内的最大值和最小值（）。

A.必定存在

B.必定不存在

C.可能存在

D.可能不存在

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)>0，则f(x)在x0处（）。

A.必定取得极值

B.必定不取得极值

C.可能取得极值

D.可能不取得极值

2.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，则f(x)在区间(a,b)内（）。

A.必定存在极值

B.必定不存在极值

C.可能存在极值

D.可能不存在极值

3.函数f(x)在点x0处取得极大值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定（）。

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不存在

4.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在区间(a,b)内（）。

A.必定大于0

B.必定小于0

C.必定为0

D.可正可负

5.函数f(x)在点x0处取得极小值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定（）。

A.大于0

B.小于0

C.等于0

D.不存在

（二）判断题（5题，每题4分，共20分）

1.函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)=0，则f(x)在x0处必定取得极值。（）

2.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，则f(x)在区间(a,b)内必定存在极值。（）

3.函数f(x)在点x0处取得极大值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定小于0。（）

4.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在区间(a,b)内必定大于0。（）

5.函数f(x)在点x0处取得极小值，且f'(x0)存在，则f'(x0)必定大于0。（）

三、（一）填空题（8题，每题4分，共32分）

1.函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=。

2.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在区间(a,b)内。

3.函数f(x)在点x0处取得极大值，且f''(x0)存在，则f''(x0)。

4.函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，则f'(x)在区间(a,b)内。

5.函数f(x)在点x0处取得极小值，且f''(x0)存在，则f''(x0)。

6.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，则f(x)在区间(a,b)内的最大值和最小值。

7.函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f''(x0)。

8.函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)在区间(a,b)内。

（二）计算题（4题，每题8分，共32分）

1.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

2.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值。

3.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在点x=1处的极值。

4.求函数f(x)=x^2-4x+3在点x=2处的极值。

四、综合题（2题，每题12分，共24分）

1.函数f(x)在区间(a,b)内连续，且在(a,b)内除一点c外处处可导，已知f(x)在区间(a,b)内存在极值，证明f(x)在区间(a,b)内必定存在驻点。

2.函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，证明f''(x0)存在时，f''(x0)与f(x)在点x0处的极值类型有关系。

五、材料分析题（2题，每题14分，共28分）

1.分析函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值。

2.分析函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的单调性和极值。

答案部分：

一、选择题

1.C

2.C

3.C

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

二、（一）多项选择题

1.C

2.C

3.C

4.A

5.C

（二）判断题

1.×

2.×

3.×

4.√

5.×

三、（一）填空题

1.0

2.大于0

3.小于0

4.小于0

5.大于0

6.必定存在

7.不一定存在

8.大于0

（二）计算题

1.最大值：2，最小值：-1

2.最大值：7，最小值：1

3.极大值：0

4.极小值：-1

四、综合题

1.证明：由题意知，f(x)在区间(a,b)内存在极值，设极值点为x1，则f'(x1)=0，即x1为驻点。若x1为区间(a,b)内的唯一驻点，则结论成立。若x1不是唯一驻点，设x2为另一个驻点，则f(x)在区间(x1,x2)内或(x2,x1)内必定存在极值点，由罗尔定理知，存在x3∈(x1,x2)或(x2,x1)，使得f'(x3)=0，即x3为驻点。综上所述，f(x)在区间(a,b)内必定存在驻点。

2.证明：由题意知，f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。若f''(x0)存在，则由极值判别法知，当f''(x0)>0时，f(x)在点x0处取得极小值；当f''(x0)<0时，f(x)在点x0处取得极大值。因此，f''(x0)存在时，f''(x0)与f(x)在点x0处的极值类型有关系。

五、材料分析题

1.分析：函数f(x)=x^3-3x^2+2的导数为f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，解得x=0或x=2。在区间[-1,3]上，f'(x)在(-1,0)内大于0，在(0,2)内小于0，在(2,3)内大于0。因此，f(x)在[-1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增。极值点为x=0处取得极大值0，x=2处取