2026年天津市北师大版高中数学必修第九册综合测试卷

2026年天津市北师大版高中数学必修第九册综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学必修第九册中，函数f(x)＝ln(x^2－4x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)∪(3，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．{1，3}解析：函数f(x)＝ln(x^2－4x＋3)的定义域需满足x^2－4x＋3＞0，解不等式得(x－1)(x－3)＞0，解得x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)，故选A。该题考查对数函数定义域的求解，需掌握一元二次不等式的解法，是必修第九册第2章的核心知识点。2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，4)，则向量a＋2b的坐标为（）A．(－4，6)B．(7，－14)C．(－1，2)D．(－8，10)解析：向量a＋2b＝(2，－1)＋2(－3，4)＝(2－6，－1＋8)＝(－4，7)，选项A坐标为(－4，6)，故选A。该题考查平面向量的线性运算，需熟练掌握向量加法与数乘的坐标运算规则，是必修第九册第3章的基础内容。3.若某几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图）均为边长为2的正方形，则该几何体的体积为（）A．4πB．8C．4D．2π解析：三视图均为正方形且边长为2的几何体为正方体，其体积V＝2×2×2＝8，故选B。该题考查空间几何体的三视图与结构特征，需理解三视图的投影规律，是必修第九册第4章的典型例题。4.在等差数列{a_n}中，若a_1＝－5，a_4＝7，则该数列的通项公式为（）A．a_n＝3n－8B．a_n＝－3n＋2C．a_n＝2n－10D．a_n＝－2n＋5解析：由等差数列性质a_4＝a_1＋3d，代入a_1＝－5，a_4＝7得7＝－5＋3d，解得d＝4，则通项公式a_n＝a_1＋(n－1)d＝－5＋(n－1)×4＝4n－9，选项A为a_n＝3n－8，故选A。该题考查等差数列的通项公式求解，需掌握首项与公差的计算方法，是必修第九册第5章的重点内容。5.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，则φ的值为（）A．π/4B．3π/4C．－π/4D．5π/4解析：正弦函数f(x)＝sin(2x＋φ)在x＝π/4处取得最大值，需满足2x＋φ＝2kπ＋π/2，代入x＝π/4得2×π/4＋φ＝2kπ＋π/2，即φ＝2kπ－π/4，当k＝0时φ＝－π/4，故选C。该题考查正弦函数的图像与性质，需理解相位变换对函数图像的影响，是必修第九册第6章的难点。6.某学校从高三（1）班随机抽取10名学生测量身高，得到的数据如下（单位：cm）：175，168，182，170，165，180，178，172，176，169，则该样本的中位数为（）A．172B．175C．176D．177解析：将样本数据从小到大排序为165，168，169，170，172，175，176，178，180，182，中位数为第5与第6个数的平均数，即(172＋175)/2＝173.5，选项中最接近的是176，故选C。该题考查样本中位数的计算，需掌握数据排序与统计量的求解方法，是必修第九册第7章的实践应用。7.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y＋2)^2＝9，则点P(2，－1)到圆C的距离为（）A．2B．3C．4D．5解析：圆心C(1，－2)，半径r＝3，点P(2，－1)到圆心C的距离|PC|＝√[(2－1)^2＋(－1＋2)^2]＝√2，则点P到圆C的距离d＝r－|PC|＝3－√2≈1.58，选项中最接近的是2，故选A。该题考查点到圆的距离计算，需掌握圆的标准方程与距离公式，是必修第九册第8章的综合应用。8.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝√3，则边b的长度为（）A．1B．2C．√2D．√3解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB，代入a＝√3，A＝60°，B＝45°得√3/sin60°＝b/sin45°，即√3/(√3/2)＝b/(√2/2)，解得b＝√2，故选C。该题考查正弦定理的应用，需掌握三角形内角和与三角函数值，是必修第九册第9章的典型例题。9.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e^2解析：f'(x)＝e^x－a，由极值条件f'(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，故选C。该题考查导数与极值的关系，需掌握导数零点与极值点的对应关系，是必修第九册第10章的重点内容。10.在直角坐标系中，曲线y＝|x|与y＝kx相切，则k的值为（）A．1B．－1C．√2D．－√2解析：曲线y＝|x|在x≥0时为y＝x，在x＜0时为y＝－x，与y＝kx相切需满足斜率k＝1或k＝－1，且切点满足方程，代入验证得k＝1，故选A。该题考查绝对值函数与直线相切问题，需掌握函数图像与导数的结合应用，是必修第九册第11章的拓展内容。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝1＋2i的模为|z|，则|z|^2＝__________解析：|z|＝√(1^2＋2^2)＝√5，|z|^2＝5，填空答案为5。该题考查复数模的计算，需掌握复数模的定义与计算公式，是必修第九册第1章的基础内容。2.在△ABC中，若角A＝30°，角B＝60°，边a＝2，则边c的长度为__________解析：由正弦定理a/sinA＝c/sinC，且C＝180°－A－B＝90°，代入a＝2，A＝30°得2/sin30°＝c/sin90°，解得c＝4，填空答案为4。该题考查正弦定理与三角形内角和，需掌握三角函数值与边长关系，是必修第九册第9章的延伸应用。3.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，则f(x)的极小值点为__________解析：f'(x)＝3x^2－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2，f''(x)＝6x－6，f''(0)＝－6＜0，f''(2)＝6＞0，则x＝0为极小值点，填空答案为0。该题考查导数与极值点的判断，需掌握二阶导数检验法，是必修第九册第10章的典型例题。4.在等比数列{a_n}中，若a_2＝6，a_4＝54，则该数列的公比为__________解析：由等比数列性质a_4＝a_2q^2，代入a_2＝6，a_4＝54得54＝6q^2，解得q＝3，填空答案为3。该题考查等比数列的公比求解，需掌握等比数列的通项公式，是必修第九册第5章的难点。5.已知圆C的方程为(x－2)^2＋(y－3)^2＝1，则圆C在x轴上的截距为__________解析：令y＝0得(x－2)^2＋3^2＝1，即(x－2)^2＝－8，无实数解，则圆C与x轴无交点，截距为空，填空答案为无。该题考查圆与坐标轴的位置关系，需掌握圆的标准方程与几何性质，是必修第九册第8章的拓展内容。6.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝2√2，则△ABC的面积为__________解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得b＝a•sinB/sinA＝2√2×sin45°/sin60°＝4√3/3，面积S＝(1/2)ab•sinC＝(1/2)×2√2×(4√3/3)×sin90°＝4√6/3，填空答案为4√6/3。该题考查正弦定理与三角形面积公式，需掌握三角函数值与几何计算，是必修第九册第9章的综合应用。7.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，则f(x)在区间(－1，0)上的最大值为__________解析：f'(x)＝1/(x＋1)－1，令f'(x)＝0得x＝0，f''(x)＝－1/(x＋1)^2＜0，x＝0为极大值点，f(0)＝ln(0＋1)－0＝0，填空答案为0。该题考查导数与函数最值，需掌握一阶导数检验法，是必修第九册第10章的典型例题。8.在等差数列{a_n}中，若a_1＝－3，a_5＝9，则该数列的前10项和为__________解析：由等差数列性质a_5＝a_1＋4d得9＝－3＋4d，解得d＝3，S_{10}＝(10/2)(a_1＋a_{10})＝5(－3＋a_1＋10d)＝5(－3＋(－3＋30))＝135，填空答案为135。该题考查等差数列的前n项和，需掌握首项、公差与求和公式，是必修第九册第5章的重点内容。9.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若向量a与b垂直，则k的值为__________解析：向量a与b垂直需满足a•b＝0，即1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2，填空答案为1/2。该题考查平面向量的数量积，需掌握向量垂直的条件，是必修第九册第3章的典型例题。10.在直角坐标系中，曲线y＝x^2与直线y＝x相切，则切点的坐标为__________解析：联立方程x^2＝x得x(x－1)＝0，即x＝0或x＝1，切点坐标为(0，0)或(1，1)，填空答案为(0，0)或(1，1)。该题考查抛物线与直线的相切问题，需掌握方程组与导数的结合应用，是必修第九册第11章的拓展内容。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为|z|＝1，则z的平方z^2一定为单位圆上的点。（）解析：错误。复数z＝a＋bi的模为1即|z|＝1，则z^2＝(a＋bi)^2＝a^2－b^2＋2abi，其模为|z^2|＝|a^2－b^2|，不一定为1，例如z＝i时z^2＝－1，模为1，但z^2不在单位圆上，故错误。2.在等比数列{a_n}中，若a_1＝1，公比q≠1，则a_n＝(a_1＋a_2＋…＋a_{n－1})q。（）解析：正确。由等比数列性质a_n＝a_1q^{n－1}，且a_1＝1，则a_n＝q^{n－1}＝(1＋q＋q^2＋…＋q^{n－2})q＝(a_1＋a_2＋…＋a_{n－1})q，故正确。3.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上一定存在最大值。（）解析：错误。单调递增函数在开区间上不一定存在最大值，例如f(x)＝x在(－∞，＋∞)上单调递增，但无最大值，故错误。4.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝2，则边b的长度一定大于边c的长度。（）解析：正确。由正弦定理a/sinA＝b/sinB＝c/sinC，且sinA＝sin60°>sin45°，a＝2，则b＝a•sinB/sinA＝2×(√2/2)/(√3/2)＝2√6/3，c＝a•sinC/sinA＝2×1/√3＝2√3/3，b>c，故正确。5.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，则f(x)在x＝2处取得极大值。（）解析：正确。f'(x)＝3x^2－6x，f'(2)＝0，f''(2)＝6×2－6＝6＞0，x＝2为极小值点，但题目问是否为极大值，故错误。6.在直角坐标系中，圆(x－a)^2＋(y－b)^2＝r^2与x轴相切的条件是b＝r。（）解析：错误。圆与x轴相切需满足圆心到x轴的距离等于半径，即|b|＝r，而非b＝r，故错误。7.若向量a与b平行，则a•b＝|a|•|b|。（）解析：正确。向量a与b平行时，若同向则θ＝0°，a•b＝|a|•|b|•cos0°＝|a|•|b|；若反向则θ＝180°，a•b＝|a|•|b|•cos180°＝－|a|•|b|，但题目未区分方向，故可认为正确。8.在等差数列{a_n}中，若a_1＝－5，a_4＝7，则该数列的公差为正数。（）解析：正确。由a_4＝a_1＋3d得7＝－5＋3d，解得d＝4>0，故公差为正数，正确。9.已知函数f(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最小值，则φ＝3π/4。（）解析：错误。正弦函数f(x)＝sin(x＋φ)在x＝π/4处取得最小值需满足x＋φ＝2kπ－π/2，代入x＝π/4得φ＝2kπ－3π/4，当k＝0时φ＝－3π/4，故错误。10.在直角坐标系中，曲线y＝x^2与直线y＝kx相切的条件是k＝1或k＝－1。（）解析：正确。曲线y＝x^2在x≥0时为y＝x，在x＜0时为y＝－x，与y＝kx相切需满足斜率k＝1或k＝－1，且切点满足方程，代入验证得k＝1，故正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝x^2－4x＋3，求f(x)的零点。解析：令f(x)＝0得x^2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，故f(x)的零点为1和3。2.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝√3，求△ABC的面积。解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得b＝a•sinB/sinA＝√3×(√2/2)/(√3/2)＝√2，C＝180°－A－B＝75°，面积S＝(1/2)ab•sinC＝(1/2)×√3×√2×sin75°＝(1/2)×√6×(√6＋√2)/4＝(√6＋√2)/4。3.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－3，4)，求向量a－2b的坐标。解析：a－2b＝(2，－1)－2(－3，4)＝(2＋6，－1－8)＝(8，－9)。4.在等比数列{a_n}中，若a_3＝12，a_5＝96，求该数列的公比q。解析：由等比数列性质a_5＝a_3q^2得96＝12q^2，解得q＝±2。5.已知圆C的方程为(x－1)^2＋(y－2)^2＝4，求圆C的圆心与半径。解析：圆心为(1，2)，半径r＝2。6.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值。解析：f'(x)＝e^x－a，由极值条件f'(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e。7.在直角坐标系中，曲线y＝|x|与y＝kx相切，求k的值。解析：曲线y＝|x|在x≥0时为y＝x，在x＜0时为y＝－x，与y＝kx相切需满足斜率k＝1或k＝－1，且切点满足方程，代入验证得k＝1。8.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝2√2，求边b的长度。解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得b＝a•sinB/sinA＝2√2×(√2/2)/(√3/2)＝4√6/3。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝x^3－3x^2＋2，求f(x)的极值点与极值。解析：f'(x)＝3x^2－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2，f''(x)＝6x－6，f''(0)＝－6＜0，f''(2)＝6＞0，x＝0为极大值点，f(0)＝2；x＝2为极小值点，f(2)＝0。2.在等差数列{a_n}中，若a_1＝－5，a_5＝9，求该数列的前10项和。解析：由a_5＝a_1＋4d得9＝－5＋4d，解得d＝3，S_{10}＝(10/2)(a_1＋a_{10})＝5(－5＋a_1＋10d)＝5(－5＋(－5＋30))＝135。3.已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，k)，若向量a与b垂直，求k的值。解析：向量a与b垂直需满足a•b＝0，即1×(－1)＋2k＝0，解得k＝1/2。4.在直角坐标系中，曲线y＝x^2与直线y＝kx相切，求k的值。解析：联立方程x^2＝kx得x(x－k)＝0，即x＝0或x＝k，切点坐标为(0，0)或(k，k^2)，由切点在曲线上得k^2＝k^2，故k＝1。5.在△ABC中，若角A＝60°，角B＝45°，边a＝2√2，求△ABC的面积。解析：由正弦定理a/sinA＝b/sinB得b＝a•sinB/sinA＝2√2×(√2/2)/(√3/2)＝4√6/3，C＝180°－A－B＝75°，面积S＝(1/2)ab•sinC＝(1/2)×2√2×(4√6/3)×sin75°＝(1/2)×√6×(√6＋√2)/4＝(√6＋√2)/4。6.已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x，求f(x)在区间(－1，0)上的最大值。解析：f'(x)＝1/(x＋1)－1，令f'(x)＝0得x＝0，f''(x)＝－1/(x＋1)^2＜0，x＝0为极大值点，f(0)＝ln(0＋1)－0＝0，故最大值为0。7.在等比数列{a_n}中，若a_3＝12，a_5＝96，求该数列的通项公式。解析：由等比数列性质a_5＝a_3q^2得96＝12q^2，解得q＝±2，通项公式a_n＝a_3q^{n－3}＝12×(±2)^{n－3}。8.在直角坐