《概率论与数理统计》习题解答 孟祥波Ch10综合提高题解答

习题10：综合提高题

1.在一元线性回归分析中，对于给定的x=%,相应的因变量y的取值记为方,%的点预测为

1,(D?

证明：v.Z•

y0=a+bx().S、〜Na^bx^

nXV

证明：令q=土E,则

XV

。一工）（,一）一幻丫

aXyZai/

b=xScr><-Zx-=Z——天qy•

/=1〃/=1/=1/=lI")

XVXX

可得

i/一、

"6+然这-+(x0-x)ciy.

f-1n

上式表明凡是y,%，，以的线性组合.由于y,）3，，）％相互独立，并且

y~N(a+如,b，,(z=l,2,,〃),

因此凡服从正态分布.由于

工（再—君=0,4=Z（七一无）2=Z（x，—均为•

r=l；=11=1

可知

£q=o，£CE=I,=；

/=1i=lr=l"xr

于是

卜（3鸠

凤y）=Z-+(x-x)c(♦+姐)

n0i

=-Z(Q+Z?Xj)+a(xQ-H)Zq+b(x0-亍)gc内

〃r=li=\i=l

=a-vbx+〃(x()-x)=a+bx0,

2

1/_、

Wo)=Z

-+(x0-x)c.D(yJ♦之一+(/―/)q

.=ini=ln

2以十（…吃C；1尸0一幻2

b.

九4

所以

§o~Na+bx°,\/

IL"4」

2.一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关.现通过试验测定在不同温度X（℃）下吸附的重

量y（mg）,结果如下表：

X1.51.82.43.03.53.94.44.85.0

V4.85.77.08.310.912.413.113.615.3

（1）根据表中的数据绘制散点图；

（2）求吸附重量y关于温度x的一元线性回归方程；

（3）对回归方程进行显著性检验（取a=0.05）；

（4）估计温度为6c时的吸附重量.

解：根据己知数据计算得

至b3.3667,了。10.1222,/1VBi3.1,/«38.3867,114.5156.

（1）散点图如下：

>

咄

脚

盘

M

（2）假设丫关于x的理论回归方程为

y=a+bx.

则

.ss”38.3867…r38.3867

a—10.1222--------x3.3667«0.2568,b--------«2.9303.

13.113.1

所以y关于X的经验回归方程为9=0.2568+2.9303X

（3）对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为

H0:b=0,

计算得

I2

SST=/vv«114.5156,SSR=^-^\\2.4839,SSE=SST-SSR«2.0317.

lxx

SSR和SSf的自由度分别为1和7,or=0.05,与（/⑺=5.59,从而得方差分析表如下;

方差来源平方和自由度均方产值临界值

回归112.48391112.4839387.60825.59

残差2.031770.2902

总计114.51568

由上表可知歹々:387.6082>5.59,所以拒绝原假设H0,V关于X的回归方程是显著的.

(4)%的预测值为印=0.2568+2.9303x6六17.8386.

取。=0.05,贝打0.025(7)=2.3646，又1=10.2902b0.5387,可得

)=2.3646x0.5387x^l+1+

«1.6315.

从而可得与飞=:6对应的先的置信水平为95%的预测区间如下

(17.8386>1.6315)=(16.2071,19.4701).

3.抽查某中学16名学生的体测成绩，数据见下表：

序号身高一/cm体重々/kg肺活量y/L

1174.261.64.415

2165.9573.467

3175.261.34.560

4176.255.44.681

5170.563.44.752

6175.857.14.557

7171.357.83.856

8169.966.34.776

9165.159.73.983

10161.952.22.918

11170.151.94.095

12169.455.54.238

13157.446.32.475

14159.2532.422

15166.760.24.275

16168.751.73.544

求肺活量y关于身高X1和体重x2的二元线性回归方程，并对回归方程进行显著性检验（取

a-0.05）.

解：经计算得

x,»168.5937,x2»56.9,y»3.9384,%4481.8494,/12»233.79,122«397.56,

A«57.6746,Z2«45.3314,9.0075.

（i）假设y关于x「X2的理论回归方程为

9=b（）+瓦工1+b2x2,

列出如下方程组

4+168.5937&+56.%=3.9384,

«481.849班+233.7%=57.6746,

233.79V397.56^=45.3314.

解方程组得

4^-14.7209,4右（）.0901,4«0.0611.

故y关于X,x2的经验回归方程为

y=-l4.7209+0.0901x,+0.061lx2.

（2）对回归方程进行显著性检验的原假设和备择假设为

"（）：4=仇=0,”|：4,打不全为0.

经计算得

SST=lyyx9.0075,

SSK=b]llv+b2l2v=0.0901x57.6746+0.(X)1lx45.3314«7.9662,SSE=9.0075-7.9662=1.0413.

由题意知〃z=2,〃=16,SSR和5旌的自由度分别为2和13,a=0.05,^05(2,13)=3.81,于是可

得方差分析表如下：

方差来源平方和自由度均方产值临界值

H归7.966223.983149.72663.81

残差1.0413130.0801

总计9.007515

由上表可知歹才49.7266>3.81,所以拒绝原假设"°,认为V关于％,X2的回归方程是显著的.

4.请根据例10.1.1中的人体耗氧能力测试数据(见表10-1),求耗氧能力丫与诸因素的多元线性

回归方程.

解：假设y关于x，X2,…冬的理论回归方程为》=%+3+么马+6/3+34+4七，

令

。4489.56.8262178、，44.6、

14075.16.046218545.3

X=•，r=

::*•:••

J5070.95.3548146；<54.7,

可得参数%曲,•也的估计值为

岔

A

4=(XfX)-'X/y«(121.1655,-0.3471,-0.0167,-4.2903,-0.0399,-0.1587y.

■

人

所以，y关于x的经验回归方程为

y-121.1655-0.3471A.-0.0167%—4.2903N一0.0399占一0.15879•

5.重新考虑例10.4.1,假设头围y关于月龄X的理论回归方程为$，=优高，其中〃也。为未知参

数.试求的估计值.

解：由于。为未知参数，因此不能通过变量代换的方式将非线性函数y=ae总化为线性函数.对于

这种不能线性化的非线性回归，通常的做法是借助计算软件(如Python或MATLAB),利用迭代

算法求参数的估计值.为此，令

03C)=力[K-用心『

/=1

求解函数。(。,Ac)的最小值点，即得未知参数兄"c,的最小二乘估计.相应的Python代码如下:

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotaspit

fromscipyimportoptimize

#定义数据

x二(1,2,3,4,5,678,9,10』L12,24,36,48,60,72,84,96』08,120)

y二(37.8,