【机构秘籍】小学奥数题库《几何》-直线型-蝴蝶模型-3星题（含解析）全国版

几何-直线型几何-蝴蝶模型-3星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

蝴蝶模型C1.了解蝴蝶模型及其公式少考

2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模

型和梯形蝴蝶模型的来解决更杂的

几何知识

知识提要

蝴蝶模型

•任意四边形蝴蝶模型

(1)Si.S2=s4：s3

(2)OA-OC=+S2):(S4+S3)

•梯形蝴蝶模型

(1)s2=s4

(2)Si&=S4:S3

222

(3)S1:53:S2:S4:S,<jiflv=a:b'ab:ab:(a+b)

精选例题

蝴蝶模型

1.已知A8CD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形00E的面积为6平方厘米.则阴影部分

的面积是平方厘米.

【答案】21

【分析】连接71C.

由于48CD是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:4。=2:3,

根据梯形蝴蝶定理，

SACOE：S&AOC：S^DOESAOD

=22:2X3:2X3:32

=4:6:6:9,

所以

SMOC=6（平方厘米）,Su。。=9（平方厘米）,

又

SXABC=S^ACD=6+9=15（平方厘米），

阴影部分面枳为

6+15=21（平方厘米）.

2.如图，平行四边形/1BCD中，点、E为AB边靠近点、B的三等分点、，点、F为BC边靠近点、B

的三等分点，连接力尸、DE相交于点0,则DO:OE=.

【答案】9:2

【分假设平行四边形48CD面枳为1,连接线段/。，根据蝴蝶模型,

DOtOE=S&ADF：SAAEF

=I：（I4）

=9:2.

3.在图中，E,D分别是,4B,4c的中点，BD垂直于CE,已知CE=9厘米，BD=6厘米,

那么三角形48c的面积是平方厘米.

D

£C

B

【答案】36

【分析】方法一：连接DE.

囚为E是中点，所以三角形月6C的面积是三角形ABC面积的一半；

因为D是中点，所以三角形ADE的面积是三角形AEC面积的一半.

因此，三角形AOE的面积是三角形4BC面积的四分之一，四边形8c0E的面积是三角形

ABC的四分之三.

令80与CE的交点于工三角形CDE的面积为三角形CBE的面积为］CE•8F,

因此四边形BCDE的面积为

111

-CEDF+-CE-BF=--CE^BD=27.

乙乙乙

三角形/BC的面积为

3

27+彳=36（平方厘米）.

方法二：连接DE,可知DE与8c平行且DE:BC=1:2,设5&帅尸=1份，根据梯形蝴蝶定

理则S梯形=（1+2）2=9份，再根据相似，DF=^BD=2,FE=^EC=3,S“ED=3份,

所以S-BC=12份，又因为80和EC垂直，所以

SADEF=2x3+2=3（平方厘米），

所以

SAABC=3x12=36（平方厘米）.

4.已知四边形48CD是平行四边形，BC.CE=3:2,三角形00E的面积为6平方厘米.则阴

影部分的面积是平方厘米.

D

o

BE

【答案】21平方厘米

连接力C.由于A8。。是平行四边形，8C:CE=3:2,所以

rp.4n_o.Q

根据梯形蝴蝶模型，''

SACOE'S^AOC：S△DOE^SQAOD

=2?：2x3:2x3:32

=4:6:6:9,

所以

S“oc=6（平方厘米）,Su。。=9（平方厘米）,

又

S^ABC=S^ACD=6+9=15（平方厘米）,

阴影部分面积为6+15=21（平方厘米）.

5.如图，正方形ABCO中，E是BC边的中点，71E与80相交于尸点，三角形BEF的面积为

1平方厘米，那么正方形4BCD面积是平方厘米.

【答案】12

【分析】

连接DE,根据题意可知BE:40=1:2,根据蝴蝶模型得S梯形=（1+2）2=9（平方厘米）,

S^ECD=3（平方厘米），那么SaABCD=12（平方厘米）.

6.如图，正方形力8C0中，点£为48边的中点，点尸为8c边靠近点8的三等分点，连接

AF.相交于点G,则4G:GF=.

【答案】3:4

【分析】连接线段EF、DF,

AG.GF

S&FDE

1(111\

=4：(1_4-12-3)

=3:4.

7如下图，在梯形Z18C0中，48与CO平行，且CO=248,点E、F分别是/W和BC的中

点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【答案】210

【分析】

连接E凡可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各

个小三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形力BCD面积.

设梯形48CD的上底为a,总面积为S.则下底为2a,EF=+2d)=\a.

所以

33

AB:EF=a:-a=2:3,EF:DC=-a:2a=3:4.

由于梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，所以

S梯形A"/S梯形EFCD=（"B+FF）:（EF4-DC）

=（G+尹）：（尹+2a）

=5:7,

故

S梯形ABFE=^^EFCD=适5.

根据梯形蝴蝶定理，梯形4BFE内各三角形的面积之比为

22:2X3:2X3:32=4:6:6:9,

所以

_9

S&EMF=4+6+6+9$梯形4BFE

95

=—x—S

2512

3

=­S:

同理可得

9

*____________<?

9・12+12+16梯形EF。。

-7

493x诵S

-

28S,

所以

__33_9

SEMFN=S&EMF+S"NF=五$+诟$=君5,

由于

SEMFN=54（平方厘米）,

所以

9

S=54♦证=210（平方厘米）.

8.下图中，四边形4BCD和E/GH都是平行四边形，四边形48CD的面积是16,BG:GC=

3:1,则四边形EFGH的面积=.

【答案】3

【分析】连接EG.易知/IBGE、CDEG为两个相同的梯形.根据梯形中的蝴蝶模型可知:

S&EFG_1x3_3

^B'MABGE（1+3）216

所以

33

S^EFG=16-r2X—=-

1OZ

所以

_3_

S四边形EFGH=2sAEFG=2X]=3.

9.如图，长方形A8。。被CE、。尸分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,

那么余下的四边形OFBC的面积为平方厘米.

【答案】9

四边形EDCF为梯形，所以

S^EOD=S“oc，

又根据蝴蝶定理，

S^EOD'S^FOC=SAEOF'S&CQD，

所以

所以

S^EOD=4（平方厘米）,

S.ECD=4+8=12（平方厘米）.

那么长方形A8C。的面积为

12x2=24（平方厘米）,

四边形OFBC的面积为

24-5-2-8=9（平方厘米）.

10.如下图所示，/1BCO是梯形，AB||CD,对角线低、80相交于。点，0E||AB,交腰BC

于E点.如果三角形08c的面积是115平方厘米，那么三角形40E的面积是平方

厘米.

【答案】230

【分析】根据梯形蝴蝶模型，在梯形48CD中，△4。0的面积等于4。8。的面积，均为

115平方厘米.

在梯形ODCE和梯形OABE中，可分别得出

SRODE=SAOCE，SA04£=SAOBE，

那么三角形ADE的面积等于三角形OBC的面积的2倍，

115x2=230（平方厘米）.

11.如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平

行，现在分别连接大正方形的•个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么

阴影部分的面积为.

【答案】14

【分析】本题中小正方形的位置不确定，所以可.以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以

采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如下图所示，图中四个空白三角

形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6x1.5+2x4+2x2=22,阴影部分的面积为6x

6-22=14.

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,

下底都为6,上底、下底之比为2:6=1:3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四

个小三角形的面积之比为12:1X3:lx3:32=1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯

形面枳的总阴影部分的面积占该梯形面积的高所以阴影部分的总面枳是四个梯形面积之

和的《，那么阴影部分的面积为x(62-22)=14.

1616

12.如图，四边形48。。的对角线？IC与8。交于点。.如果△48。的面积等于△BCD的面积

的！，且4。=2,DO=3,那么。。的长度是。。的长度的倍.

【答案】2

【分析】根据蝴蝶模型：喘=；=*,OC=2x3=6,C。的长度是。。长度的6+3=

2倍.

13.如图，长方形48co的面积是36,E是/W的三等分点，AE=2ED,则阴影部分的面积

为.

【答案】2.7

【分析】如图，连接。E.

根据蝴蝶定理,ON:ND=S^COEIS4CDE=QSACAE：S“DE=1：1，所以S^OEN=^SAOE。；

OMt.MA=S&BOE：S&BAE=2^hBDE,^hBAE=1"，所以，。.=~^AOE4-

又S^OEO=gx；S矩形ABe。=3,SAOEA=2SXOED=6,所以阴影部分面积为：3x1+

6xi=2.7.

14.如下图所示，48=24厘米，长方形80EF中的EF=15厘米，阴影△的面积是60

平方厘米，则△DCE的面积是平方厘米.

【答案】30

【分析】如下图所示，连接力。，则三角形8CE的面积等于三角形4C0的面积，所以

60x2+24=5（匣米），C8=15-5=10（厘米），又因为三角形。C£1和三角形8CE同

高，旦CB是。。的2倍，所以三角形8CE的面积是三角形OCE面积的2倍，所以三角形

DCE的面枳是60+2=30（平方厘米）.

15.如图，三角形田地中有两条小路和C凡交叉处为D,张大伯常走这两条小路，他知道

DF=DC,且AD=2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是.

【答案】1:2

【分析】方法一：连接BD.

设△CED的面积为1,△BED的面积X,则根据题上说给出的条件，由。尸=0C得

=S^BDF»

即△BDF的面积为%+1、S“DC=S^DF；

乂440=2DE»S^ADC=S^ADF~2s^DE=2、SAABD=^ABDE=2%,而=

x+1+2=2x；

得x=3,所以SA“尸:SACFB=(2+2):(1+3+4)=1:2.

方法一：连接BD,设S&CED=1(份)，则S^ACD=S^ADF=2,设S^BED~XS&BFD=y，

则有解得3二；’所以SUCF：S"F8=(2+2):(4+3+1)=1:2.

方法三：过F点作FGIIBC交AE于G点，

由相似得CD：OF二ED:DG=1:1,又因为40=20E,所以4G:GE=人心FB=1:2,所以两

块田地ACF和CFB的面积比=AF:FB=1:2.

16.图中4BCD是梯形，四边形48ED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方

厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【答案】4

【分析】

BE

方法一：连接4E,由于AD与8c是平行的，所以4ECC也是梯形，那么SAOCD=SA°AE，根

据蝴蝶模型，

SAOCDxSh0AE=S&OCExS&OAD=2X8=16,

故S^OCD2=16,所以S^OCD=4（平方厘米）.

方法二：在平行四边形48ED中，

SA/1DE=5,平行四边形A8EC=5X（16+8）=12（平方厘米）,

所以

S“OE=SMDE-SMOD=12-8=4（平方厘米）,

根据蝴蝶模型，阴影部分的面积为

8x2+4=4（平方厘米）.

17.如下图，梯形48CD的48平行于CD,对角线4C,BD交于0,已知△408与△80C的

面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是平方厘米.

【答案】144

【分析】根据梯形蝴蝶定理，

SAAOB'S^BOC=。々。力=25:35,

可得

a:b=5:7,

再根据梯形蝴蝶定理，

SAAOB：SADOC==52:72=25:49,

所以

SAD0C=49（平方厘米）.

那么梯形4BCC的面枳为

25+35+35+49=144（平方厘米）.

18.四边形/BCD的对角线4C与80交于点。（如图所示）.如果三角形力BD的面积等于三

角形BCD的面积的%且月。=2,D0=3,那么C。的长度是。。的长度的倍.

【答案】2

【分析】解法一：因为

40:0C=S^ABDIS^BDC~1：3,

所以

0C=2x3=6,

所以

OCi0D=6.3=2:1.

解法二:作力〃18D于H.CG18。于G.

因为

_1

S&ABD~§SA8CD，

得到

1

AH=-CG,

所以

_1

S&AOD=5s△DOC，

得到

AO=\cO,

所以

0C=2x3=6,

所以

0C:。0=6:3=2:1.

19.如下图所示，长方形ABC。内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15.四边形

EFGO面积为.

【答案】10

【分析】S&ABE=SAEFD，所以阴影部分面积等于长方形面积的一半加四边形EFGO的面枳,

故四边形EFGO面积等于70-15X8-r2=10.

20.见下图，三角形的面积为1,DO-.OB=1:3,EO：OA=4.5,则三角形DOE的面枳

为

c

设三角形DOE的面积为4也由比例关系不难得出图中另三块的面积分别为5%,12%,15%，再

设三角形OCE的面积为y,则有

CEyy+4x4-5%

BE4x4-12x12x+15x*

得y=^x,则三角形DOE的面积为

4_11

144=

4+5+12+15+等1J〉

21.见下图，图形内的数字分别表示所在的矩形或三角形的面积，那么阴影三角形的面积

为.

【答案】9

【分析1根据上图可得到:

1812

3020

22.如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上,与4N相交于0,若△力0M、

△480和aBON的面积分别是3、2、1,则aMNC的面积是,

【答案】22.5

【分析】根据蝴蝶定理得

S&AOMXSbBON3X13

S40822

设5AMON=%，根据共边定理我们可以得

，

M

旌4N

C

MN

+

3

3

-

X

2

解得

形

四辿

阴影

2,则

积为

E的面

△FO

为4,

面积

OC的

，aF

形中

长方

已知

示，

图所

23.如

.

积

面

的

AEFB

10

】

【答案

】

【分析

C

B

知,

定理可

形蝴蝶

由梯

8E,

连接

S^BEF=S&CDF=4

所以

S^BCF=4x4-r2=8

所以

S&BCD=44-8=12

SABCD=12x2=24

所以

SAEFB=24-2-4-8=10

24.如图，在△4BC中，D,E分别是48,4c的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）的面

积差是5.04,则SAABC=.

【答案】20.16

【分析】由于D,E都是中点，贝ij8C=2DE,设DE为1份，则8c为2份，根根据梯形

中的蝴蝶模型，得到甲是1份，乙是4份，两个翅膀都是2份，由此可推出△力OE为3份，

且每份为

5.04^(4-1)=1.68.

所以

SQABC=168x(3+14-4+2+2)=20.16

25.如图，在梯形A8C0中，AD-.BE=4:3,BE:EC=2:3,且△8。后的面积比△4。。的面

积小10平方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.

D

【答案】115

【分析】根据题意可知

AD'.BE'.EC=8:6:9,

则

S^ARE6

_3

S^ABE—4SAAB。，

而

S"BD~S^ABE=SgOD—S^BOE=10（平力厘米）,

所以

1_

4S△A80=10，

则

S&ABD=40（平方厘米）.

又

S&BCD_9+6_15

SAAB。88'

所以

S&BCD=，x40=75（平方厘米）.

o

所以

S梯形ABCO=+S&BCD=40+75=115（平方厘米）.

26.如图，长方形48co中，NOB是直角三角形且面积为34,。。的长是16,0B的长是

9.那么四边形OECO的面枳是.

【答案】119；

O

【分析】解法一：连接DE,

依题意

11

S^AOB=2xB。x4。=2x9x4。=54,

所以

A0=12,

则

11

--

2296.

为

又因

2

所

以

3

6-

0E4

得

1133

XXX9X6

-----一

2F024308

所以

SoECD=S6BDC~S^BOE

—SMBD-S&BOE

3

=(54+96)-30-

O

5

=119丁

解法二：由于

SMOD：S&AOB=OD:OB=16:9,

所以

16

SAAOD=54x—=96,

而

S&DOE=S&AOB=54，

根据蝴蝶定理,

SABOEXShA0D=S^AOBXS&DOE，

所以

3

S^BOE=54x54-r96=30

o

所以

SoECD=S&BDC一S&BOE

=S^ABD-S&BOE

3

=(54+96)-30-

5

=119§-

27.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4:5,四边形2的面积为36,

则二角形1的面积为.

【答案】16

【分析】做辅助线如下:

利用蝴蝶模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面枳正好等于三角形1和三角形3,所以

三角形1的面积就是36x义=16,三角形3的面积就是36x三=20.

28.正方形4BG）的边长为6米，E是BC的中点（见下匡）.四边形OECD的面积

为,平方米.

D

【答案】15

【分析】如下图所示，连接DE,根据等积变形，设S"EO=1份，那么SMBO=S“EO=2

份，SAA00=4份，所以2九5=53m=3份，正方形力8co共为1+2+2+4+3=12

（份），四边形OECD的面积为6x6+12x（2+3）=15（平方米）.

D

BEC

29.下图中，/18C0是平行四边形，E为CO的中点，AE和8D的交点为凡AC和BE的交点

为H,4c和8。的交点为G,四边形EHG尸的面积是15平方厘米，贝U48CD的面积

是平方厘米.

【答案】180

【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型.

（1）£是。。的中点，DE.AB=1:2,所以

S&DEF：S&DAF：SABEF：S&ABF=1：2：2：4.

（2）设平行四边形面积为“1”.E是C。的中点，所以SAABG、SRADG、SABEC占平行四边形面

积的%梯形S.ED占平行四边形面积的京

（3）所以

_32_1

SADAF=wx1+2+2+4=

111

S^GAF=4_6=12/

同理可知S@/B=*

(4)根据一半模型，SMBE=%

_1111_1

==；

S四边形E“GF2~4~12~1212

(5)ABCD的面积是

154--^=180(cm2).

JL4

解法二：相似模型、等积变形与一半模型.

(1)E是CD的中点，DE:AB=1:2,所以DF.FB=1:2,而0G=GB,

1/I1\

DF.FG=-一一-=2:1;

1+2\21+2/

(2)设平行四边形面积为“1”.E是C。的中点，所以SA/BG、SAADG占平行四边形面积的；，

所以

_11_1

S&GAF=4X2+1=T?

同理可知S&GH8=*

(3)根据一半模型,S-BE二；，

_1_1_11_1

S四边形E//GF=2-4-12-12=