新人教版高中数学必修第一册 3.1　3.1.1　函数的概念 教案

3.1.1函数的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.2.在此基础上学习用集合和对应关系来刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．教学重点：1.理解函数的定义，会求一些简单函数的定义域和值域.2.明确函数的两个要素，了解同一个函数的定义，会判定两个给定的函数是否是同一个函数．教学难点：1.对应关系f的正确理解，函数符号y＝f(x)的理解.2.抽象函数的定义域.3.一些简单函数值域的求法．核心素养：1.通过学习函数的概念培养数学抽象素养.2.借助函数定义域、值域的求解提升数学运算素养.3.借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.知识点一函数的概念(1)函数的概念函数的定义一般地，设A，B是eq\x(\s\up1(01))非空的实数集，如果对于集合A中的eq\x(\s\up1(02))任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有eq\x(\s\up1(03))唯一确定的数y和它对应，那么就称eq\x(\s\up1(04))f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法eq\x(\s\up1(05))y＝f(x)，x∈A定义域x叫做eq\x(\s\up1(06))自变量，x的eq\x(\s\up1(07))取值范围A叫做函数的定义域函数值与eq\x(\s\up1(08))x的值相对应的y值值域函数值的集合eq\x(\s\up1(09)){f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集(2)同一个函数：如果两个函数的eq\x(\s\up1(10))定义域相同，并且eq\x(\s\up1(11))对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．(3)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．知识点二区间的概念(1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做eq\x(\s\up1(01))闭区间，表示为eq\x(\s\up1(02))[a，b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做eq\x(\s\up1(03))开区间，表示为eq\x(\s\up1(04))(a，b)；③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做eq\x(\s\up1(05))半开半闭区间，分别表示为eq\x(\s\up1(06))[a，b)，(a，b].这里的实数a与b都叫做相应区间的eq\x(\s\up1(07))端点.实数集R可以用区间表示为eq\x(\s\up1(08))(－∞，＋∞)，“∞”读作“eq\x(\s\up1(09))无穷大”，“－∞”读作“eq\x(\s\up1(10))负无穷大”，“＋∞”读作“eq\x(\s\up1(11))正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为eq\x(\s\up1(12))[a，＋∞)，eq\x(\s\up1(13))(a，＋∞)，eq\x(\s\up1(14))(－∞，b]，eq\x(\s\up1(15))(－∞，b).(2)区间的几何表示在用数轴表示区间时，用实心点表示eq\x(\s\up1(16))包括在区间内的端点，用空心点表示eq\x(\s\up1(17))不包括在区间内的端点．区间数轴表示eq\x(\s\up1(18))[a，b]eq\x(\s\up1(19))(a，b)eq\x(\s\up1(20))[a，b)eq\x(\s\up1(21))(a，b](3)含“∞”的区间的几何表示区间数轴表示eq\x(\s\up1(22))[a，＋∞)eq\x(\s\up1(23))(a，＋∞)eq\x(\s\up1(24))(－∞，b]eq\x(\s\up1(25))(－∞，b)注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．(1)函数符号“y＝f(x)”是数学中抽象符号之一，“y＝f(x)”仅为y是x的函数的数学表示，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图表或图象．(2)函数的概念中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，这是因为函数定义中明确要求是对于非空实数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一确定(唯一性)的数y和它对应，这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．(3)两个非空实数集间的对应能否构成函数，主要看是否满足三性：任意性、存在性、唯一性．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应．()(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．()(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．()(4)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()(5)在函数的定义中，集合B是函数的值域．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2．做一做(1)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是()①y是x的函数；②x是y的函数；③对于不同的x，y也不同；④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数．A．①④ B．②③C．①③ D．②④(2)下列表示的是y关于x的函数的是()A．y＝x2 B．y2＝xC．|y|＝x D．|y|＝|x|(3)函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定义域是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－1，＋∞) D．(－1,0)(4)若f(x)＝eq\f(1,1＋x2)，则f(2)＝________.(5)用区间表示{x|x≥0且x≠2}为________.答案(1)A(2)A(3)C(4)eq\f(1,5)(5)[0,2)∪(2，＋∞)题型一函数关系的判断例1(1)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是()(2)下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是()①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝eq\f(x,3)；②A＝{x|x>0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x；③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y：x2＋y2＝25；④A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y＝x2；⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝{s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y；⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0.A．①⑤⑥ B．②④⑤⑥C．②③④ D．①②③⑤[解析](1)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象表示y是x的函数．(2)①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．故选D.[答案](1)D(2)D1．判断一个对应关系是否是函数的两个条件(1)A，B必须是非空数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示：[跟踪训练1](1)图中①②③④四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有________.(2)判断下列对应是否为函数：①x→eq\f(1,x)，x≠0，x∈R；②x→y，其中|y|＝x，x∈R，y∈R.答案(1)②③(2)见解析解析(1)由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当－1≤a≤1时，只有图形②③与直线x＝a仅有一个交点，当a>1或a<－1时，图形与直线x＝a均没有交点．故可以表示y是x的函数关系的有②③.(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的eq\f(1,x)与之对应．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零实数x，对应两个y的值，不符合函数的概念.题型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝eq\f(3,x－2)有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0.))解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，所以这个函数的定义域为{x|x≤1且x≠－1}．[条件探究]在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．解由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．[跟踪训练2]求下列函数的定义域：(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝eq\f(1,x＋1)；(3)y＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)；(4)y＝eq\f(x＋1,x2－1)；(5)y＝(1－2x)0.解(1)函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．(2)要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．(3)要使函数式有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,1－x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x≤1，))所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，eq\f(x＋1,x2－1)有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．(5)因为1－2x≠0，即x≠eq\f(1,2)，所以函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,2))).题型三已知自变量的值求函数值例3已知函数f(x)＝eq\f(3－x2,1＋x2)，g(x)＝eq\f(1,x).(1)求f(2)，f(3)，f(g(2))，f(g(3))；(2)求f(g(x))，并证明f(x)＋f(g(x))是常数．[解](1)f(2)＝eq\f(3－22,1＋22)＝－eq\f(1,5).f(3)＝eq\f(3－32,1＋32)＝－eq\f(3,5).∵g(2)＝eq\f(1,2)，∴f(g(2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(11,5).∵g(3)＝eq\f(1,3)，∴f(g(3))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(13,5).(2)∵f(g(x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(3x2－1,x2＋1)，∴f(x)＋f(g(x))＝eq\f(3－x2,1＋x2)＋eq\f(3x2－1,x2＋1)＝eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝2.函数求值的方法及关注点(1)方法①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值；②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．(2)关注点：用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．[跟踪训练3]已知函数f(x)＝eq\f(1,x＋2)，g(x)＝3x2＋1.(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求f(g(1))的值；(3)求f(a－1)，g(a＋1)，f(g(a＋1))．解(1)f(1)＝eq\f(1,1＋2)＝eq\f(1,3)，g(1)＝3×12＋1＝4.(2)f(g(1))＝f(4)＝eq\f(1,4＋2)＝eq\f(1,6).(3)f(a－1)＝eq\f(1,a－1＋2)＝eq\f(1,a＋1)，g(a＋1)＝3(a＋1)2＋1＝3a2＋6f(g(a＋1))＝f(3a2＋6a＋4)＝eq\f(1,3a2＋6a＋6).题型四已知函数值求自变量的值例4已知函数f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值．[解]易知f(x0)＝2xeq\o\al(2,0)－4，∴2xeq\o\al(2,0)－4＝2，即xeq\o\al(2,0)＝3.又x0∈R，∴x0＝±eq\r(3).就本例而言，已知函数值求自变量的值就是解方程，需要注意：所求的自变量的值必须在函数的定义域内．如果本例中加一个条件“x∈[0，＋∞)”，则x0＝eq\r(3)(－eq\r(3)不符合题意，舍去)．[跟踪训练4]已知函数f(x)＝x2＋2x－5，x∈R，若f(a)＝3，求a的值．解由题意知f(a)＝a2＋2a所以a2＋2a－5＝3，即a2＋2解得a＝2或a＝－4.题型五求函数的值域例5求下列函数的值域：(1)y＝2eq\r(x)＋3；(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}；(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)；(4)y＝2x－eq\r(x－1).[解](1)因为eq\r(x)≥0，所以2eq\r(x)≥0.所以2eq\r(x)＋3≥3.故y＝2eq\r(x)＋3的值域为[3，＋∞)．(2)当x＝－2，－1,0,1,2,3时，y＝11,6,3,2,3,6.故函数的值域为{2,3,6,11}．(3)y＝eq\f(2x＋1,x－3)＝eq\f(2x－3＋7,x－3)＝2＋eq\f(7,x－3).因为eq\f(7,x－3)≠0，所以y≠2.故函数的值域为{y∈R|y≠2}．(4)设t＝eq\r(x－1)，则t≥0，且x＝t2＋1.所以y＝2(t2＋1)－t＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2＋eq\f(15,8).由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)).求函数值域的原则及常用方法(1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域．(2)常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋eq\r(cx＋d)(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．[跟踪训练5]求下列函数的值域：(1)y＝eq\r(16－x2)；(2)y＝x2－4x＋6(1≤x≤5)；(3)y＝eq\f(x,x＋1)；(4)y＝2x＋4eq\r(1－x).解(1)∵0≤16－x2≤16，∴0≤eq\r(16－x2)≤4，即函数y＝eq\r(16－x2)的值域为[0,4]．(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2，∵1≤x≤5，由函数图象知y∈[2,11]．(3)∵y＝eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x＋1－1,x＋1)＝1－eq\f(1,x＋1)，且定义域为{x|x≠－1}，∴eq\f(1,x＋1)≠0，即y≠1.∴函数y＝eq\f(x,x＋1)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．(4)令t＝eq\r(1－x)(t≥0)，且x＝1－t2，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)．当t＝1时，y取得最大值4，故函数的值域为(－∞，4].题型六同一个函数的判定例6下列各组函数表示同一个函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1C．f(x)＝1，g(x)＝eq\f(x,x)D．f(x)＝x，g(x)＝|x|[解析]A中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝(eq\r(x))2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；C中，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝eq\f(x,x)的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数．[答案]B判断两个函数为同一个函数的条件(1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形．[跟踪训练6]下列各组函数中，是同一个函数的是()A．y＝2x＋1与y＝eq\r(4x2＋4x＋1)B．y＝eq\f(x2,x)与y＝x0C．y＝eq\f(x2－x,x)与y＝x－1D．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1答案D解析∵y＝eq\r(4x2＋4x＋1)＝eq\r(2x＋12)＝|2x＋1|，∴A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；C中的定义域不同；只有D符合题意．1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是()答案A解析因为垂直于x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点，故选A.2．函数f(x)＝x＋eq\r(2－x)的定义域是()A．{x|x≥2} B．{x|x>2}C．{x|x≤2} D．{x|x<2}答案C解析要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2.所以函数的定义域为{x|x≤2}．3．如果函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}答案A解析当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．4．已知f(x)＝x2＋1，则f(f(－1))＝________.答案5解析因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝22＋1＝5.5．已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))，f(a＋1)；(2)若f(x)＝5，求x.解(1)f(2)＝22＋2－1＝5，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(1,x2)＋eq\f(1,x)－1＝eq\f(1＋x－x2,x2)，f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3.一、选择题1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是()A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积答案A解析对于B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.2．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝eq\f(x2－1,x－1)与y＝x＋1B．y＝eq\r(x)与y＝eq\f(1,x)C．y＝eq\r(x2)－1与y＝x－1D．y＝x与y＝eq\r(3,x3)答案D解析对于A，函数y＝eq\f(x2－1,x－1)的定义域不包含1，而y＝x＋1的定义域是R，显然不是同一个函数；对于B，函数y＝eq\r(x)的定义域为{x|x≥0}，而函数y＝eq\f(1,x)的定义域是{x|x≠0}，显然不是同一个函数；对于C，函数y＝eq\r(x2)－1的值域是{y|y≥－1}，而函数y＝x－1的值域是R，显然不是同一个函数；对于D，因为y＝x与y＝eq\r(3,x3)的最简解析式相等，且定义域都为R，所以为同一个函数．3．函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)答案D解析由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1.故函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D.4．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为()A．R B．{x|x>0}C．{x|0<x<5} D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<x<5))))答案D解析∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x>0，∴x<5.又两边之和大于第三边，∴2x>10－2x，∴x>eq\f(5,2)，∴此函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)<x<5)))).5．函数f(x)的定义域为[－6,2]，则函数y＝f(eq\r(x))的定义域为()A．[－4,4] B．[－2,2]C．[0，eq\r(2)] D．[0,4]答案D解析因为函数f(x)的定义域为[－6,2]，所以－6≤eq\r(x)≤2，又因为eq\r(x)≥0，所以0≤eq\r(x)≤2，所以0≤x≤4.二、填空题6．若函数y＝eq\f(1,x－2)的定义域是A，函数y＝eq\r(2x＋6)的值域是B，则A∩B＝________.答案[0,2)∪(2，＋∞)解析由题意知A＝{x|x≠2}，B＝{y|y≥0}，则A∩B＝[0,2)∪(2，＋∞)．7．已知函数f(x)＝ax2－1(a≠0)，且f(f(1))＝－1，则a的取值为________.答案1解析因为f(x)＝ax2－1，所以f(1)＝a－1，f(f(1))＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a(a－1)2＝0，又因为a≠0，所以a－1＝0，所以a＝1.8．函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)的值域是________.答案[0,1)解析f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)＝eq\f(x2＋1－1,1＋x2)＝1－eq\f(1,1＋x2)，因为x2≥0,1＋x2≥1，所以0<eq\f(1,1＋x2)≤1，所以－1≤－eq\f(1,1＋x2)<0，所以0≤1－eq\f(1,1＋x2)<1，所以函数f(x)的值域是[0,1)．三、解答题9．已知f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R).(1)求f(2)，g(3)的值；(2)求f(g(3))的值及f(g(x))．解(1)因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(2)＝eq\f(1－2,1＋2)＝－eq\f(1,3).因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝eq\f(1－8,1＋8)＝－eq\f(7,9).f(g(x))＝eq\f(1－gx,1＋gx)＝eq\f(1－x2－1,1＋x2－1)＝eq\f(2－x2,x2)(x≠0)．10．求下列函数的值域：(1)y＝eq\r(x2－4x＋6)；(2)y＝eq\f(5x＋4,x－1)；(3)y＝x－eq\r(x＋1).解(1)令t＝x2－4x＋6，配方，得t＝(x－2)2＋2.故t∈[2，＋∞)．则函数的值域为[eq\r(2)，＋∞)．(2)因为函数的定义域为{x|x≠1}，y＝eq\f(5x＋4,x－1)＝5＋eq\f(9,x－1)，所以函数的值域为{y|y≠5}．(3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设t＝eq\r(x＋1)，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2－eq\f(5,4).又t≥0，故f(t)≥－eq\f(5,4).所以函数的值域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y≥－\f(5,4))).1．函数f(x)＝eq\r(x)＋x－1的值域为()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,4)))C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1]答案C解析记t＝eq\r(x)(t≥0)，则x＝t2，所以y＝t＋t2－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4).因为t≥0，当t＝0时，y取最小值，最小值为0＋02－1＝－1.故函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．故选C.2．(多选)给出定义：若m－eq\f(1,2)<x≤m＋eq\f(1,2)(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个结论，其中正确的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(1,2)B．f(3.4)＝0.2C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))D．y＝f(x)的定义域为R，值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))答案AC解析对于A，因为－1－eq\f(1,2)<－eq\f(1,2)≤－1＋eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝|－eq\f(1,2)－eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))|＝|－eq\f(1,2)＋1|＝eq\f(1,2)，所以A正确；对于B，因为3－eq\f(1,2)<3.4≤3＋eq\f(1,2)，所以{3.4}＝3，所以f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，所以B错误；对于C，因为0－eq\f(1,2)<－eq\f(1,4)≤0＋eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝|－eq\f(1,4)－0|＝eq\f(1,4)，因为0－eq\f(1,2)<eq\f(1,4)≤0＋eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝|eq\f(1,4)－0|＝eq\f(1,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，所以C正确；对于D，y＝f(x)的定义域为R，值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，所以D错误．3．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________，满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.答案12解析当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不符合题意；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(x))>g(f(x))，符合题意；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不符合题意．4．设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，求f(eq\r(2))的值．解因为f(xy)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝eq\r(2)，得f(2)＝f(eq\r(2))＋f(eq\r(2))，令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)，令x＝2，y＝4，得f(8)＝f(2)＋f(4)，所以f(8)＝3f(2)＝6f(eq\r(2))，又f(8)＝3，所以f(eq\r(2))＝eq\f(1,2).5．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值；(2)求证：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))是定值；(3)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＋…＋f(2021)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2021)))的值．解(1)∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1.f(3)＋feq\b\