新人教版高中数学必修第一册 4.5　4.5.1　函数的零点与方程的解 教案

4.5.1函数的零点与方程的解(教师独具内容)课程标准：1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．教学重点：函数零点存在定理及应用．教学难点：会判断函数零点所在的区间及函数零点的个数．核心素养：1.借助零点的求法培养数学运算素养和逻辑推理素养.2.借助函数的零点同方程根的关系培养直观想象数学素养.知识点一函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把eq\x(\s\up1(01))使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的eq\x(\s\up1(02))零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的eq\x(\s\up1(03))横坐标.知识点二方程的解与函数零点的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)eq\x(\s\up1(01))有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴eq\x(\s\up1(02))有公共点.知识点三函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条eq\x(\s\up1(01))连续不断的曲线，且有eq\x(\s\up1(02))f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内eq\x(\s\up1(03))至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得eq\x(\s\up1(04))f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的解．(1)一个函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)f(b)<0.这两个条件缺一不可．可从函数y＝eq\f(1,x)来理解，易知f(－1)f(1)＝－1×1<0，但显然y＝eq\f(1,x)在(－1,1)内没有零点．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)在(a，b)上的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解c.(3)函数零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图①②，虽然都有f(a)f(b)<0，但图①中函数在区间(a，b)内有4个零点，图②中函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(4)函数零点存在定理是不可逆的，由f(a)f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)f(b)<0.如图③，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)f(b)>0.(5)如果单调函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数解．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点是一个点．()(2)函数y＝2x－1的零点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).()(3)函数f(x)＝x2＋x＋1有零点．()(4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)＜0.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)函数f(x)＝lgx的零点是()A．2 B．3C．5 D．1(2)函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))(3)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若ac＜0，则函数有________个零点．(4)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(1)＜0，f(1.3)＜0，f(1.5)＞0，则可以确定零点所在的区间为________.答案(1)D(2)B(3)2(4)(1.3,1.5)题型一求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).[解](1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1.(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6.求函数零点的方法函数的零点就是对应方程的解，求函数的零点常有两种方法：(1)令y＝0，方程f(x)＝0的解就是函数的零点；(2)画出函数y＝f(x)的图象，图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．[跟踪训练1](1)求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x＞0))的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．解(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x＞0))的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0.所以b＝3故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,3).所以函数g(x)的零点为0和－eq\f(1,3).题型二判断函数零点的个数例2判断函数f(x)的零点个数．(1)f(x)＝x2＋mx＋1(m∈R)；(2)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.[解](1)Δ＝m2－4×1×1＝m2－4，①当Δ<0，即m2－4<0时，解得－2<m<2，此时方程f(x)＝0无解，函数无零点；②当Δ＝0，即m2－4＝0时，解得m＝±2，此时方程f(x)＝0有两个相等的实数根，函数只有一个零点；③当Δ>0，即m2－4>0时，解得m<－2或m>2，此时方程f(x)＝0有两个不相等的实数根，所以函数有两个零点．综上，当m∈(－2,2)时，函数无零点；当m＝±2时，函数有一个零点；当m∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，函数有两个零点．(2)作出y＝x3与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．判断函数零点的个数的方法(1)直接求出函数的零点进行判断，即转化为方程f(x)＝0解的个数；(2)结合函数图象进行判断，即转化为函数图象与x轴交点个数或两个函数图象交点的个数；(3)借助函数的单调性进行判断．[跟踪训练2](1)函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(1,x)在定义域内的零点个数为()A．0 B．1C．2 D．3(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx，x＞1，,2x，x≤1，))则函数g(x)＝f(x)＋x－3的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案(1)C(2)B解析(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(1,x)在定义域{x|x＞－1，且x≠0}内的零点个数，即为f(x)＝0的解的个数，即求y＝ln(x＋1)和y＝eq\f(1,x)的图象的交点个数，作出y＝ln(x＋1)和y＝eq\f(1,x)的图象(如图)，可得有两个交点．故选C.(2)令g(x)＝0，得f(x)＝－x＋3，画出函数f(x)和y＝－x＋3的图象，如图所示：函数g(x)的零点个数即f(x)和y＝－x＋3的图象的交点个数，结合图象知有2个交点，故函数g(x)有2个零点．故选B.题型三判断零点所在的区间例3函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]解法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．解法二：令ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．[答案]C确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过观察函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．提醒：函数零点存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但是函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0.[跟踪训练3](1)由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.603x＋22581114A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)(2)函数f(x)＝eq\f(1,x)＋lneq\f(1,x)的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2，e)C．(e,3) D．(3,4)答案(1)C(2)A解析(1)设f(x)＝ex－3x－2，由表格知f(0)＝1－2＜0，f(1)≈2.72－5＜0，f(2)≈7.39－8＜0，f(3)≈20.09－11＞0，f(4)≈54.60－14>0.所以f(2)f(3)＜0，f(x)在(2,3)上存在零点，所以方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是(2,3)．(2)由题意知f(1)＝1＋0＝1，f(2)＝eq\f(1,2)＋lneq\f(1,2)＝eq\f(1,2)－ln2＜0.所以f(1)f(2)＜0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(1,2).1．函数y＝3x－9的零点是()A．(3,0) B．3C．(0,3) D．(3,3)答案B解析由3x－9＝0，得x＝3，所以y＝3x－9的零点是3.2．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)))x－5的零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案B解析由题意知f(0)＝1－5＝－4＜0，f(1)＝eq\f(10,3)－5＝－eq\f(5,3)＜0，f(2)＝eq\f(100,9)－5＝eq\f(55,9)＞0.因为f(1)f(2)＜0，所以函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．3．已知f(2x＋1)＝3x－2，若a是函数y＝f(x)－4的1个零点，则a的值为________.答案5解析若a是函数y＝f(x)－4的一个零点，则有f(a)－4＝0，即f(a)＝4.又由f(2x＋1)＝3x－2，若3x－2＝4，则x＝2.在f(2x＋1)＝3x－2中，令x＝2可得f(5)＝3×2－2＝4.故a＝5.4．设x0是方程lnx＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.答案2解析令f(x)＝lnx＋x－4.∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln2＋2－4＜0，f(3)＝ln3－1＞0，∴f(x)在(2,3)内有零点．∴k＝2.5．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4]．(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？解(1)依题意，得f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f(x)的值域为[－4,5]．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，∴0≤m<4.∴当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，即当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点.一、选择题1．函数f(x)＝(x2－1)eq\r(x2－4)的零点个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析要使函数有意义，则x2－4≥0，即x2≥4，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数f(x)的零点个数为2.故选B.2．函数f(x)＝2x－eq\f(1,x)的零点所在的区间是()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))答案B解析由f(x)＝2x－eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2＜0，f(1)＝2－1＝1＞0，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f(1)＜0.∴函数f(x)的零点所在的区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故选B.3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x＞1，))则函数f(x)的零点为()A.eq\f(1,2)，0 B．－2,0C．eq\f(1,2) D．0答案D解析当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函数f(x)的零点为0，故选D.4．[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程lnx＋3x－15＝0的根，则[x0]＝()A．2 B．3C．4 D．5答案C解析设f(x)＝lnx＋3x－15，显然f(x)单调递增，故f(x)＝0只有一个根．又f(4)＝ln4－3＜2(ln2－1)＜0，f(5)＝ln5＞0，x0是方程lnx＋3x－15＝0的根，故x0∈(4，5)，所以[x0]＝4.故选C.5．已知x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0答案B解析因为x0是函数f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝2x＋eq\f(1,1－x)是单调递增函数，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以f(x1)<f(x0)＝0<f(x2)．故选B.二、填空题6．函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是________.答案0解析由f(x)＝0，即log2(x＋2)－1＝0，解得x＝0.故函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是0.7．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________答案(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))解析若a＝0，则f(x)＝1，与x轴没有交点，不符合题意，所以a≠0.当a≠0时，函数f(x)＝3ax＋1－2a是一次函数，在区间(－1,1)上是单调函数，由零点存在定理，得f(1)f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，解得a<－1或a>eq\f(1,5).故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)).8．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.答案(0,4)解析由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象(如图)，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4.三、解答题9．判断函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数．解解法一：(图象法)函数对应的方程为lnx＋x2－3＝0，所以函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点的个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2的图象的交点个数．在同一直角坐标系中，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，从而方程lnx＋x2－3＝0只有一个根，即函数f(x)＝lnx＋x2－3只有一个零点．解法二：(判定定理法)因为f(1)＝ln1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln2＋22－3＝ln2＋1>0，所以f(1)f(2)＜0，又函数f(x)＝lnx＋x2－3的图象在(1,2)上是连续不断的，所以函数f(x)在(1,2)内必有零点，又函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个．10．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0<x2，求实数m的取值范围．解(1)由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1≠0，,4m2－4×2m＋12m－1>0，))解得m<1且m≠－1.(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0<x2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1>0，,f0＝2m－1<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋1<0，,f0＝2m－1>0，))解得－1<m<eq\f(1,2).所以实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).1．(多选)已知函数f(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2)x2－2，则函数f(x)的零点所在的区间是()A．(－3，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(2,3) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))答案ABD解析因为f(－3)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(13,6)＞0，f(3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(9,2)－2＝eq\f(17,6)＞0，f(－2)＝－eq\f(1,2)＋2－2＝－eq\f(1,2)＜0，f(2)＝eq\f(1,2)＋2－2＝eq\f(1,2)＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2＋eq\f(1,8)－2＝eq\f(1,8)＞0，f(1)＝1＋eq\f(1,2)－2＝－eq\f(1,2)＜0，f(－1)＝－1＋eq\f(1,2)－2＝eq\f(－5,2)＜0，由零点存在定理可得在区间(－3，－2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))内均存在零点．故选ABD.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是()A．[－1,0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)答案C解析函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2