新人教版高中数学必修第一册 5.1　5.1.1　任意角 教案

5.1.1任意角(教师独具内容)课程标准：了解任意角的概念，理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角．教学重点：掌握终边相同角的含义及表示方法．教学难点：用集合符号表示终边相同的角．核心素养：1.通过角的概念的推广过程提升数学抽象和直观想象素养.2.借助终边相同角的计算提升数学运算素养.3.通过任意角的终边位置的确定培养逻辑推理素养.知识点一角的相关概念(1)角的概念角可以看成平面内eq\x(\s\up1(01))一条射线绕着它的eq\x(\s\up1(02))端点旋转所成的图形．(2)角的表示如图，①始边：射线的eq\x(\s\up1(03))起始位置OA；②终边：射线的eq\x(\s\up1(04))终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．(3)角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按eq\x(\s\up1(05))逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按eq\x(\s\up1(06))顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作eq\x(\s\up1(07))任何旋转形成的角知识点二平面直角坐标系中的任意角条件在直角坐标系中，角的顶点与eq\x(\s\up1(01))原点重合，角的始边与x轴的eq\x(\s\up1(02))非负半轴重合象限角角的eq\x(\s\up1(03))终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角轴线角角的终边在eq\x(\s\up1(04))坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合S＝{β|β＝eq\x(\s\up1(05))α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个eq\x(\s\up1(06))周角的和相反角射线OA绕eq\x(\s\up1(07))端点O按不同方向旋转eq\x(\s\up1(08))相同的量所成的两个角1．对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作旋转时的位置．2．对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数，这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一；(4)终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)－30°角是第四象限角．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)下列说法正确的是()A．最大的角是180° B．最大的角是360°C．角不可以是负的 D．角可以是任意大小(2)将钟表拨慢10分钟，则分针转过的角为________.(3)与410°终边相同的角表示为________.(4)已知0°≤α<360°，且α与570°角的终边相同，则α＝________，它是第________象限角．答案(1)D(2)60°(3)k·360°＋50°(k∈Z)(4)210°三题型一任意角的概念例1下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，A错误；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，B错误；因为在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，D错误．故选C.[答案]C判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解任意角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．[跟踪训练1](1)经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为()A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置，接着逆时针旋转100°到OC位置，然后再顺时针旋转240°到OD位置，求∠AOD的大小．答案(1)B(2)见解析解析(1)钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－eq\f(360°,12)＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°.故选B.(2)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.题型二终边相同的角[命题角度1]求与已知角终边相同的角例2已知α＝－315°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°<θ<－360°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°，又0°<45°<360°，所以把α写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以当k＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°<θ<－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.寻求终边相同的角的方法与技巧在[0°，360°)范围内找与给定角终边相同的角的方法：(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．[跟踪训练2](1)与－463°终边相同的角可以表示为()A．k·360°＋463°(k∈Z) B．k·360°＋103°(k∈Z)C．k·360°＋257°(k∈Z) D．k·360°－257°(k∈Z)(2)已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.答案(1)C(2)－960°解析(1)∵－463°＝257°－2×360°，∴与－463°终边相同的角可以表示为k·360°＋257°(k∈Z)．故选C.(2)∵α与120°角的终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z.∴－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－3eq\f(1,12)<k<－2eq\f(1,12).又k∈Z，∴k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.[命题角度2]求终边在给定直线上的角的集合例3若角α的终边在直线y＝－x上，试写出角α的集合．[解]由于直线y＝－x是第二、四象限的平分线，故在[0°，360°)范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合在[0°，360°)范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝135°＋k·360°或α＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋2k·180°或α＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}．所以S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}．1．求终边落在直线上的角的集合的三个步骤(1)写出在[0°，360°)范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并的一定要合并，并使结果简洁．2．终边相同的角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一条直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．[跟踪训练3]写出与角60°的终边在一条直线上的角的集合．解在[0°，360°)范围内，与角60°的终边在一条直线上的角是60°与240°，故与角60°的终边在一条直线上的角的集合是S＝{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝2k·180°＋180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋60°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°＋60°，n∈Z}.题型三区域角的表示例4写出终边落在阴影部分的角的集合．[解]设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．[条件探究]将本例改为下图，写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．(2)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．区域角的写法可分三步(1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；(3)用不等式表示区域内的角，组成集合．[跟踪训练4]写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．解(1)先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}.题型四象限角的判定例5(1)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①－75°；②855°；③－510°.(2)若α是第二象限角，则2α，eq\f(α,2)分别是第几象限的角？[解](1)作出各角，其对应的终边如图所示：①由图(a)可知，－75°是第四象限角．②由图(b)可知，855°是第二象限角．③由图(c)可知，－510°是第三象限角．(2)①∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的非正半轴上．②∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)．解法一：a.当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第一象限角；b．当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°(k∈Z)表示终边在第一、三象限角平分线上的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边在y轴上的角，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)表示的角的终边所在的区域如图中阴影部分所示．即eq\f(α,2)是第一或第三象限角．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为在[0°，360°)范围内的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到[0°，360°)范围内．在直角坐标平面内，在[0°，360°)范围内没有两个角终边是相同的．(3)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角eq\f(α,n)所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范围，然后对k的取值分情况讨论：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是eq\f(α,n)的终边所落在的区域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[跟踪训练5](1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断eq\f(α,2)的终边所在的象限．解(1)因为α为第三象限角，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，则－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，所以90°－α的终边在第三象限．(2)因为α为第四象限角，所以－90°＋k·360°<α<k·360°，k∈Z，所以－45°＋k·180°<eq\f(α,2)<k·180°，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，－45°＋n·360°<eq\f(α,2)<n·360°，n∈Z，eq\f(α,2)是第四象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，135°＋n·360°<eq\f(α,2)<180°＋n·360°，n∈Z，eq\f(α,2)是第二象限角．综上，可知eq\f(α,2)的终边所在的象限是第二或第四象限．1．下列各角中与225°角终边相同的是()A．585° B．315°C．135° D．45°答案A解析与225°角终边相同的角为α＝225°＋k·360°(k∈Z)，取k＝1，得α＝585°.所以585°与225°终边相同．2．下列各个角中与2020°角终边相同的是()A．－150° B．680°C．320° D．220°答案D解析因为2020°＝360°×5＋220°，所以与2020°角终边相同的角是220°.3．－285°角是第________象限角．答案一解析∵－285°＝－360°＋75°，而75°角是第一象限角，∴－285°角是第一象限角．4.已知角α的终边在如图阴影区域表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是____________________________________.答案{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋135°，k∈Z}解析观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋135°，k∈Z}．5．试写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解终边在直线y＝x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－135°，45°.一、选择题1．下列角中与60°角终边相同的是()A．240° B．440°C．1140° D．1260°答案C解析与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，取k＝3，得α＝1140°.∴与60°角终边相同的角是1140°.2．下列命题正确的是()A．第一象限角都是锐角 B．小于90°的角是锐角C．2020°角是第三象限角 D．2020°角是第四象限角答案C解析对于A，α＝390°位于第一象限，但α＝390°不是锐角，故A错误；对于B，α＝－30°<90°，但α不是锐角，故B错误；对于C，∵2020°＝5×360°＋220°，220°角是第三象限角，∴2020°角是第三象限角，故C正确，D不正确．3．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}答案C解析由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝－97°＋k·360°，k∈Z}．4．在(－360°，0°)范围内与1250°角终边相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°答案C解析与1250°角终边相同的角α＝1250°＋k·360°，k∈Z，因为－360°<α<0°，所以－eq\f(161,36)<k<－eq\f(125,36)，因为k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z答案B解析解法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.解法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.二、填空题6．与2021°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.答案221°－139°解析与2021°角的终边相同的角为2021°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，221°角为最小正角；当k＝－6时，－139°角为绝对值最小的角．7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－150°，则β＝________.答案k·360°＋30°(k∈Z)解析在[0°，360°)范围内与α＝－150°的终边互为反向延长线的角是30°角，所以β＝k·360°＋30°(k∈Z)．8．如果角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.答案270°解析∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∴α＝270°.三、解答题9．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.解(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)，令－1910°－k·360°≥0，解得k≤－eq\f(1910,360)＝－5eq\f(11,36).又k∈Z，故k的最大整数解为k＝－6，求出相应β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．又250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°，故θ＝－110°或－470°.10．写出终边落在下列各图所示阴影部分的角的集合：解(1)终边为OA的角β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角γ＝150°＋k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．(2)因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为OA的角为β＝30°＋k·360°，k∈Z，终边为OB的角为γ＝－210°＋k·360°，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为{α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．1．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限答案A解析由题意知，α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，α在第三象限，当k＝2n，n∈Z时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α在第一象限．∴α所在的象限是第一或第三象限．2．设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.答案{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}解析A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360