1.2 二次函数的图像 2026秋浙教版初中数学九年级上册同步讲义

1.2二次函数的图像内容导航内容导航题型1二次函数的图象题型2二次函数图象与系数的关系题型3二次函数图象上点的坐标特征题型4二次函数的最值题型5待定系数法求二次函数解析式考点演练考点演练题型1二次函数的图象解｜题｜知｜识（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移|b2a|个单位，再向上或向下平移|4ac−【典例1】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【变式1】如图为一次函数y＝ax+b的图象，则二次函数y＝ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则c的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【变式3】已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax﹣b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A． B． C． D．题型2二次函数图象与系数的关系解｜题｜知｜识二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【典例1】对于二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1，当x＜1时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【变式2】抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是．【变式3】如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是．题型3二次函数图象上点的坐标特征解｜题｜知｜识二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（−b2a，①抛物线是关于对称轴x=−b②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=x【典例1】已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3【变式1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（）A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（）A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0【变式3】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（）A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1题型4二次函数的最值解｜题｜知｜识（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b2a时，y（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a时，y（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是．【变式1】当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝ax2﹣4ax+1的最大值为8，则a＝．【变式2】已知k，n均为非负实数，且2k+n＝2，则2k2﹣4n的最小值为．【变式3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为．题型5待定系数法求二次函数解析式解｜题｜知｜识（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【典例1】已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3【变式1】某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x01234ym010﹣3（1）求此二次函数的解析式；（2）表格中的m＝；（3）当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为，最小值为．【变式2】（1）解方程：x2+x＝12；（2）若抛物线y＝ax2+c过点A（0，5），B（5，0），求该抛物线的函数解析式．【变式3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及C点坐标；（2）点D（m，3）是抛物线上一点，且当x≥m时，y的最大值为3，求m的值．过关验收过关验收1．已知二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=aA．a3＜a4＜a1＜a2 B．a4＜a3＜a1＜a2 C．a4＜a3＜a2＜a1 D．a3＜a4＜a2＜a12．在同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2与一次函数y＝mx+m的图象可能是（）A． B． C． D．3．已知二次函数y＝（2﹣a）xa2−3，在其图象对称轴的左侧，y随xA．5 B．±5 C．−5 4．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．5．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞06．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为7．在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＜0 D．m（am+b）≥a+b10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤b2＞4ac．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有（）①abc＜0；②a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣514．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＝0；②b＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；⑤c+8a＜0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（）A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0）18．已知点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 C．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 D．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞019．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝．20．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（用＜号连接）．21．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴交点坐标是．22．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（）A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．523．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72 B．﹣4或23 C．−23或72 24．若3a+b＝30，则2ab的最大值为（）A．﹣75 B．75 C．﹣150 D．15025．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣126．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0 C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值27．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（）A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值28．已知非负数x，y，z满足x+y＝5，z﹣5x＝10，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（）A．4 B．9 C．16 D．1929．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2；②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2；③△BPQ面积的最大值为50cm2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．330．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最小值为n，则n的值是（）A．﹣4 B．5 C．12 D．﹣331．若当﹣4≤x≤2时，二次函数y=12xA．−94 B．2 C．32 D．32．当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的最大值为8，则a＝．33．已知点A（m，2m）（m＞2）是二次函数y＝ax2+k（a＞0）图象上一点，当m﹣4≤x≤m时，二次函数的最大值和最小值分别为6和﹣2，则a的值为．34．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（1，4）是否在此抛物线上．35．已知二次函数y＝2x2+bx+c经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），求二次函数的解析式和最值．36．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（1，﹣2）两点．（1）求二次函数解析式．（2）判断点（3，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由．37．下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值：x…﹣3﹣2﹣103…y…﹣5030…根据上表的数值，解答下列问题：（1）求二次函数的表达式；（2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据．38．已知y=−(m+1)xm2−m+5x39．已知抛物线y＝ax2+2x﹣3上（a是常数）经过点A（1，0）．（1）求二次函数解析式；（2）判断点（2，4）是否在这个二次函数图象上，并说明理由．40．已知二次函数y＝ax2﹣（a﹣2）x+6过点（3，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）当0≤x≤5时，求二次函数的最小值；（3）当t≤x≤t+1时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求t的值．答案解析题型1二次函数的图象【典例1】一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x=−b2a＜0，得b＜0，由直线可知，aB、由抛物线可知，a＞0，x=−b2a＜0，得b＞0，由直线可知，aC、由抛物线可知，a＜0，x=−b2a＜0，得b＜0，由直线可知，aD、由抛物线可知，a＞0，x=−b2a＞0，得b＜0，由直线可知，a故选：B．【变式1】如图为一次函数y＝ax+b的图象，则二次函数y＝ax2+bx在平面直角坐标系中的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由图象可知，一次函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，可得a＞0，b＞0，A．由图象得，a＞0，b＜0，不符合题意；B．由图象得，a＞0，b＞0，符合题意；C．由图象得，a＜0，b＞0，不符合题意；D．由图象得，a＜0，b＜0，不符合题意；故选：B．【变式2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则c的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【答案】B【解答】解：由函数图象可知a+b+c=09a+3b+c=0解得a=−2b=8故选：B．【变式3】已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax﹣b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，由直线可知a＞0，矛盾，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，由直线y＝ax﹣b经过二、三、四象限可知a＜0，b＞0，一致，故B符合题意；C、由二次函数的图象可知a＞0，由直线y＝ax+b可知a＜0，矛盾，故C可排除；D、由二次函数的图象可知a＞0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＜0，由直线y＝ax﹣b经过一、三、四象限可知a＞0，b＞0，矛盾，故D可排除．故选：B．题型2二次函数图象与系数的关系【典例1】对于二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1，当x＜1时，y随x的增大而增大，则满足条件的m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m≥2 C．m≥3 D．m≥4【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝﹣2x2+mx﹣1，∴a＝﹣2＜0，对称轴为直线x=−m∴抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，∵当x＜1时，y随x的增大而增大，∴m4≥1，解得故选：D．【变式1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，下列选项中正确的是（）A．a＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．b＜0【答案】D【解答】解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，a＜0，故A不符合题意；B、当x＝0时，y＝c＞0，故B不符合题意；C、当x＝1时y＝a+b+c＜0，故C不符合题意；D、抛物线的对称轴是直线x=−b2a＜0，由a＜0，得到b故选：D．【变式2】抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，那么k的取值范围是．【答案】k＜1【解答】解：∵抛物线y＝（2k﹣1）x2+3在对称轴的右侧下降，∴抛物线开口向下，∴2k﹣1＜0，解得k＜1故答案为：k＜1【变式3】如果抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，那么m的取值范围是．【答案】m＜1【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+1的图象开口向下，∴m﹣1＜0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．题型3二次函数图象上点的坐标特征【典例1】已知在二次函数y＝2（x﹣1）2+m的图象上有三点，其坐标分别为（﹣1，y1），（0，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y2＝y3 D．y1＝y2＞y3【答案】C【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，且2﹣1＝1﹣0，∴点（0，y2），（2，y3）两点关于对称轴对称，∴y2＝y3；∵点（﹣1，y1）距离对称轴较远，∴y1＞y2，∴y1＞y2＝y3；故选：C．【变式1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣m+6，y2）在抛物线y＝﹣x2﹣mx+4上，若5＜m＜6，则下列判断正确的是（）A．y1＜y2＜4 B．y2＜y1＜4 C．y1＜4＜y2 D．y2＜4＜y1【答案】D【解答】解：由题知，因为二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣mx+4，所以抛物线的对称轴为直线x=−m因为5＜m＜6，所以0＜﹣m+6＜1，−3＜−m则点A在对称轴左侧，点B在对称轴右侧．因为0＜−m2−(−3)＜则点A离对称轴更近，又因为抛物线的开口向下，所以y1＞y2．当x＝0时，y＝4，所以点（0，4）在抛物线上．因为52所以点（0，4）比点A离抛物线远，比点B离抛物线近，所以y2＜4＜y1．故选：D．【变式2】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（）A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0【答案】B【解答】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，∵m＜n，∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c，∴3a+b＞0，∴A选项不符合题意；当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0，∴C、D选项不符合题意；当a＞0时，2a+b＞﹣a，又∵﹣a＜0，∴2a+b＝0是可能的．∴B选项符合题意．故选：B．【变式3】已知点M（m﹣2，n），点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，若t＞4，则n的取值范围是（）A．n＞4或n＜﹣4 B．﹣4＜n＜4 C．n＞1或n＜﹣4 D．﹣4＜n＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵x＝0时，y＝4，∵点N（m，t）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上，且t＞4，∴0＜m＜2，∴﹣2＜m﹣2＜0，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+4＝﹣4，∴n的取值范围是﹣4＜n＜4，故选：B．题型4二次函数的最值【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动．则△PBQ的最大面积是．【答案】4cm2．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝6cm．设运动时间为ts，由题意得0＜t≤3，AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝（4﹣t）cm，∴△PBQ的面积为12∵﹣1＜0，∴当t＝2时，△PBQ的面积有最大值，为4cm2，故答案为：4cm2．【变式1】当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝ax2﹣4ax+1的最大值为8，则a＝．【答案】−74【解答】解：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x=−−4a当a＞0时，在﹣3≤x≤2内，当x＝﹣3时，y取最大值8，代入解析式得：（﹣3）2•a﹣4×（﹣3）•a+1＝8，9a+12a+1＝8，a=1当a＜0时，在﹣3≤x≤2内，当x＝2时，y取最大值8，代入解析式得：22•a﹣4×2•a+1＝8，4a﹣8a+1＝8，a=−7故答案为：−74或【变式2】已知k，n均为非负实数，且2k+n＝2，则2k2﹣4n的最小值为．【答案】﹣8【解答】解：∵2k+n＝2，∴n＝2﹣2k，又k，n均为非负实数，∴2﹣2k≥0，解得：0≤k≤1，则2k2﹣4n＝2k2﹣4（2﹣2k）＝2k2+8k﹣8＝2（k+2）2﹣16，∵a＝2＞0，∴当k＞﹣1时，2k2﹣4n的值随k的增大而增大，∴当k＝0时，2k2﹣4n取得最小值﹣8，故答案为：﹣8．【变式3】二次函数y＝x2﹣2x+3在a≤x≤a+2的范围内的最小值为6，则实数a的值为．【答案】3或﹣3．【解答】解：当y＝6时，有x2﹣2x+3＝6，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值6，分两种情况讨论：若1＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是6，∴a＝3，若a≤x≤a+2＜1时，当x＝a+2时，y的最小值是6，∴a+2＝﹣1，解得a＝﹣3，故a的值为3或﹣3，故答案为：3或﹣3．题型5待定系数法求二次函数解析式【典例1】已知二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2+2x+3【答案】B【解答】解：该二次函数的对称轴为：直线x＝1，则−b解得：b＝﹣2，由条件可得c＝﹣3，故这个二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，故选：B．【变式1】某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x01234ym010﹣3（1）求此二次函数的解析式；（2）表格中的m＝；（3）当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为，最小值为．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）﹣3；（3）1，﹣8．【解答】解：（1）观察表格中的x、y的值，可知（1，0）、（3，0）是对称点，所以抛物线的对称轴是直线x＝2，所以顶点坐标为（2，1），设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将（4，﹣3）代入解析式中：﹣3＝a（4﹣2）2+1，解得a＝﹣1，所以这个二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3；（2）当x＝0时，y＝﹣3，∴m＝﹣3，故答案为：﹣3；（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，在﹣1≤x≤3中，2﹣（﹣1）＞3﹣2，当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，∴当﹣1≤x≤3，则二次函数y的最大值为1，最小值为﹣8，故答案为：1，﹣8．【变式2】（1）解方程：x2+x＝12；（2）若抛物线y＝ax2+c过点A（0，5），B（5，0），求该抛物线的函数解析式．【答案】（1）x1＝﹣4，x2＝3；（2）y=−1【解答】解：（1）x2+x＝12，整理得x2+x﹣12＝0，因式分解得（x+4）（x﹣3）＝0，∴x+4＝0，x﹣3＝0，解得x1＝﹣4，x2＝3；（2）由题意可得：c=525a+c=0解得a=−1∴该抛物线的函数解析式为y=−1【变式3】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及C点坐标；（2）点D（m，3）是抛物线上一点，且当x≥m时，y的最大值为3，求m的值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；点C的坐标为（0，3）；（2）m＝2．【解答】解：（1）将A，B两点坐标代入函数解析式得：−1−b+c=0−9+3b+c=0解得b=2c=3所以抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；令x＝0得，y＝3，所以点C的坐标为（0，3）；（2）将y＝3代入函数解析式得：﹣x2+2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝2，即m＝0或2．又因为当x≥m时，y的最大值为3，且抛物线的顶点坐标为（1，4），所以m＝2．过关验收过关验收1．已知二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=aA．a3＜a4＜a1＜a2 B．a4＜a3＜a1＜a2 C．a4＜a3＜a2＜a1 D．a3＜a4＜a2＜a1【答案】C【解答】解：∵由图象可知y1=a1x2，∴a1＞a2＞0，∵由图象可知y3=a3x2，∴|a4|＞|a3|，又a4＜0，a3＜0，∴a4＜a3＜0，∴a4＜a3＜a2＜a1，故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意；故选：C．2．在同一坐标系中，二次函数y＝（x﹣m）2与一次函数y＝mx+m的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝mx+m＝m（x+1），∴一次函数的图象过点（﹣1，0），故选项A、D不合题意；B、由一次函数y＝mx+m的图象可得：m＜0，此时二次函数y＝（x﹣m）2的顶点（m，0），m＞0，矛盾，故不合题意；C、由一次函数y＝mx+m的图象可得：m＞0，此时二次函数y＝（x﹣m）2的顶点（m，0），m＞0，一致，故符合题意；故选：C．3．已知二次函数y＝（2﹣a）xa2−3，在其图象对称轴的左侧，y随xA．5 B．±5 C．−5 【答案】C【解答】解：由二次函数定义可知a2﹣3＝2且2﹣a＞0，解得a=−5故选：C．4．二次函数y＝ax2+2ax+b与一次函数y＝ax+b（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+b，∴对称轴为直线x=−2a2a=−1，故B∵当x＝0时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b，∴二次函数与一次函数交于y轴上的点（0，b），故C不符合题意，A符合题意．故选：A．5．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（）A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k∴顶点为（﹣m，k），∵顶点在第四象限，∴﹣m＞0，k＜0，∴m＜0，k＜0，故选：A．6．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，CD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿C→B→A的方向匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为ts，正方形DPEF的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段AC的长为【答案】42．【解答】解：在Rt△PCD中，CD=2，PC＝t∴S＝PD2＝t2+（2）2＝t2+2，当S＝6时，6＝t2+2，解得：t＝2（取正值），∴BC＝2，∴图2中的抛物线经过点（2，6），由图象知，图2中的抛物线顶点为（4，2），∴设抛物线解析式为：S＝a（t﹣4）2+2，将（2，6）代入，得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1，∴S＝（t﹣4）2+2，当S＝18时，18＝（t﹣4）2+2，解得t＝8或t＝0（舍去），∴AB＝t﹣2＝8﹣2＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2−BC故答案为：42．7．在同一坐标系中画出y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标．【答案】见试题解答内容【解答】解：y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x2的图象，如图：，y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位得y＝﹣2x2+1的函数图象；y＝﹣2x2的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0）y＝﹣2x2+1的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1）．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论，正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：①根据抛物线的对称轴位于y轴右侧知：a、b异号，则ab＜0．由抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故该结论错误；②由该抛物线的对称轴是直线x＝1知，x=−b2a=1，则2a故该结论正确；③由该抛物线与x轴有两个交点知：Δ＝b2﹣4ac＞0．故该结论正确；④根据图示知：当x＝﹣1时，y＞0，则a﹣b+c＞0．故该结论正确；综上所述，正确的结论有3个．故选：B．9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A．abc＞0 B．2a+b＝0 C．a﹣b+c＜0 D．m（am+b）≥a+b【答案】C【解答】解：∵图象开口向上，∴a＞0．∵对称轴为直线x=1=−b∴2a+b＝0，b＝﹣2a＜0，选项B正确；当x＝2时，y＜0，∴当x＝0时，y＜0．∴c＜0．∴abc＞0，选项A正确；当x＝3时，y＞0，∴当x＝﹣1时，y＞0．∴a﹣b+c＞0，选项C错误；当x＝1时，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）取最小值，∴am2+bm+c≥a+b+c，即m（am+b）≥a+b，选项D正确，故选：C．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②当﹣1＜x＜3时，y＞0；③a﹣b+c＜0；④3a+c＜0；⑤b2＞4ac．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：由图可知抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，对称轴为直线x＝1，∴a＜0，c＞0，−b∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间，∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在﹣1和0之间，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0不一定成立，也可能y＜0，故②错误；当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故③正确；∵b＝﹣2a，∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；∵抛物线与x轴的有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确．综上，正确的结论有4个．故选：D．11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b＝0；④a+b+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解答】解：①由条件可知b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；②∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，②正确；③∵−b∴2a+b＝0，③错误；④∵x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，④正确；⑤当x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，⑤正确，∴正确的有①②④⑤共4个，故选：D．12．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．则下列结论正确的有（）①abc＜0；②a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≤m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线对称轴为直线x=−b∴b＝﹣2a，∴a+b＝a﹣2a＝﹣a＜0，故②错误；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最小值为：a+b+c，∴m为任意实数时，a+b+c≤am2+bm+c，则a+b≤m（am+b），故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确；⑤∵ax∴ax∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有③④⑤，共3个．故选：B．13．“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（）A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5【答案】A【解答】解：将二次函数解析式配方为顶点式得：y＝（x+1）2+m+4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4），∵抛物线只经过两个象限，∴m+4≥0，∴m≥﹣4，故选：A．14．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＝0；②b＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：由图象可得，∵开口向下，∴a＜0，∵x=−3∴b＝3a＜0，故②错误，∴a＞b，故③正确，∵过（0，0）点，∴c＝0，∴abc＝0①正确，∵函数与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故④正确，故选：C．15．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c【答案】A【解答】解：由二次函数y＝ax2的性质知，（1）抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定．|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．（2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定．当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方；当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方．根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d．故选：A．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（）①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；⑤c+8a＜0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，∴a＜0，c＞0，−b即2a+b＝0，b＞0，∴abc＜0，故①②正确；∵抛物线的图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③错误；∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），∴另一个交点坐标是（3，0），即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；∵2a+b＝0，即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，∵a＜0，∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；即正确的有3个，故选：C．17．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（）A．（0，1） B．（0，﹣2） C．（1，0） D．（﹣2，0）【答案】A【解答】解：在抛物线y＝x2﹣2x+1中，当x＝0时，y＝1，∴抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（0，1），故选：A．18．已知点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，则下列判断正确的是（）A．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 C．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 D．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0【答案】C【解答】解：当y＝0时，x1＝﹣n，x2＝﹣n﹣1，∴二次函数的图象与x轴的两个交点为（﹣n，0），（﹣n﹣1，0），∵点A（m﹣1，y1），B（m+1，y2）在二次函数y＝a（x+n）（x+n+1）（a≠0，n为常数）的图象上，∴当a＞0时，若y1＜0，则﹣1﹣n＜m﹣1＜﹣n，得﹣n＜m＜1﹣n，∴m+1的取值范围是﹣n+1＜m+1＜2﹣n，当﹣1﹣n＜m+1＜﹣n时，则y2＜0，当m+1≥﹣n时，则y2＞0，故选项B错误，不符合题意；当a＞0时，若y1＞0，则m﹣1＜﹣1﹣n或m﹣1＞﹣n，得m＜﹣n或m＞1﹣n，∴m+1＜﹣n+1或m+1＞2﹣n，当m+1＜﹣n+1时，y2可能大于0也可能小于0，当m+1＞2﹣n时，则y2＞0，故选项D错误，不符合题意；当a＜0时，若y1＜0，则m﹣1＜﹣n﹣1或m﹣1＞﹣n，得m＜﹣n或m＞﹣n+1，∴m+1＜﹣n+1或m+1＞﹣n+2．则y2不能确定正负，故选项A错误，不符合题意；当a＜0时，若y1＞0，则﹣n﹣1＜m﹣1＜﹣n，得﹣n＜m＜﹣n+1，∴m+1的取值范围是﹣n+1＜m+1＜﹣n+2，则y2＜0，故选项C正确，符合题意；故选：C．19．如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），则m﹣n＝．【答案】1【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N，如图所示．∵点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，且A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），∴点A的坐标为（m，﹣m2+4），点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴AM＝m，CN＝n．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°．∵∠CDN+∠DCN＝90°，∠CDN+∠ADM＝180°﹣90°＝90°，∴∠DCN＝∠ADM．在△ADM和△DCN中，∠AMD=∠DNC=90°∠ADM=∠DCN∴△ADM≌△DCN（AAS）．∴DN＝AM＝m，DM＝CN＝n．∴MN＝DN+DM＝m+n＝（﹣n2+4）﹣（﹣m2+4）＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．∴m﹣n＝1．故答案为：1．20．若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（用＜号连接）．【答案】y1＜y3＜y2．【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣x2+6x+c，∴对称轴是直线x=−6又∵抛物线开口向下，∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又∵3﹣（﹣1）＝4＞5﹣3＝2＞3﹣2＝1，∴y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．21．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴交点坐标是．【答案】（0，2）．【解答】解：将x＝0代入解析式得：y＝﹣（﹣1）2+3＝2，∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）．22．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，y的最小值为﹣4，则m的值为（）A．﹣2或10 B．10或2 C．2 D．5【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（﹣3，0），代入，得0＝9﹣3m+n，即3m﹣9＝n，二次函数对称轴为直线x=−b然后分情况讨论：①对称轴为直线x=−m2≤−此时在﹣3≤x≤0上，y随x的增大而增大，∴当x＝﹣3时，y有最小值0，不符合题意，舍去；②对称轴为直线x=−m2满足﹣3＜−m此时二次函数的顶点在﹣3≤x≤0范围内，顶点的纵坐标为最小值﹣4，二次函数顶点纵坐标公式为y=4ac−b24a，将a＝1，b＝m，可得（m﹣2）（m﹣10）＝0，解得m＝2或m＝10，∵0＜m＜6，∴m＝2；③对称轴为直线x=−m2≥此时在﹣3≤x≤0上y随x的增大而减小，∴当x＝0时，y有最小值3m﹣9，令3m﹣9＝4，解得m=5故答案为m＝2，故选：C．23．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3，那么m的值是（）A．﹣4或72 B．﹣4或23 C．−23或72 【答案】B【解答】解：∵y＝﹣x2+mx在﹣1≤x＜2时的最大值为3，∵﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线：x=m距离对称轴越近的点纵坐标越大，即函数值越大，当﹣1＜m2＜当x=m2时，y＝3，∴−m当m2＜−1时，当x＝﹣1时，y＝3，∴﹣1﹣m＝3，故m＝﹣4或23，故选：B．24．若3a+b＝30，则2ab的最大值为（）A．﹣75 B．75 C．﹣150 D．150【答案】D【解答】解：由条件可知b＝30﹣3a，∴2ab＝2a×（30﹣3a）＝﹣6a2+60a＝﹣6（a﹣5）2+150，∴2ab＝﹣6（a﹣5）2+150≤150，∴2ab的最大值为150，故选：D．25．当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，则实数a的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．﹣5或﹣1 D．﹣3或﹣1【答案】C【解答】解：当a≤x≤a+2时，二次函数y＝x2+4x+2的最小值为﹣1，当y＝﹣1时，有x2+4x+2＝﹣1，∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．∵y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2），当x＜﹣2时，y随x的增大而减少，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，∵当a≤x≤a+2时，函数有最小值﹣1，若﹣2＜a≤x≤a+2时，当x＝a时，y的最小值是﹣1，∴a＝﹣1；若a≤x≤a+2＜﹣2时，当x＝a+2时，y的最小值是﹣1，∴a+2＝﹣3，a＝﹣5，故选：C．26．已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值﹣1，有最大值0 C．有最小值﹣1，有最大值3 D．有最小值﹣1，无最大值【答案】C【解答】解：观察图象可得：当x＝1时，函数有最小值﹣1；当x＝3时，函数有最大值3．故选：C．27．甲、乙两个二次函数分别为y＝（x+10）2+30、y＝﹣（x﹣20）2+30，判断下列叙述正确的是（）A．当x＝10时，甲有最大值 B．当x＝10时，甲有最小值 C．当x＝20时，乙有最大值 D．当x＝20时，乙有最小值【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝（x+10）2+30中，a＝1＞0，∴当x＝﹣10时，甲有最小值，∴A、B错误；∵二次函数y＝﹣（x﹣20）2+30中，a＝﹣1＜0，∴当x＝20时，乙有最大值，∴C正确、D错误，故选：C．28．已知非负数x，y，z满足x+y＝5，z﹣5x＝10，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（）A．4 B．9 C．16 D．19【答案】B【解答】解：∵x+y＝5，z﹣5x＝10，∴y＝5﹣x，z＝10+5x，∵y，z都是非负数，∴5−x≥0①10+5x≥0②解不等式①得，x≤5，解不等式②得，x≥﹣2，∴﹣2≤x≤5，又∵x是非负数，∴0≤x≤5，s＝﹣x2+y+z＝﹣x2+5﹣x+10+5x＝﹣（x﹣2）2+19，∴对称轴为直线x＝2，∴x＝5时，最小值b＝﹣（5﹣2）2+19＝10，x＝2时，最大值a＝19，∴a﹣b＝19﹣10＝9．故选：B．29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2；②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2；③△BPQ面积的最大值为50cm2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，∴S△PBQ=12BP•BQ=12×（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，∵﹣2＜0，∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误；当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确；令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0，解得t＝2或8，∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确；故选：C．30．已知非负数a，b，c满足a+b＝3且c﹣3a＝﹣6，设y＝a2+b+c的最小值为n，则n的值是（）A．﹣4 B．5 C．12 D．﹣3【答案】B【解答】解：∵a+b＝3，c﹣3a＝﹣6，∴b＝3﹣a，c＝3a﹣6，∵b，c都是非负数，∴3−a≥0①3a−6≥0②解不等式①得，a≤3，解不等式②得，a≥2，∴2≤a≤3，y＝a2+b+c＝a2+（3﹣a）+3a﹣6，＝a2+2a﹣3，∴对称轴为直线a=−2当2≤a≤3时，y随a的增大而增大，∴a＝2时，最小值n＝22+2×2﹣3＝5，故选：B．31．若当﹣4≤x≤2时，二次函数y=12xA．−94 B．2 C．32 D．【答案】B【解答】解：∵y=12x2﹣mx+1=12（x﹣m）2+（∴图象的对称轴为直线x＝m，当0＜m≤2时，抛物线开口向上，∴当x＝m时，y有最小值，y最小=−12m解得m=2当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴x＝2时，y有最小值，y最小=12（2﹣m）2+（−1解得m=3综上，m=2故选：B．32．当﹣3≤x≤2时，二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的最大值为8，则a＝．【答案】−74或【解答】解：二次函数y＝a（x﹣2）2+1﹣4a（a≠0）的对称轴为直线x＝2，当a＞0时