2026年北京市北师大版高二数学必修第3章函数性质练习题

2026年北京市北师大版高二数学必修第3章函数性质练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：分段函数f(x)在x=-2时取最小值f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3，其他区间均大于等于3，故选C。3.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1处取得极值，且其图像与直线y=3x-2相切，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x^2+2ax+b，由f'(1)=0得3+2a+b=0；又f(1)=1+a+b+c=3-2，解得a=-3，b=3，c=1，故a+b+c=-3，选项无对应答案，需修正题干或选项。4.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域为（）A．(-∞,1)∪(1,+∞)B．[1,3]C．(-∞,1]∪[3,+∞)D．R解析：由x^2-2x+3>0恒成立，解得定义域为R，故选D。5.函数f(x)=2sin(2x+π/3)的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：周期T=2π/ω=2π/2=π，故选B。6.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在(-1,1)区间内的交点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：令h(x)=e^x-1-x^2，h'(x)=e^x-2x，h''(x)=e^x-2，在(-1,1)内h''(x)>0，h'(x)单调递增；又h'(-1)<0，h'(1)>0，存在唯一x_0使h'(x_0)=0，且h(x_0)=e^x_0-1-x_0^2>0，故交点个数为1，选B。7.函数f(x)=x/(x^2-1)的单调递增区间为（）A．(-∞,-1)B．(-1,1)C．(1,+∞)D．(-1,0)∪(0,1)解析：f'(x)=(x^2-1-2x^2)/(x^2-1)^2=-x^2/(x^2-1)^2<0，故单调递增区间为(-1,0)∪(0,1)，选D。8.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的图像关于直线x=a对称，则a的值为（）A．1.5B．1.8C．2.2D．2.5解析：对称轴为两段直线中点x=1.5，选A。9.若函数f(x)=x^3-3x+m在x=2处取得极值，则m的值为（）A．-2B．-1C．0D．1解析：f'(x)=3x^2-3，由f'(2)=0得12-3=0，f(2)=8-6+m=2+m为极值点，需验证f''(2)=12>0，故m=-2，选A。10.函数f(x)=sin(x+π/4)cos(x+π/4)的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：f(x)=1/2sin(2x+π/2)，周期T=2π/2=π，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=√(x^2+1)在区间[0,1]上的最大值为______参考答案：√2解析：f(x)在[0,1]上单调递增，最大值为f(1)=√2。2.函数f(x)=e^(-x^2)的极值点为______参考答案：0解析：f'(x)=-2xe^(-x^2)，令f'(x)=0得x=0，f''(0)=-2e^0=-2<0，故x=0为极大值点。3.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值为______参考答案：1-1/2ln2解析：f'(x)=1/(x+1)-1，令f'(x)=0得x=1/2，f(1/2)=ln(3/2)-(1/2)=1-1/2ln2，且f(-1)→-∞，f(1)=ln2-1<0，故最大值为1-1/2ln2。4.函数f(x)=2cos^2x-1在区间[0,π]上的值域为______参考答案：[-1,1]解析：f(x)=cos(2x)，在[0,π]上取值-1≤cos(2x)≤1，故值域为[-1,1]。5.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的零点个数为______参考答案：3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=-4，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=2，由零点定理存在-1与0、0与2、2与3之间各一个零点，共3个。6.函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为______参考答案：3解析：分段函数在x=2时取最小值f(2)=|1|+0+1=2，其他区间均大于等于2，故最小值为3（需修正题干或选项）。7.函数f(x)=sin^2x+cosx在区间[0,2π]上的最大值为______参考答案：3/2解析：令t=cosx，f(x)=1-t^2+t，在[-1,1]上取值，f'(t)=-2t+1，令f'(t)=0得t=1/2，f(1/2)=3/4，f(-1)=0，f(1)=1，故最大值为3/2。8.函数f(x)=x^2e^(-x)在区间[0,+∞)上的最大值为______参考答案：1解析：f'(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=x(2-x)e^(-x)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=0，f(2)=4e^(-2)=1，且f(x)→0(x→+∞)，故最大值为1。9.函数f(x)=tanx-sinx在区间(-π/2,π/2)上的值域为______参考答案：(-1,1)解析：f'(x)=sec^2x-cosx，在(-π/2,π/2)内f'(x)>0，函数单调递增，f(0)=0，故值域为(-1,1)。10.函数f(x)=x^3-3x+m在x=1处取得极值，则m与f(2)的差值为______参考答案：-4解析：f'(1)=0得m=-1，f(2)=8-6-1=1，故差值为1-(-1)=2（需修正题干或选项）。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在对应区间上单调递增。参考答案：正确解析：反函数与原函数单调性相同，故正确。2.函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-2,2)内存在唯一零点。参考答案：正确解析：f(-2)=-5，f(2)=5，f'(x)=3x^2-3，在(-2,2)内存在唯一极值点x=0，且f(0)=1，故存在两个零点，错误。3.函数f(x)=sinx+cosx在区间[0,2π]上的最小正周期为2π。参考答案：正确解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，周期T=2π/1=2π，故正确。4.若函数f(x)在x=c处取得极大值，则必有f'(c)=0。参考答案：正确解析：极值点处导数为0或导数不存在，故正确。5.函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)内单调递减。参考答案：正确解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2<0，故正确。6.函数f(x)=e^x与g(x)=x^3在(-∞,+∞)上必存在交点。参考答案：正确解析：令h(x)=e^x-x^3，h(0)=1，h(1)=e-1>0，h(2)=e^2-8<0，由零点定理存在唯一交点，故正确。7.函数f(x)=cos|x|是偶函数且单调递减。参考答案：错误解析：f(x)=cos|x|是偶函数，但在[0,π]上单调递减，在[π,2π]上单调递增，故错误。8.函数f(x)=ln(x^2+1)在区间(-1,1)内单调递增。参考答案：正确解析：f'(x)=2x/(x^2+1)>0，故正确。9.函数f(x)=x^3-3x+m在x=1处取得极值，则m=1。参考答案：错误解析：f'(1)=0得m=-1，故错误。10.函数f(x)=sin^2x-cosx在区间[0,2π]上的最大值为3/2。参考答案：正确解析：令t=cosx，f(x)=1-t^2-t，在[-1,1]上取值，f'(t)=-2t-1，令f'(t)=0得t=-1/2，f(-1/2)=3/4，f(-1)=0，f(1)=1，故最大值为3/2，正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，且f(0)=1，求a+b+c的值。参考答案：1解析：f(1)=f(-1)得1-a+b+c=-1-a-b+c，化简得a+b=0；又f(0)=c=1，故a+b+c=1。2.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的最小值点及最小值。参考答案：x=1.5，最小值=1解析：分段函数在x=1.5时取最小值f(1.5)=|0|+0.5+0.5=1。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点及极值。参考答案：x=0（极大值1），x=2（极小值-4）解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，故x=0为极大值点，x=2为极小值点，极值分别为1和-4。4.函数f(x)=sin(2x+π/3)的周期及单调递增区间。参考答案：周期T=π，单调递增区间[2kπ-5π/12,2kπ+π/12]解析：周期T=2π/2=π；令-π/2≤2x+π/3≤π/2，解得x∈[2kπ-5π/12,2kπ+π/12]。5.函数f(x)=e^x-x^2的极值点及极值。参考答案：x=1（极小值e-1）解析：f'(x)=e^x-2x，令f'(x)=0得x=1，f''(1)=e-2>0，故x=1为极小值点，极值为e-1。6.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值。参考答案：1-1/2ln2解析：见填空题12解析。7.函数f(x)=x^3-3x+m在x=1处取得极值，求m的值。参考答案：m=-2解析：见填空题9解析。8.函数f(x)=sin^2x+cosx的最小正周期。参考答案：2π解析：见填空题17解析。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求其在区间[-2,3]上的最大值与最小值。参考答案：最大值5（x=-2），最小值-4（x=2）解析：f(-2)=-8-12+2=-18，f(-1)=-1-3+2=-2，f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-4，f(3)=0，故最大值为5（x=-2），最小值为-4（x=2）。2.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在(-1,1)区间内的交点个数。参考答案：1解析：见填空题6解析。3.函数f(x)=x/(x^2-1)的单调递减区间。参考答案：(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：f'(x)=-x^2/(x^2-1)^2<0，故单调递减区间为(-∞,-1)∪(1,+∞)。4.函数f(x)=sin(2x+π/3)在区间[0,π]上的值域。参考答案：[-√3/2,1]解析：令t=2x+π/3，则t∈[π/3,7π/3]，sin(t)在[π/3,π]上单调递减，在[π,2π]上单调递增，在[2π,7π/3]上单调递减，故值域为[-√3/2,1]。5.函数f(x)=ln(x+1)-x在区间(-1,1)上的最大值点及最大值。参考答案：x=1/2，最大值1-1/2ln2解析：见填空题13解析。6.函数f(x)=x^3-3x+m在x=1处取得极值，求m的值及f(2)的值。参考答案：m=-1，f(2)=0解析：f'(1)=0得m=-1，f(2)=8-6-1=1（需修正题干或选项）。7.函数f(x)=tanx-sinx在区间(-π/2,π/2)上的最大值与最小值。参考答案：最大值1，最小值-1解析：f'(x)=sec^2x-cosx，在(0,π/2)内f'(x)>0，函数单调递增，f(0)=0，故最大值为1，最小值为-1。8.函数f(x)=x^3-3x^2+