群论基础期末试题及答案分享

群论基础期末试题及答案分享考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空3分，共30分）1.设G是一个群，a,b∈G，若a⁴b=e且b⁻¹a⁴=e，则a²b⁻¹=________。2.群G的一个子集H是G的子群当且仅当H非空且对G中的运算________。3.设G是一个有限群，|G|=n，若a∈G，则a的阶|a|必是n的________。4.循环群{aᵏ|k∈Z}的生成元是________。5.置换群S₃的阶为________，其中包含________个元素，它包含________个子群。6.设G是一个群，a,b是G中的任意元素，则(ab)⁻¹=________，(a⁻¹)ⁿ=________。7.由n个元素组成的集合S的所有置换组成的群记作________，它的阶为________。8.设G是一个群，H和K是G的子群，则H∩K也是G的________。9.设G是一个群，a是G中的一个非单位元，则由a生成的循环子群⟨a⟩=________。10.若群G的每一个子群都是G的正规子群，则G是________。二、判断题（对的打√，错的打×，每题3分，共18分）1.每个群都至少有两个子群。()2.阶为偶数的有限群中，必存在阶为2的元素。()3.若G是阿贝尔群，H是G的子群，则H也是阿贝尔群。()4.若G是一个群，a,b是G中的元素，且ab=ba，则a和b可交换。()5.有限群G的子群的阶必定整除G的阶。()6.若群G包含一个阶为n的元素，则G必是阶为n的循环群。()三、计算题（共42分）1.（10分）设G是一个群，a,b∈G，且满足a²=b²=(ab)³=e。证明：a=b=e。2.（10分）设G={a,b,c,d}是一个群，运算表如下：||a|b|c|d||||||||a|a|b|c|d||b|b|c|d|a||c|c|d|a|b||d|d|a|b|c|求G的阶，判断G是否是阿贝尔群，并找出G的所有子群。3.（10分）设G是一个群，H和K是G的子群，且H≤G,K≤G。证明：HK={hk|h∈H,k∈K}是G的子群当且仅当HK=KH。4.（12分）设G是一个群，a是G中的一个元素，其阶为6。记⟨a⟩={e,a,a²,a³,a⁴,a⁵}。求子群⟨a⟩的所有子群，并写出每个子群的阶。四、证明题（共30分）1.（15分）设G是一个群，a∈G且a≠e。证明：a和a⁻¹有相同的阶。2.（15分）设G是一个群，H是G的一个子群。证明：如果H是G的正规子群，则对任意g∈G，gHg⁻¹=H。试卷答案一、填空题1.b⁻¹2.封闭性，结合性3.整数4.a或a⁻¹5.6，6，46.b⁻¹a⁻¹，a⁻ⁿ7.Sₙ，n!8.子群9.{aᵏ|k∈Z}10.阿贝尔群二、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.×三、计算题1.证明：由a²=e，得a⁻¹=a。由(ab)³=e，得ababab=e。两边右乘b⁻¹，得aba²b²=b⁻¹。由a²=e，得abab=b⁻¹。两边右乘b，得aba=e。由a⁻¹=a，得b²a=a。两边右乘a⁻¹，得b²=e。于是abab=b⁻¹=b²=e。两边右乘b⁻¹，得aba=b⁻¹b⁻¹=b⁻²。由a⁻¹=a，得a²b=b⁻²。由a²=e，得eb=b⁻²。即b=b⁻²。两边右乘b，得b²=b⁻¹。由b²=e，得e=b⁻¹。即b=e。将b=e代入a²=b²=e，得a²=e。由a⁻¹=a，得a=e。综上，a=b=e。2.解：由运算表可知，G中有4个元素，运算封闭且结合性显然（由运算是群定义的一部分保证）。单位元为a。a的阶为4，b的阶为4，c的阶为4，d的阶为4。由于ab=b,bc=d,cd=a,da=b，故G不是阿贝尔群。子群：{e}是平凡子群。{e,b}是子群，阶为2。{e,c}是子群，阶为2。{e,d}是子群，阶为2。{e,a,b,c,d}即G本身也是子群，阶为4。共5个子群。3.证明：必要性。假设HK=KH。任取hk∈HK，其中h∈H,k∈K。则存在h'∈H,k'∈K，使得hk=h'k'。需要证明kh∈HK。由hk=h'k'，得kh=h'k'k⁻¹h⁻¹。由于H≤G，k'k⁻¹∈K，h⁻¹∈H，h'∈H，故h'k'k⁻¹h⁻¹∈HK。因此kh∈HK。又任取h₁k₁∈HK，其中h₁∈H,k₁∈K。则kh₁=h(k₁h₁⁻¹)k₁⁻¹。由于H≤G，k₁h₁⁻¹∈H，h∈H，故kh₁∈HK。因此HK={hk|h∈H,k∈K}是G的子群。充分性。假设HK是G的子群。任取hk₁,hk₂∈HK，其中h₁,h₂∈H,k₁,k₂∈K。由于HK是子群，有hk₁(hk₂)⁻¹∈HK。即hk₁(k₂)⁻¹h⁻¹∈HK。存在h'∈H,k'∈K，使得hk₁(k₂)⁻¹h⁻¹=h'k'。两边右乘k₂，得hk₁h⁻¹=h'k'k₂。由于h₁h⁻¹∈H,k'k₂∈K，故hk₁h⁻¹∈HK。因此hk₁h⁻¹=h''k''，h''∈H,k''∈K。即h₁k₁h⁻¹=h''k''。两边右乘h⁻¹，得k₁h₁=h''h⁻¹k''。由于h''h⁻¹∈H,k''∈K，故k₁h₁∈HK。因此HK=KH。4.解：子群⟨a⟩={e,a,a²,a³,a⁴,a⁵}。阶为6。子群个数必为6的约数：1,2,3,6。当子群阶为1时，只有{e}。当子群阶为2时，需找阶为3的元素。a³≠e,a⁶=(a³)²=e。故a³的阶为3。⟨a³⟩={e,a³,a⁶}={e,a³}。当子群阶为3时，需找阶为2的元素。a²≠e,a⁴≠e,a⁶=e。a⁻¹=a⁵。a⁵≠e,a⁸=(a⁵)²=e。故a⁵的阶为2。⟨a⁵⟩={e,a⁵}。此时已找到阶为1,2,3的子群。当子群阶为6时，即为⟨a⟩本身。共有4个子群：{e},⟨a³⟩={e,a³},⟨a⁵⟩={e,a⁵},⟨a⟩={e,a,a²,a³,a⁴,a⁵}。它们的阶分别为1,3,2,6。四、证明题1.证明：设a的阶为m，即am=e且m为最小的正整数。由a⁻¹(am)=a⁻¹e，得(a⁻¹a)m=a⁻¹。即em=a⁻¹。由em=e，得a⁻¹=e。设a⁻¹的阶为n，即an⁻¹=e且n为最小的正整数。由(a⁻¹)⁻¹(a⁻¹)ⁿ=(a⁻¹)⁻¹e，得a(an⁻¹)=(a⁻¹)⁻¹。即am⁻¹=a⁻¹⁻¹=a。两边右乘a⁻¹，得am⁻¹a⁻¹=a⁻¹。即am=e。这与a的阶为m矛盾，除非n=m。因此a和a⁻¹有相同的阶。2.证明：任取x∈gHg⁻¹，则存在h∈H,k∈K，使得x=ghg⁻¹。任取y∈H，则y∈gHg⁻¹，因为y=geg⁻¹=g(g⁻¹g)yg⁻¹=g(eyg)g⁻¹=g(y)g⁻¹。因此gHg⁻¹非空。任取x₁,x₂∈gHg⁻¹，则x₁=gh₁g⁻¹,x₂=gh₂g⁻¹，其中h₁,h₂∈H