2026年教资高中数学《函数性质》知识单套全真模考卷解析

2026年教资高中数学《函数性质》知识单套全真模考卷解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：下列每题有且只有一个选项符合题意，请将正确选项的字母填在答题卡相应位置。1.函数f(x)=|x|+1的定义域是().A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,1]C.(-∞,+∞)D.[-1,+∞)2.函数g(x)=√(x-1)的值域是().A.[0,+∞)B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)3.若函数h(x)=x³在区间(a,b)上单调递增，则实数a,b的关系一定满足().A.a<b且a<0<bB.a<b且0∈(a,b)C.a<b且a,b同号D.a<b且ab≥04.函数f(x)=-x²+2x+3的图像的对称轴方程是().A.x=-1B.x=1C.x=-2D.x=25.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期是().A.πB.2π/3C.π/2D.π/36.函数f(x)=x²-4x+3的图像关于y轴对称，则f(x)是().A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数7.函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值是().A.1B.8C.10D.-88.函数y=log₃(x²-2x+1)的定义域是().A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.[0,2]D.(-∞,1]∪[1,+∞)9.函数f(x)=2|x|-1的图像关于().A.x轴对称B.y轴对称C.原点对称D.直线y=x对称10.设函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得极大值-1，则a+b的值是().A.-1B.0C.1D.2二、多项选择题：下列每题有多个选项符合题意，请将正确选项的字母填在答题卡相应位置。多选、错选、漏选均不得分。1.下列函数中，定义域为R的是().A.f(x)=√(x²)B.f(x)=|x-1|C.f(x)=1/(x²+1)D.f(x)=logₓ(x²-1)2.若函数f(x)=sin(x+ω)+1在其定义域内是偶函数，则ω可能取值为().A.πB.π/2C.3π/2D.2kπ,k∈Z3.函数y=x²-2x+1的图像具有以下性质().A.对称轴为x=1B.在区间(-∞,1)上单调递减C.在区间(1,+∞)上单调递增D.与x轴有且仅有一个交点4.函数f(x)=x³-3x+1在x=0处().A.取得极值B.函数图像有拐点C.导数f'(0)=0D.函数值f(0)=15.若函数g(x)=(1/x)-|x|在区间(0,1)上，则下列说法正确的是().A.函数g(x)有定义B.函数g(x)单调递减C.函数g(x)的值域为(-∞,-1)D.函数g(x)的图像关于原点对称6.函数y=e^x在其定义域内().A.是增函数B.是奇函数C.值域为(0,+∞)D.是有理函数三、解答题：请按题目要求作答，解答应当写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.求函数f(x)=√(3-x)+√(x+1)的定义域。2.讨论函数g(x)=|x-2|+|x+1|的奇偶性，并画出其图像的示意图（无需精确绘制，展示关键特征即可）。3.已知函数h(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π/2，且当x=π/4时取得最小值-1。(1)求ω和φ的值（φ的取值范围限制在[-π,π]）。(2)求函数h(x)在区间[0,π]上的单调递增区间。4.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-5在x=1处的切线方程为y=9x-5。(1)求实数a和b的值。(2)判断函数f(x)在区间(-∞,3)上是否存在极值，若存在，求出极值点及对应的极值；若不存在，请说明理由。5.设函数F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)=x²-4x+3，g(x)=|2x-1|。(1)求函数F(x)的解析式。(2)讨论函数F(x)在区间[0,3]上的单调性。试卷答案一、单项选择题1.C解析：函数f(x)=|x|+1中，|x|定义域为R，常数1定义域为R，故f(x)的定义域为R∩R=R。2.C解析：函数g(x)=√(x-1)中，被开方数x-1需满足x-1≥0，即x≥1。当x≥1时，√(x-1)的取值范围是[0,+∞)。故值域为[1,+∞)。3.C解析：函数h(x)=x³是奇函数，其图像关于原点对称。奇函数在其定义域内任意区间上单调性一致。若h(x)在区间(a,b)上单调递增，则a,b必须同号（均在x轴左侧或均在x轴右侧），才能保证在该区间上保持同向变化。4.B解析：函数f(x)=-x²+2x+3是二次函数，其图像是开口向下的抛物线。对称轴方程为x=-b/(2a)=-2/(2*(-1))=1。5.A解析：正弦函数y=sin(x)的最小正周期为2π。对于y=sin(ωx+φ)，其最小正周期为T=2π/|ω|。题目中T=2π/3，故|ω|=3。ω可能为3或-3。选项中π,2π/3,π/2,π/3均不等于2π/3。但根据选项结构，A项π是唯一符合周期计算公式T=2π/|ω|形式的选项（若ω=0，但题目暗示ω≠0）。或者理解为题目意在考察2π/3是否为其周期，答案应为B。但严格按公式T=2π/|ω|=π，则A正确。此处按T=2π/|ω|=π解，选A。若按T=2π/3解，选B。常见考试中T=2π/|ω|的形式更常见，按此解T=π，选A。6.B解析：函数f(x)是偶函数的充要条件是f(-x)=f(x)对定义域内所有x都成立。f(-x)=(-x)²-4(-x)+3=x²+4x+3。要使f(-x)=f(x)，需x²+4x+3=x²-4x+3，即8x=0，对任意x成立，矛盾。所以f(x)不是奇函数。若f(x)是偶函数，则f(-x)=x²+4x+3=x²-4x+3，即4x=0，对任意x成立，矛盾。所以f(x)不是偶函数。若f(x)是非奇非偶函数，则f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x)，成立。故f(x)是非奇非偶函数。选项B“偶函数”错误，A“奇函数”错误，C“非奇非偶函数”正确，D“既是奇函数又是偶函数”错误。题目要求单选，C为唯一正确选项。7.C解析：f(x)=x³-3x+1。求导f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1,1。在区间[-2,2]上，f(x)在x=-1,1处可能取得极值。计算函数值：f(-2)=(-2)³-3(-2)+1=-8+6+1=-1f(-1)=(-1)³-3(-1)+1=-1+3+1=3f(1)=(1)³-3(1)+1=1-3+1=-1f(2)=(2)³-3(2)+1=8-6+1=3比较可得，最大值为max{f(-2),f(-1),f(1),f(2)}=max{-1,3,-1,3}=3。最大值在x=-1或x=2处取得。8.A解析：函数y=log₃(x²-2x+1)中，真数x²-2x+1需满足x²-2x+1>0。分解因式得(x-1)²>0。此不等式在x≠1时成立。故定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。9.B解析：函数f(x)=2|x|-1是偶函数（因为f(-x)=2|-x|-1=2|x|-1=f(x)）且不是常数函数。其图像关于y轴对称。图像关于x轴对称需f(x)=-f(x)，即2|x|-1=-2|x|+1，即4|x|=2，|x|=1/2，不成立。图像关于原点对称需f(x)=-f(-x)，即2|x|-1=-(2|x|-1)，即-1=-1，此恒等式成立。故图像关于原点对称。选项B“y轴对称”正确。10.C解析：函数f(x)=x²+ax+b在x=1处取得极大值-1。由极值点条件f'(1)=0，得2*1+a=0，即a=-2。又f(1)=1+a+b=-1，代入a=-2，得1-2+b=-1，即-1+b=-1，得b=0。故a+b=-2+0=-2。选项C“1”错误，应为-2。题目选项有误。二、多项选择题1.ABC解析：A.f(x)=√(x²)=|x|，定义域为R。B.f(x)=|x-1|，定义域为R。C.f(x)=1/(x²+1)，定义域为R。D.f(x)=logₓ(x²-1)，需满足x>0且x≠1，且x²-1>0，即x>1或x<-1。定义域为(-∞,-1)∪(0,1)∪(1,+∞)，不是R。故A,B,C定义域为R。2.AD解析：函数h(x)=sin(ωx+φ)+1是正弦型函数，其图像关于原点对称的条件是其相位ωx+φ为奇函数。即(ωx+φ)+(ω(-x)+φ)=0恒成立，即2φ=kπ,k∈Z。故φ=kπ/2,k∈Z。选项中π/2=1π/2(k=1)，3π/2=3π/2(k=3)，均满足。但题目问ω可能取值，与φ无直接关系。选项D2kπ,k∈Z满足2φ=4kπ，φ=2kπ，k∈Z，也满足。选项Aπ满足2φ=2π，φ=π，k=1。选项Bπ/2满足2φ=π，φ=π/2，k=1/2，k需为整数，不满足。选项C3π/2满足2φ=6π，φ=3π，k=3。故AD满足2φ=kπ，k∈Z。3.ABC解析：f(x)=x²-2x+1=(x-1)²。A.对称轴为x=1。正确。B.对称轴x=1将定义域R分为(-∞,1)和(1,+∞)。在对称轴左侧(x<1)，函数图像下降；在对称轴右侧(x>1)，函数图像上升。故在(-∞,1)上单调递减。正确。C.对称轴x=1将定义域R分为(-∞,1)和(1,+∞)。在对称轴左侧(x<1)，函数图像下降；在对称轴右侧(x>1)，函数图像上升。故在(1,+∞)上单调递增。正确。D.f(x)=(x-1)²。当x=1时，f(x)=0。当x≠1时，f(x)>0。故图像与x轴有且仅有一个交点(1,0)。正确。因此，全部选项A,B,C,D均正确。若题目要求选出所有正确选项，则全选。若题目本身或选项设置有误，可能需要根据选项内容判断。按标准答案格式，通常认为ABC是选择题形式的多选题答案。4.ABCD解析：f(x)=x³-3x+1。求导f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。A.令f'(x)=0，得x=-1,1。在x=0处，f'(x)=3*0²-3=-3≠0。极值点处导数必为0。故x=0不是极值点。错误。B.求二阶导数f''(x)=6x。在x=0处，f''(0)=6*0=0。拐点处二阶导数必为0（且非平稳点）。仅f''(0)=0不能判断(0,f(0))是否为拐点，需考察f''(x)在x=0两侧符号是否改变。f''(x)=6x在x=0两侧符号相反（左侧负，右侧正），故(0,1)是拐点。但题目仅问x=0处是否有拐点，根据定义，二阶导数为0是拐点的必要不充分条件。可以说在该点处二阶导数为0，这是拐点判断过程中的一个步骤。正确。C.在x=0处，f'(0)=3*0²-3=-3。正确。D.在x=0处，f(0)=0³-3*0+1=1。正确。5.AC解析：f(x)=x²-4x+3=(x-1)²-1。图像为开口向上，对称轴x=1的抛物线，顶点(1,-1)。g(x)=|2x-1|。图像为V形，顶点(1/2,0)，在x=1/2处由下降变为上升。(1)分段讨论F(x)=f(x)+g(x)：当x<1/2时，2x-1<0，g(x)=-(2x-1)=-2x+1。F(x)=(x²-4x+3)+(-2x+1)=x²-6x+4。当x≥1/2时，2x-1≥0，g(x)=2x-1。F(x)=(x²-4x+3)+(2x-1)=x²-2x+2。故F(x)的解析式为：F(x)={x²-6x+4,x<1/2x²-2x+2,x≥1/2}(2)讨论F(x)在[0,3]上的单调性：在区间[0,1/2]上，F(x)=x²-6x+4。求导F'(x)=2x-6。在[0,1/2]上，x∈[0,1/2]，F'(x)=2x-6≤2*(1/2)-6=-5<0。故F(x)在[0,1/2]上单调递减。在区间[1/2,3]上，F(x)=x²-2x+2。求导F'(x)=2x-2。在[1/2,3]上，x∈[1/2,3]，F'(x)=2x-2≥2*(1/2)-2=-1。实际上，当x≥1时，F'(x)=2x-2≥0。当x∈[1/2,1]时，F'(x)=2x-2≤0。当x∈[1,3]时，F'(x)=2x-2≥0。故F(x)在[1/2,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增。三、解答题1.解：函数f(x)=√(3-x)+√(x+1)中，需满足：3-x≥0，即x≤3。x+1≥0，即x≥-1。故定义域为-1≤x≤3，即[-1,3]。2.解：函数g(x)=|x-2|+|x+1|。g(-x)=|-x-2|+|-x+1|=|x+2|+|x-1|。由于|a|=|-a|，故g(-x)=|x-2|+|x+1|=g(x)。所以g(x)是偶函数。图像示意图：（此处无图，描述如下）g(x)=|x-2|+|x+1|可分段表示为：当x<-1时，g(x)=-(x-2)-(x+1)=-2x+1。当-1≤x≤2时，g(x)=-(x-2)+(x+1)=3。当x>2时，g(x)=(x-2)+(x+1)=2x-1。图像为：在x=-1处，值为3，之后水平段y=3，在x=2处，值为3，之后斜率为2的上升直线。3.解：(1)函数h(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为T=2π/|ω|。题目给出T=π/2，故2π/|ω|=π/2，解得|ω|=4。ω可能为4或-4。函数在x=π/4时取得最小值-1。即sin(ω*π/4+φ)=-1。sin(ω*π/4+φ)=-1的一个解为ω*π/4+φ=3π/2+2kπ,k∈Z。代入ω=4，得4*π/4+φ=3π/2+2kπ，即π+φ=3π/2+2kπ，得φ=π/2+2kπ。代入ω=-4，得-4*π/4+φ=3π/2+2kπ，即-π+φ=3π/2+2kπ，得φ=5π/2+2kπ。题目要求φ∈[-π,π]。对于φ=π/2+2kπ，当k=0时，φ=π/2∈[-π,π]。对于φ=5π/2+2kπ，当k=-1时，φ=5π/2-2π=3π/2∈[-π,π]。当k=0时，φ=5π/2∉[-π,π]。当k=-2时，φ=5π/2-4π=-3π/2∈[-π,π]。满足条件的φ有π/2,3π/2,-3π/2。结合ω的可能取值：若ω=4，则φ=π/2或3π/2或-3π/2。若ω=-4，则φ=π/2或3π/2或-3π/2。综上，(ω,φ)的可能取值为(4,π/2),(4,3π/2),(4,-3π/2),(-4,π/2),(-4,3π/2),(-4,-3π/2)。(2)函数h(x)=sin(ωx+φ)的单调递增区间满足2kπ-π/2≤ωx+φ≤2kπ+π/2,k∈Z。即-π/2-φ≤ωx≤π/2-φ,k∈Z。x的范围为[-(π/2+φ)/ω,(π/2-φ)/ω],k∈Z。考虑区间[0,π]：当ω=4,φ=π/2时，区间为[-(π/2+π/2)/4,(π/2-π/2)/4]=[-π/4,0]。函数在[0,π]上仅在[0,0]处单调（实际上是顶点，非严格单调区间）。不满足在[0,π]上单调递增的要求。当ω=4,φ=3π/2时，区间为[-(π/2+3π/2)/4,(π/2-3π/2)/4]=[-π,-π/4]。不包含[0,π]。当ω=4,φ=-3π/2时，区间为[-(π/2-3π/2)/4,(π/2+3π/2)/4]=[π/4,π]。函数在[0,π]上单调递增。当ω=-4,φ=π/2时，区间为[-(π/2+π/2)/(-4),(π/2-π/2)/(-4)]=[π/4,0]。函数在[0,π]上单调递减。当ω=-4,φ=3π/2时，区间为[-(π/2+3π/2)/(-4),(π/2-3π/2)/(-4)]=[π,π/4]。不包含[0,π]。当ω=-4,φ=-3π/2时，区间为[-(π/2-3π/2)/(-4),(π/2+3π/2)/(-4)]=[0,-π/4]。不包含[0,π]。综上所述，函数h(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为[π/4,π]（当ω=4,φ=-3π/2时）。4.解：(1)函数f(x)=x³-ax²+bx-5。求导f'(x)=3x²-2ax+b。x=1处的切线方程为y=9x-5。切点为(1,9*1-5)=(1,4)。即f(1)=4。代入f(1)=1³-a*1²+b*1-5=4，得1-a+b-5=4，即-a+b-4=4，得-a+b=8。(方程①)切线的斜率为9。即f'(1)=9。代入f'(1)=3*1²-2a*1+b=9，得3-2a+b=9，即-2a+b=6。(方程②)联立方程①和②：-a+b=8-2a+b=6两式相减，得(-2a+b)-(-a+b)=6-8，即-a=-2，得a=2。将a=2代入方程①，得-2+b=8，即b=10。故a=2,b=10。(2)已知a=2,b=10。函数f(x)=x³-2x²+10x-5。求导f'(x)=3x²-4x+10。令f'(x)=0，得3x²-4x+10=0。判别式Δ=(-4)²-4*3*10=16-120