2026-2027学年小升初数学奥数培优（通 用版）-最值问题（含答案）

/2026-2027学年小升初数学奥数培优（通用版）最值问题1．整数x0，x1，x2，x3，⋯，x2002，x2003满足条件：x0=0，|x1|=|x0+1|，|x2|=|x1+1|，|x3|=|x2+1|，⋯，|x2003|=|x2002+1|，求：|x1+x2+x3+⋯+x2002+x2003|的最小值。2．社办厂生产两种产品：制造1千克甲种产品要花1个劳动日，用原料5千克，制造1千克乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3千克。假如每千克甲种产品利润为700元，每千克乙种产品利润为600元，并且社办厂只有750千克原料，生产两种产品只允许花220个劳动日、试问：甲、乙两种产品各生产多少千克时，才能使社办厂获利最大?3．阅读材料：对于任意一个三位正整数M，如果满足百位上的数字与十位上的数字之和恰好等于个位上的数字，我们称这个数M为“和数”，并把各位数字的平方和记为P(M).例如：正整数134，因为1+3=4，所以134是“和数”，P（1）求证：任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除；（2）若“和数”M与它各位数字之和能被7整除，且M为偶数，求满足条件的所有“和数”M，并求P(M)的最小值。4．(最值问题)A、B两辆汽车同时从同一地点出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L5．连线课堂·随机现象的可能性为打造干净、整洁、舒适的居住环境，阳光社区用若干根1米长的木条围成一个面积是36平方米的长方形花圃(含正方形)。（1）围成长方形花圃的长、宽、周长各是多少？(用列举的策略，把结果填在下表中)长(米)宽(米)周长(米)（2）观察表中数据，当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越；（3）如果该社区工作者想节省买木条的费用，你建议他围的花圃长是米、宽是米。6．从1-9中选取三个不同的数a，b，c组成三位数abc，求数abc7．已知一个大于1的正整数4可以分解成t=ac+b2的形式（其中a≤c，a，b，c均为正整数，在t的所有表示结果中，当bc-ba取得最小时，称“ac+bP(t)=b+c2a+2b。例如：7=1×6+12=2×3+1（1）若一个正整数q=m2+n2，其中m、n为正整数，则称q为“伪平方和数”，证明：任意一个“伪平方和数”q都有P(q)=（2）若一个两位数s=10x+y(1≤y≤x≤5，且均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的两位数s为“幸福数”，求所有“幸福数”的P(s)的最大值，8．从1-9中选取三个不同的数a，b，c组成三位数abc，求数abca9．(最值问题)有49名运动员，每名运动员都有一个号码，号码从1到49各不相同。挑选若干名运动员排成一个圆圈使任何相邻的两个运动员的号码数的乘积小于100。（1）你最多能挑选出名运动员；（2）画出一副符合题意的号码排列圆圈图。10．如图，是一种电脑射击游戏的示意图，线段CD、EF和GH的长度都是20厘米，O、P、Q是它们的中点，并且位于同一条直线AB上。AO=45厘米，OP=PQ=20厘米，已知CD上的小圆环的速度是每秒5厘米，EF上的小戊环的速度是每秒9厘米，GH上的小圆环的速度层锯秒27厘米。零时刻11．一次数学考试试卷的记分规则如下：”答对一道A部分的试题得4分，答对一道B部分的试题得5分，答对一道C部分的试题得6分：答错一道试题扣1分；不回答得0分。A部分有5道试题，B部分有10道试题，C部分有5道试题。小杰在A部分答对4道，在B部分答对7道。若他的得分为63分，那么他在C部分答对了多少试题？12．对于一些数有一些有趣的联系，例如2与12，3与13，4与14…等等一系列数，满足两个数的乘积等于1，我们把一组满足这种性质的数称为“互倒数”，很容易知道，一组“互倒数”其中一个数为a，则另一个数是1（1）对于一组“互倒数”：a，1a，其中a>0，则a+（2）已知x2+2x−1=0

答案解析部分1．解：根据题目条件得到以下等式：

x12=x02+2x0+1

x22=x12+2x1+1

x32=x22+2首先，根据题目给出的条件建立一系列等式，这些等式描述了xi和xi+1之间的关系。通过化简这些等式，找到x2003和x1+x2．解：假设生产甲种产品x千克，则乙种产品生产（750-5x）÷3千克，得：

1×X+2×（750-5X）÷3=220

x+23(750-5X)=220

280=73x

x=120(千克）

（750-5×120）÷3=50（千克）

获得利润为：700×120+600×50=114000(元)假设生产甲种产品X千克，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产（750-5x）÷3千克，由于劳动日为220天，根据题意，甲种产品生产量×1天/千克+乙种产品生产量×2天/千克=220，列方程解题即可。3．（1）解：设“和数”的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为(a+b)则这个“和数”为：100a+10b+a+b。和数”与它各位数字之和的差为：100a+10b+a+b-(a+b+a+b)=100a+10b+a+b-a-b-a-b

=99a+9b

=9(11a+Ы)所以任意一个“和数”与它各位数字之和的差能被9整除。（2）解：(2)设M的百位数字为a，十位数字为b则个位数字为(a+Ы)。则：

M=100a+10b+a+b，其中a，b为正整

数，且a+b>9

因为M为偶数，所以a+b为偶数

即a，b同为奇数或同为偶数。

所以“和数”M与它各位数字之和为

=103a+13b

=105a+14b-2a-b

=7(15a+2b)-(2a+b)

因为“和数”M与它各位数字之和能被7整

除，

所以2a+b能被7整除

即2a+b=7或14

所以a=3，b=1或a=1，b=5或a=6，b=2

即“和数”M为：314或156或628。

又P(314)=32+12+42=26

P（156）=12+52+62=62

P(628)=62+22+82=104，

因为26<62<104

即P(314)

所以P(M)的最小值为26.

答：满足条件的所有“和数”M是314或156或628，P(M)的最小值是26。(1)用字母表示出一个“和数”，按题干要求列出代数式提取公因式后即可证明

(2)设“和数”M=100a+10b+a+b，则①a+b，9；由于M为偶数，可得②a，b同为奇数或同为偶数；因为M与它各位数字之和能被7整除，可得③2a+b能被7整除，a，b同时满足以上三个条件，于是可求得a，b的值，进而求出所有的“和数”M，并根据P(M)是各位数字的平方和，据此计算P(M)的最小值即可解答本题。4．解：根据题目描述，两辆车每升油可以前进12km，且两辆车都必须沿原路返回出发点。且两辆车可以相互借用对方的油。

因此，若要使其中一辆车离出发点尽可能的远应在油量的调配上进行设计。

前提是保证两辆车都能够返回到出发点。

现设计如下方案：

A、B两车同时出发，从每辆车的油箱将240L油四等分，得每份为60L油。

此时，两车一起行驶，当两车用完60L油时，A车停下将其油箱内60L油倒入B车油箱，如此B车油箱内油量达240L最大容量，A车再在原地等待B车返回。

在上述整个过程中，B车共从A车那借了60L×2=120L油，并且B车还有自己的240L油，所以B车一共消耗了240+120=360L油。

根据题意1L油可以行驶12km，所以B车总共行驶了360×12=4320(km)。此题为开放性试题，主要考查学生的逻辑思维能力和综合应用知识解决问题的能力。在解决此类问题时，需要明确问题的要求，运用逻辑思维和综合分析能力，结合相关数学知识，提出合理有效的解决方案。5．（1）解：图成长方形的长、宽、周长见下表：长/米36181296宽/米12346周长/米7440302624（2）长（3）6；6（2）解：当长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越长。

故答案为：长

（3）解：该社区工作者想节省买木条的费用，建议他围的花圃长是6米、宽是6米。

故答案为：6；6

（1）长方形的面积=长×宽，已知长方形的面积是36平方米，而24=36×1=18×2=12×3=9×4=6×6，据此得出五组长方形的长和宽，再根据“长方形的周长=(长＋宽)×2”分别求出各长方形的周长：(36+1)×2=74(米)；(18+2)×2=40(米)；(12+3)×2=30（米)；(9＋4)×2=26；6×4=24(米)。

（2）观察表中数据可知，长方形面积一定时，长和宽相差越大，周长越大；长和宽相差越小，周长越小。

（3）如果想节省买木条的费用，则围的花圃周长最小，根据表中数据可知：花圃长6米，宽6米。6．解：abca+b+c=100a+10b+分子越小分数越小，分母越大分数越小，化简代数式，需要让a最小即为1，c最大即为9，b尽量大即为8，据此求出代数式结果即可。7．（1）证明：∵a≤c，a，b，c均为正整数，

∴bc-ba=b（c-a）≥0。

∵q=m2+m2，令n=b，m=a=c，则此时ba-bc最小为0。

故m2+m2=mm+n2是q的等比中项分解。

∴P(q)=n+m2（2）解：根据题意，得2（10y+x）+14（10x+y）=8k+4（k∈z），即142x+34y=8k+4，

∴8（18x+4y）+2y-2x-4=8k，

∴2y-2x-4是8的倍数，y-x-2是4的倍数。

∵1≦y≦x≦5，且均为自然数，

∴-6≦y-x-2≦-2，∴y-x-2=-4，∴x=y+2，s=31，42，53。

∵bc-ba=b（c-a）且a≤c，a，b，c均为正整数，∴当b越小，c-a越小，b（c-a）越小。

则s=31时，31=5×6+1，则P（31）=712；

当s=42时，42=2×3+62，P（42）=916；

当s=53时，53=7×7+22，P（42）=12。

本题（1）问可以将“m2+m2”变形为mm+n2，然后直接得出证明结果；（2）问则需要先确定y-x-2的范围，然后逐步缩小确定具体数值，最终确定最大值。8．解：abca+b+c=100a+10b+分子越小分数越小，分母越大分数越小，化简代数式，需要让a最小即为1，c最大即为9，b尽量大即为8，据此求出代数式结果即可。9．（1）18（2）解：（1）因为任意两个不同的两位数相乘得积总是大于100，所以两个两位数不可以相邻，先将1~9号运动员排成一个圆圈，他们之间有9个间隔，能插入9个号码是两位数的运动员，所以能挑选的运动员最多为9+9=18（名）；

（2）

故答案为：18，图略。

因为任意两个不同的两位数相乘得积总是大于100，所以两个两位数不可以相邻，先将1-~9号运动员排成一个圆圈，他们之间有9个间隔，能插入9个号码是两位数的运动员，所以即可求的能挑选的运动员最多数量。10．解：小环过0点的时间为4k+2(k=0，1，2，…)；

少球过Q点的时间为2027n+1027(n=0，1，2，…．)；

由GH．上小环的速度刚好为EF上小环的速度的3倍可知，当EF上的小环处于P点时，GH上的小环一定同时处于Q点，子弹经过P点小环后到达Q点，如果能穿过GH上小环，只能是GH上小环下1次，或下2次，或下3次，

…再经过Q点，即子弹到达P点与到达Q点的时间差满足2027n(n=0，1，2⋯⋯)，为2027的整数倍。由于OP=PQ，子弹匀速，所以，子弹从0到P，也应为2027的整数倍。当k=0时，209m+109−2=209m89，不论m取何值，均不为2027的整数倍，只有当k=5x+2时(=0，1，2，……)，根据题意，小环过O点的时间为4k+2（k=0，1，2，…）；小环过P点的时间为209m+109（m=0，1，2，…）；小环过Q点的时间为202711．解：当A部分答对4道，剩下1题不答，B部分答对7题，剩下3题不答时，这两部分的总得分是：

4×4+7×5

=16+35

=51（分）

此时C部分的得分最少，是：63-51=12（分）

只要C部分答对2题剩下3题不答即可得到12分

当A部分答对4道，剩下1题答错，B部分答对7题，剩下3题答错，这两部分的总得分是：

4×4+7×5-1×1-1×3

=16+35-1-3

=47（分）

此时C部分的得分最多，是：63-47=16（分）

只要C部分答对3题，剩下2题答错即可，即16=3×6-1×2

答：C部分