2026-2027学年小学奥数思维训练-容斥原理（经典透析）（含答案）

/小学奥数思维训练容斥原理（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？2．火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？3．某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？4．五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数．5．在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？6．分母是385的最简真分数有多少个？7．有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？8．图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名．已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本．问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？9．甲、乙、丙同时给100盆花浇水．已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？参考答案：1．10人【解析】【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，可以画出韦恩图，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出．【详解】解法一：如图，设三个班都报的同学为x人140+120+60－60－40－30+x=200解得x=10答：共有10人三个班都报了．解法二：200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）．2．7人【解析】【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中未知数为没有参加任何一项慰问活动的同学，可以列方程算出，也可以直接对公式变形用算术法算出．【详解】解法一：设在校准备慰问品的人数为x（19+18+16-7-6-5+3）+x=45解得，x=7答：准备慰问品的人数为7人．解法二：45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）答：准备慰问品的人数为7人．【点睛】对于求三者都参加或者三者都不参加的部分，用方程法与算术法差别不大，但是对于求只参加一项或参加两项的部分，建议最好用方程．3．22人【解析】【分析】题目中未知数为只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以建议使用方程法解出．注意题目中要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，而不是订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以应该先求出订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，然后再减去三项都订的人数即可．【详解】设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有x人120-85-90-70+62+46+x-21=5解得x=4343-21=22答：只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数为22人．【点睛】1，此题中未知的是参加两项的人数，选用列方程的方法会让数据关系更清晰．2，注意题目要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，这不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而应该根据韦恩图中的关系间接求出．4．21人【解析】【分析】题目中不止一项未知数，但是各项未知数之间具有倍数关系，可以用方程法解答．【详解】设三项都参加的人数为x，那么参加朗诵小组的人数为7x，既参加绘画小组又参加朗诵小组人数为2x，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为2x，则：46=24+20+7x-2x-2x-10+x解得x=37x=21答：参加朗诵小组的人数为21人．【点睛】1，此题不能直接利用公式变形算术方法算出，必须列出方程．2，列方程解应用题时x的选择并不一定是题目所求，而应该是所有未知量中较小值，这样其他未知量就比较好表示出，否则方程中出现分数或除法，不利于方程的解答．5．535个【解析】【分析】此题为容斥原理与数论知识相结合的一类典型题型，我们可以画出韦恩图，首先计算各集合部分的个数．【详解】2的倍数个数：2004÷2=10023的倍数个数：2004÷3=6685的倍数个数：2004÷5=400…4同时是2和3的倍数，即是6的倍数个数：2004÷6=334同时是2和5的倍数，即是10的倍数个数：2004÷10=200…4同时是3和5的倍数，即是15的倍数个数：2004÷15=133…9同时是2，3，5的倍数，即是30的倍数个数：2004÷30=66…24不是2、3、5的倍数个数为：2004-（1002+668+400-334-200-133+66）=535答：不是2、3、5的倍数的有535个．【点睛】1，由于有些数可能同时是2，3，5的倍数，所以应该考虑联系到容斥原理的运用，因为容斥原理的主要功能就是解决有关重复内容的原理．2，同时是几个数的倍数，那么就是这几个数的最小公倍数的倍数．6．240个【解析】【分析】由于分母385=5×7×11，要求分数为最简真分数，所以分子不能是5、7、11的倍数．此题即转化为求1～385中不是5、7、11的倍数的个数．根据题意可以画出韦恩图．【详解】解法一：5的倍数个数：385÷5=777的倍数个数：385÷7=5511的倍数个数：385÷11=35同时是5和7的倍数即是35的倍数个数：385÷35=11同时是5和11的倍数即是55的倍数个数：385÷55=7同时是7和11的倍数即是77的倍数个数：385÷77=5同时是5，7，11的倍数即是385的倍数个数：385÷385=1不是5、7、11的倍数个数为：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240答：分母是385的最简真分数有240个．解法二：可以用中国剩余定理和乘法原理来解决．需要寻找1～385中不被5、7、11中任何一个数整除的个数．被5除的余数有1～4，共4种；被7除的余数有1～6，共6种；被11除的余数有1～10，共10种；根据中国剩余定理，对于任何一种余数组合，1～385中必存在唯一的数满足．所以，根据乘法原理，1～385中不被5、7、11中任何一个数整除的个数为4×6×10=240．【点睛】此题是容斥原理与数论知识相结合的一类典型题型，首先需要了解的知识点是最简真分数的特点，即分子与分母必须为互质关系，也即是分子不能是分母质因数的倍数．7．1002盏【解析】【分析】电灯原来亮着，要求三次拉完之后还是亮着，则灯被拉的次数必须为偶数，即可能是一次都没被拉，也可能是只被拉两次的．所以最后的答案应该是两部分之和．【详解】2的倍数个数：2000÷2=10003的倍数个数：2000÷3=666…25的倍数个数：2000÷5=4006的倍数个数：2000÷6=333…210的倍数个数：2000÷10=20015的倍数个数：2000÷15=133…530的倍数个数：2000÷30=66…20没被拉一次的电灯盏数（不是2、3、5的倍数）为：2000-（1000+666+400-333-200-133+66）=534只被拉两次的电灯盏数（只是其中两者的倍数）为：333+200+133-66×3=468最后亮着的灯的盏数为：534+468=1002答：三次拉完后，亮着的灯有1002盏．【点睛】1、此题首先要弄清楚是哪些灯最后还是亮着的，主要包括两部分的灯：一次都没拉和只拉了两次的．2、只拉了两次的灯数中不包括三次都拉了的灯数，所以计算时应该减去被拉三次灯数的三倍（因为多计算三次），请参考题型1（6）中的间接计算方法．8．33本【解析】【分析】此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，公式中只有两项未知：没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的数目，一项的最值取决于另一项的取值，采用方程法分析．【详解】解：设没被任何人借阅过的书有x本，同时被三人借阅过的为y本100=（33+44+55-29-25-36+y）+x化简为：x+y=58要使x值取最少，那么y值应该尽量大，由题意画韦恩图可知，y包含于三集合29，25，36中，所以y的最大值应该是25，此时x=33，即最少有33本没有被甲乙丙中的任何一人借阅过．答：这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过．【点睛】1，由于只有两项未知数，所以可以用方程法进行分析，如果未知数多于两个，则不宜用方程法．2，应该用包含的原理得出其中项的最大值或最小值．若A包含B，那么B的最大值为A，A的最小值为B，如：某班数学成绩满分人数为15，那么数学语文成绩均满分的人数最大为15，反之若数学语文成绩均满分的人数为5，那么语文成绩满分的人数最少为5人．9．4盆【解析】【分析】此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，但是题目已知条件太少，公式中未知项有5项，所以不好直接用方程法分析出最后答案．采用极端假设法进行分析．因为题目所求为3人都浇过的花最少为几盘，那么意思就是我们应该让3人浇过的花尽量分散，即每人尽量不要浇其他人浇过的花，采用极端假设法即假设每人都首先选择浇其他人没浇过的花．【详解】解法一：首先考虑甲和乙，甲浇了78盆，没浇100-78=22盆，那么乙应该先浇甲没浇的22盆，剩下的只能选择甲已经浇过的68-22=46盆，这样两人都浇过的有46盆，只有一人浇过的有100-46=54盆．再考虑丙，丙应该先选择浇只有一个人浇过的54盆，剩下的只能选择两人都浇过的58-54=4盆，这样三人都浇过的为4盆，其他盆均为至多两人浇过的．所以，3人都浇过的花最少有4盆．答：3人都浇过的花最少有4盆．解法二：如果从整体考虑，三个人一共浇了78+68+