2026-2027学年六年级数学奥数培优（苏教版）等积变形（提高）（含答案）

/等积变形一．解答题（共53小题）1．如图所示，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为10厘米，高为15厘米，在侧面距离底面9厘米的地方有个洞，容器可以正着或斜着摆放，但水面高过小洞的洞口后水就会溢出来．那么，该容器最多能装多少毫升水，且水不溢出来．（π取3.14）2．在如图中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？3．如图所示，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？4．如图，已知正方形ABCD的边长是9厘米，正方形CEFG的边长是6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？5．四边形ABCD中，M为AB的中点，N为CD的中点，如果四边形ABCD的面积是80平方厘米，求阴影部分BNDM面积是多少？6．如图，大正方形的周长比小正方形的周长多80厘米，阴影部分的面积为880平方厘米，那么，大正方形的面积是多少平方厘米？7．如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，F为线段DE上一点，FA交BC于点G、ED交BC于点H，已知S△FBE＝50，S△FCE＝75，S△FBC＝175，（1）直接写出BH：HC；（2）求S△ABF；（3）求正方形ABCD的面积；（4）求梯形AGHD的面积．8．如图所示，一个长为70厘米宽为30厘米的长方形（甲），被补成一个长为70厘米宽为40厘米的长方形（乙），现从（乙）下端剪去一个长为40厘米的长方形；使余下的面积与（甲）的面积相等．问：剪去的长方形的宽等于多少厘米？9．求下图中，阴影部分的面积占总面积的几分之几？10．如图中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米？11．图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算四边形DEFG的面积．12．如图，正六边形的面积为6，那么阴影部分的面积是多少？13．如图，ABCD是个梯形，其对角线的交点为O，延长AC至点E，满足CE＝AO，延长DB至点F，满足BF＝DO．若△BFG的面积为2015平方厘米．求：△CGE的面积．14．把等边三角形ABC每边六等分，组成如图的三角形网．若图中每个小三角形的面积均为1cm2，试求图中三角形DEF的面积．15．安妮的圣诞礼物是一盒积木．每块积木都是边长5cm的立方体，所有的积木装满一个也是立方体的盒子．就像其他小孩一样，安妮对堆积木很感兴趣．她把积木倒出来，先搭起一个大的立方体，然后在它的上面再搭了一个较小的立方体，接着又搭了一个更小的立方体．安妮站起来，发现这个塔还是没她高，这令她有点失望，不过，她因为能把所有的积木都用掉而感到很得意．这个塔有多高？16．如图是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长是6厘米．问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？17．有四条弧线都是半径为3厘米的圆的一部分，它们成一个花瓶（如图）．请你把这个花瓶切成几块，再重新组成一个正方形，并求这个正方形的面积．18．如图ABCD是平行四边形，E为AB延长线上一点，K为AD延长线上一点．连接BK，DE相交于一点O，问：四边形ADOB与四边形ECKO的面积是否相等？请说明理由．19．有大、中、小三个底面是正方形的水池，它们的底面边长分别是5m、3m和2m，把两堆碎石分别沉入中、小水池的水里，两个水池的水面分别上升了8cm和4cm，如果将这两堆碎石都沉入大水池的水里，大水池的水面将要升高多少厘米？20．在一个大正方形的一角挖去一个小正方形（如图），剩下阴影部分的面积是96平方厘米．挖去的小正方形的面积是多少平方厘米？21．如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？22．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别为AD、BC的中点，M、N、K分别是AB、CD的三等分点，P为正方形ABCD内任意一点，求阴影部分的面积．23．图中有21个点，其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积．24．如图（a）、（b）中每个小正方形的边长都是1．请在图（b）中画一个和图16（a）中的四边形ABCD面积相等的四边形．25．拓展训练如图，ABCD是梯形，ABFD是平行四边形，CDEF是正方形，AGHF是长方形．又知AD＝14厘米，BC＝22厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米？26．如图，正方形ABCD的面积为1，E、F分别为BC、CD的中点，AE和BF相交于点O．求：（1）△ABE的面积；（2）AO：OE；（3）△AOB的面积；（4）△COD的面积．27．如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的2328．一个四边形周长37厘米，四边形内有一点A，它到四条边的距离都是4.5厘米，那么，这个四边形面积是多少？29．图中正六边形ABCDEF的面积是54．AP＝2PF，CQ＝2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．30．求如图形的周长．（单位：cm）31．如图中的图1为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成图2的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法．32．如图所示，长方形ABCD的长为25，宽为15．四对平行线截长方形各边所得的线段的长已在图上标出，且横向的两组平行线都与BC平行．求阴影部分的面积．33．如图，长方形abcd内部有三个边长为整数的正方形A，B，C，其中正方形C的边长为长方形长的716，而正方形A的边长是长方形宽的14，若长方形ABCD的面积大于200cm2小于800cm34．如图，由十六个同样大小的正方形组成一个“5”字，如果这个图形的周长是102厘米，那么它的面积是多少平方厘米？35．一个正方体连接六条棱中点，形成一个六边形，再连3个点，形成三角形，求三角形和六边形中间的多面体占整个正方体的几分之几？36．如图，一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）。已知它的容积是32毫升，当瓶子正放时瓶内酒精的高度是6厘米，瓶子倒放时，空余部分是2厘米，问瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？37．正12边形的边长为1厘米，阴影部分都是正三角形（边长也为1厘米），如图．那么空白部分面积等于多少平方厘米？38．红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中．这时红墨水中的蓝墨水多，还是蓝墨水中的红墨水多？39．如图为一个边长为2厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点．围成的阴影部分的面积为多少平方厘米？40．（1）如1中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？（2）如2中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？41．如图，长方形ADEH由上中下三个小长方形组成的，已知AB+CD＝BC，三角形ABI的面积为3，四边形GIJF的面积为12，求四边形CDEJ的面积．42．如图是一个直角梯形．请你画一条线段，把它分成两个形状相同面积相等的四边形．（请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法）．43．如图，过平行四边形ABCD内一点P画一条直线，将平行四边形分成面积相等的两部分（画图并说明方法）．44．如图中每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？45．把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少？46．已知△ABC面积为5，且BD＝2DC，AE＝ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．47．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形面积是多少平方厘米．48．如图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．49．熙熙军团的胸章是如图所示的正八边形图案，已知正八边形的边长为18，那么阴影部分的面积是多少？50．如图，正方形ABCD被两条平行的直线截成了面积相等的三个部分，其中上、下两个部分都是等腰直角三角形．已知两条截线的长度都是6厘米，那么整个正方形的面积是多少平方厘米？51．如图，涂阴影部分的小正六角星形面积是256平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米？52．如图由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分．已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍．请问：长方形的宽是多少厘米？53．把正三角形（等边三角形）每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形，再将这个六角形的六个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到下图所示的图形，如果所作的最小三角形的面积为1，求整个图形的面积．

等积变形参考答案与试题解析一．解答题（共53小题）1．【答案】见试题解答内容【分析】利用补形法，得出水的容积＝容器DCC′D′容积的一半，利用体积公式即可得出结论．【解答】解：如图所示，ABCD是圆柱体容器，E点为洞，A，B为容器上端两个端点，装水最多时，水平面为EB，如DA延长9cm到D′，CB延长9cm到C′，则DCC′D′可以看成一个大容器，则DE＝9＝BC′，ED′＝9+6＝15＝CB，面积EDCB＝面积BC′D′E，所以面积EDCB＝面积DCC′D′÷2，所以水的容积＝容器DCC′D′容积的一半＝3.14×52×（15+9）÷2＝942毫升．【分析】本题考查等积变形，考查学生转化问题的能力，正确补形是关键．2．【答案】见试题解答内容【分析】（1）△ACG的面积＝梯形ADEG的面积+三角形EGC的面积﹣三角形ADC的面积．代入数据算出即可．（2）△BDF的面积＝正方形ADEB的面积+正方形ECFG的面积+三角形BGF的面积﹣三角形ADB的面积﹣三角形CDF的面积．代入数据算出即可．【解答】解：（1）梯形ADEG的面积为：（6+4）×6÷2＝10×6÷2＝30三角形EGC的面积为：4×4÷2＝8三角形ADC的面积为：6×（6+4）÷2＝6×10÷2＝30三角形ACG的面积为：30+8﹣30＝8；（2）62+42+4×（6﹣4）÷2﹣6×6÷2﹣4×（6+4）÷2＝36+16+4﹣18﹣20＝18【分析】本题考查三角形、梯形的面积的计算．还考查了组合图形的面积的计算，须分析出组合图形的面积是由那些基本图形的面积相加或减，从而求出面积．3．【答案】见试题解答内容【分析】过M、N、P和Q分别作长方形ABCD的各边的平行线．易知交成中间的红色正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设△MQD、△NAM、△PBN和△QCP的面积之和为S，四边形MNPQ的面积等于x，于是可以得到两个方程X+S＝56，X﹣S＝9，联立方程组，即可求解．【解答】解：如图所示，过M，N，P，Q分别作长方形ABCD的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设△MQD，△NAM，△PBN，△QCP的面积之和为S，四边形MNPQ的面积等于x，则x+解上述方程，得2x＝65，所以x＝32.5平方厘米．答：四边形MNPQ的面积是32.5平方厘米．【分析】此题属竞赛题，本题考查了不规则四边形的面积求法，解题关键是作出辅助线，求出中间所交正方形的面积，难度较大．4．【答案】见试题解答内容【分析】连接HF，根据题意，阴影部分和涂色部分的面积之和，等于两个正方形的面积减去三角形ABE的面积减去三角形EFH的面积再减去三角形ADG的面积，可根据正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算即可得到答案，因为阴影部分与涂色部分的三角形同底，所以面积之比等于它们的高的比，由此按照比的意义即可解答问题．【解答】解：（6×6+9×9）﹣（9+6）×9÷2﹣6×6÷2﹣（9﹣6）×9÷2＝（36+81）﹣15×9÷2﹣6×6÷2﹣3×9÷2＝117﹣67.5﹣18﹣13.5＝18（平方厘米）；阴影部分的三角形的高是AD＝9厘米，涂色部分的三角形的高是GH＝6厘米所以它们的面积之比是9：6＝3：2则阴影部分的面积与它们的面积之和的比是3：5所以阴影部分的面积是：18×3答：阴影部分的面积是10.8平方厘米．【分析】此题主要考查的是三角形的面积公式和长方形的面积公式的应用，以及底一定时，三角形的面积与高成正比例的性质的灵活应用．5．【答案】见试题解答内容【分析】连接BD，则阴影部分被分成了两部分，因为M为AB的中点，所以可得三角形ADM与三角形BDM的面积相等；N为CD的中点，所以可得三角形BDN与三角形BCN的面积相等；据此可得阴影部分的面积等于空白处的面积，即阴影部分的面积等于这个四边形ABCD的面积的一半，据此即可解答．【解答】解：连接BD，因为M为AB的中点，所以可得三角形ADM与三角形BDM的面积相等；N为CD的中点，所以可得三角形BDN与三角形BCN的面积相等；所以阴影部分的面积是：80÷2＝40（平方厘米）答：阴影部分BNDM的面积是40平方厘米．【分析】此题主要考查高一定时，三角形的面积与底成正比例的性质，正确连接辅助线，把阴影部分的面积转化成两个三角形的面积是解决本题的关键．6．【答案】见试题解答内容【分析】把原图形进行变形，则可根据周长的差，求出右上角小正方形的边长是多少厘米，进而可求出大正方形的边长，再根据面积公式可求出大正方形的面积．【解答】解：80÷4＝20（厘米）（880﹣20×20）÷20÷2＝（880﹣400）÷20÷2＝480÷20÷2＝12（厘米）（12+20）×（12+20）＝32×32＝1024（平方厘米）答：大正方形的面积是1024平方厘米．【分析】在求不规则图形的面积时，一般采用切割、平移、旋转等方法，把不规则图形转化为规则图形的方法进行解答．7．【答案】见试题解答内容【分析】依题意可知（1）中的燕尾模型即可求解．（2）中只要将（1）中的比例转换到BE：AB的．（3）根据2即可求解．（4）中需要求出三角形AGH．【解答】解：（1）根据燕尾模型可知BH：HC＝S△BEF：S△CEF＝50：75＝2：3．（2）BH：CH＝2：3，BH：AD＝2：5，则EB：BA＝2：3，故S△ABF＝75．（3）连接AC，根据BE：AB＝2：3，S△BCE：S△ABC＝2：3，S△BCE＝50+75+175＝300，S△ABC＝450，正方形ABCD面积是900．（4）连接AH，S梯＝S△AGH+S△ADH，BH：HC＝2：3，S△BFH＝70，S△CFH＝175﹣70＝105，S△EBH＝50+70＝120，S△CDH=32×3S△CFD＝105+270＝375，S△AHD=1则GH：AD＝FH：FD＝105：375＝21：75，所以S△AGH=2175×S△AHD=所以S梯＝S△AGH+S△ADH＝126+450＝576，故梯形的面积是576．【分析】本题是几何问题的综合应用，考查燕尾模型，金字塔模型，直线间的比例关系等，综合题型需要有扎实的集合基本功．建议拔高同学做此类题型．8．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，“使余下的面积与（甲）的面积相等”，也就是说剪去的面积等于长方形（甲）补上的面积，即70×40﹣70×30＝700（平方厘米），根据剪去的长方形的长，求出剪去的长方形的宽．解决问题．【解答】解：（70×40﹣70×30）÷40＝（2800﹣2100）÷40＝700÷40＝17.5（厘米）答：剪去的长方形的宽等于17.5厘米．【分析】此题解答的关键在于得出：剪去的面积等于长方形（甲）补上的面积．9．【答案】见试题解答内容【分析】由图形可以看出：，三角形ABG、三角形BCE和三角形EDF的面积分别占总面积的18、14【解答】解：1﹣（18+1答：阴影部分的面积占总面积的916【分析】此题关键是先求出三个空白三角形的面积占总面积的几分之几．10．【答案】见试题解答内容【分析】因为每个小正方形的边长为1厘米，所以大正方形的面积是8×8＝64（平方厘米），对图形进行拼组，可知阴影部分的面积是大正方形面积的一半，据此解答即可．【解答】解：8×8÷2＝64÷2＝32（平方厘米）答：阴影部分的面积是32平方厘米．【分析】解答本题的关键是对图形进行拼组，把不规则图形转化为规则图形的面积，再计算．11．【答案】见试题解答内容【分析】做出相应的辅助线，可得出以四边形DEFG的各边为对角线的平行四边形四个，每个平行四边形的面积可求；四边形DEFG的面积是每个平行四边形面积的一半的和再加最中间的三角形的面积，进而可以求出四边形的面积．【解答】解：如图所示，四边形DEFG的面积＝S△GDA+S△ADE+S△AEF+S△FGB+S△AFB，=12S▱GKDA+12S▱ADPE+12S▱AECF+12＝3+1+2+2+4，＝12；答：四边形DEFG的面积是12．【分析】此题主要是利用等积变形，将四边形进行分割，变成比较容易求面积的平行四边形和三角形．12．【答案】见试题解答内容【分析】如图，连结AC、BF、CE、DF，根据正六边形的特征及梯形的蝴蝶定理，各三角形有如下关系，a：b：c：d＝1：4：2：2，因此，阴影部分占六边形面积的41+4+2+2【解答】解：如图，连结AC、BF、CE、DF，根据六正边形的特征及蝴蝶定理，阴影部分面积：41+4+2+2=4=8答：阴影部分的面积是83故答案为：83【分析】解答此题的依据是正六边形的特征及梯形的蝴蝶定理．梯形蝴蝶定理是：相似图形，面积比等于对应边长比的平方．用小学知识不可证明．13．【答案】见试题解答内容【分析】利用等高模型，只要证明S△BCF＝S△BCE，即可推出S△CGE＝S△BFG解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴S△ABC＝S△DBC，∴S△AOB＝S△DCO，∵OA＝CE，∴S△AOB＝S△ECB，∵OD＝BF，∴S△ODC＝S△BFC，∴S△BCF＝S△BCE，∴S△CGE＝S△BFG＝2015平方厘米．【分析】本题考查等积变形，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，灵活运用所学知识．14．【答案】见试题解答内容【分析】如图所示，S△DEF＝S梯形EGIH﹣S深蓝﹣S红﹣S天蓝﹣2．将数据代入此等式即可求解．【解答】解：S△DEF＝S梯形EGIH﹣S深蓝﹣S红﹣S天蓝﹣2，＝24﹣4﹣4﹣3﹣2，＝11（平方厘米）．答：图中三角形DEF的面积是11平方厘米．【分析】此题主要考查等积变形，关键是弄清楚三角形DEF与大三角形的关系．15．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知：这四个立方体的关系是“重新堆的三个立方体所用的积木个数＝礼盒里的积木个数”，根据这个关系找到合理的积木个数值，之后即可求得答案．【解答】解：13＝1、23＝8、33＝27、43＝64、53＝125、63＝216…其中33+43+53＝63，则推出：安妮把堆成一个大立方体的积木，重新堆成3个立方体，唯一可能的情况是，3个立方体的每边分别为5块积木、4块积木和3块积木，装积木的盒子则是每边为6块积木．3+4+5＝12（个）12×5＝60（cm）答：这个塔高有60cm．【分析】解答此题的关键就是知道这里的四个立方体之间的关系，然后找数值求答案．16．【答案】见试题解答内容【分析】如图一共有3×3＝9个格子，所以可得每个格子布的面积是图面积的9倍，格子布白色部分的面积也是图上白色面积的9倍，下图中白色部分所占面积的百分比14×14+6×620×20【解答】解：14×14+6×620×20答：格子布中白色部分的面积是总面积的58%．【分析】解答此题的关键是明确每个格子中白色部分占格子的面积的百分比，就是这块布中白色的面积占总面积的百分之几．17．【答案】见试题解答内容【分析】观察题干发现，从瓶颈的两个方向相反的弧交接点通过圆心画一条直径，再从这个交接点到瓶口的两个弧的交接点连线，这样就把这个花瓶分成了1、2、3三块，这三块可以拼成一个边长为2r正方形，然后计算面积即可．【解答】解：如图：只切两刀，分成三块重新拼合即可．正方形面积为：（2R）2＝（2×3）2＝36（平方厘米）．答：这个正方形的面积为36平方厘米．【分析】观察图形，从图形特点和弧线的弯曲方向进行分析，找出能够重合的曲度，然后适当分割进行拼组，组成正方形．18．【答案】见试题解答内容【分析】如图，连结AC，根据平行四边形的特征及三角形的面积公式可知△DCE的面积等于△DCA的面积，△AKC的面积等于△AKB的面积，四边形ECKO的面积+△ODK的面积＝四边形EDKC的面积＝△DCE的面积+△DCK的面积＝△ADC的面积+△CD的面积K＝△ACK的面积，又由四边形ABOD的面积+△ODK的面积＝四边形ECKO的面积+△ODK的面积，从而得出四边形ADOB与四边形ECKO的面积相等．【解答】解：如图，连结AC因为AB∥CD，所以S△DCE＝S△DCA（同底等高）S四边形ABOD+S△ODK＝S△ABK，S四边形ECKO+S△ODK＝S四边形EDKC＝S△DCE+S△DCK＝S△ADC+S△CDK＝S△ACK，又因为DC∥AB，所以△AKC＝S△AKB所以S四边形ABOD+S△ODK＝S四边形ECKO+S△ODK即S四边形ABOD＝S四边形ECKO；故答案为：相等【分析】解答此题的关键是作好辅助线，利用平行四边形的特征、三角形的面积公式，找出面积相等的三角形，通过等量代换来解答．让小学生解答有难度．19．【答案】见试题解答内容【分析】本题考查等积变形．【解答】解：5m＝500cm，3m＝300cm，2m＝200cm，两堆碎石的体积是300×300×8+200×200×4＝880000cm2，大水池的水面将升高880000÷（500×500）＝3.52cm答：大水池的水面将要升高3.52厘米．【分析】本题容易忽略单位统一，要细心解答．20．【答案】见试题解答内容【分析】先用4乘4求出右上角的正方形的面积，再用96减去它的面积，即96﹣4×4＝80平方厘米，再除以2除以4就是挖去的小正方形的边长，再根据正方形的面积公式S＝a×a求出面积．【解答】解：（96﹣4×4）÷2÷4＝80÷8＝10（厘米），10×10＝100（平方厘米）答：挖去的小正方形的面积是100平方厘米．【分析】求出挖去的小正方形的边长是解答此题的关键．21．【答案】见试题解答内容【分析】因为图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等，因此可以用长方形ABCD的面积除以3得到△ABE、ADF和四边形AECF的面积；然后利用三角形的面积公式，已知三角形的面积和高，可以求出三角形的底，即BE和DF的长度，进而求出EC和CF的长度，然后利用三角形的面积公式求出三角形FEC的面积，再用四边形AECF的面积减去三角形FEC的面积即可．【解答】解：△ABE、ADF和四边形AECF的面积是：6×9÷3＝18（平方厘米），BE＝18×2÷6＝6（厘米），DF＝18×2÷9＝4（厘米），所以CE＝BC﹣BE＝9﹣6＝3（厘米），CF＝CD﹣DF＝6﹣4＝2（厘米），所以三角形FEC的面积是：3×2÷2＝3（平方厘米），因此阴影部分的面积是：18﹣3＝15（平方厘米）；答：阴影部分的面积是15平方厘米．【分析】解决本题的关键是求出△ABE、ADF和四边形AECF面积，并能灵活的利用三角形的面积公式求得某些线段的长度．22．【答案】见试题解答内容【分析】由图意可知：将三角形PKC旋转、平移到三角形PNB的位置，将三角形PDE旋转、平移到三角形PAM的位置，则阴影部分的面积就等于梯形PABF的面积，利用梯形的面积公式即可求解．【解答】解：（6×23+＝（4+6）×3÷2，＝10×3÷2，＝15；答：阴影部分的面积是15．【分析】解答此题的关键是：将阴影部分转化成梯形，利用梯形的面积公式求解．23．【答案】见试题解答内容【分析】如图所示，作出相应的辅助线，将三角形ABC的三条边变成各自所在的平行四边形的对角线，于是就将三角形ABC分割成了四个三角形，而这四个三角形的面积都可以求出，从而求出三角形ABC的面积．【解答】解：三角形ABC的面积＝3+4+2+1＝10（面积单位）．答：△ABC的面积是10．【分析】解决此题的关键是将三角形进行分割，分割成易于求解的图形的面积，从而得解．利用皮克定理：（边上点数÷2+圈内点数﹣1）×2即可求得：（4÷2+4﹣1）×2＝10简单易行．24．【答案】见试题解答内容【分析】由题意知，四边形ABCD的面积是8，所以只要画一个面积为8的四边形即可．【解答】解：由左下图知，四边形ABCD的面积正好是外围边长为4的正方形面积的一半，即面积是8，所以画出面积为8的正方形如右下图：【分析】此题是考查不规则四边形和规则四边形的等积变形，形状变了，面积没变．25．【答案】见试题解答内容【分析】观察图形可知：阴影部分的面积是长方形AGHF的面积的一半，所以它与图中绿色三角形的面积相等，因为ABFD是平行四边形，所以绿色三角形的面积与红色三角形的面积相等，所以要求阴影部分的面积，只要求出红色三角形的面积即可；红色三角形中只要求出EF的长度，即正方形ABCD的边长即可；图中AD＝BF＝14厘米，所以正方形的边长CF＝BC﹣BF＝22﹣14＝8厘米，由此即可解答．【解答】解：分析图形可知：ABFD是平行四边形，所以AD＝BF＝14厘米，所以正方形的边长CF＝BC﹣BF＝22﹣14＝8厘米，则EF＝CF＝8厘米；所以红色三角形的面积是：14×8÷2＝56（平方厘米）；即阴影部分的面积是56平方厘米．答：阴影部分的面积是56平方厘米．【分析】本题运用长方形、平行四边形一条对角线把它们分成了两个面积相等的三角形的这一性质，将阴影部分的面积转移到红色三角形中进行计算是解决本题的关键．26．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由于E是中点，则△ABE的面积占正方形面积的14（2）连接AF、EF，根据风筝模型（共边定理）：OAOE（3）因为AOOE=41，则S△AOB=（4）由OE：OA＝1：4，可得S△BOE=15S△ABE=120，由BE＝EC，可得S△OEC＝S△OBE=120，推出S△OFC＝S△BCF﹣S△BCO=14−【解答】解：（1）由于E是中点，则△ABE的面积占正方形面积的14，即（2）连接AF、EF，根据风筝模型（共边定理）：OAOE（3）因为AOOE=41，则S△AOB=4（4）∵OE：OA＝1：4，∴S△BOE=15S△ABE∵BE＝EC，∴S△OEC＝S△OBE=1∴S△OFC＝S△BCF﹣S△BCO=1∵DF＝FC，∴S△DOC＝2S△OFC=3【分析】本题考查正方形的性质、风筝模型、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．27．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意和图形可知：已知的2个三角形高的和是梯形的高，2个三角形底的和是梯形上下底的和．而梯形和三角形的面积都和底高有关系，所以设出其中一个三角形的底和高，可以变相求出梯形的面积，再减去已知的2个三角形的面积就可以求出阴影的面积．【解答】解：设上底长为2a，下底长为3a，三角形AOD的高为h，则三角形BCO的高为x，则x是：（2a×h）：（3a×x）＝10：12解之得：x=45那么梯形的高为：h+45h=又因为三角形AOD面积为10，可知：ah＝10，梯形面积为：（2a+3a）×95h÷2=9故阴影面积为：45﹣（10+12）＝23；答：阴影部分的面积是23．【分析】本题根据阴影的面积＝梯形的面积﹣两个已知三角形的面积，还是运用组合图形面积求解的思想．28．【答案】见试题解答内容【分析】画出一个四边形BCDG，找出点A，连接AG、AB、AC、AD得到四个三角形，△AGB、△ABC、△ACD、△ADG，四边形GBCD的面积等于这四个三角形的面积之和．【解答】解：连接AG、AB、AC、AD得到四个三角形，△AGB、△ABC、△ACD、△ADG，S△AGB=12×GBS△ABC=12×BCS△ACD=12×CDS△ADG=12×DGS四边形＝S△AGB+S△ABC+S△ACD+S△ADG而AE＝AF＝AM＝AN＝8厘米，所以S四边形=12×AE×（GB+BC+CD=1＝83.25（平方厘米）．答：四边形GBCD的面积是83.25平方厘米．【分析】把四边形ABCD分成四个三角形是解决此题的关键．29．【答案】见试题解答内容【分析】如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形，根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，采用数小三角形的办法来计算面积．【解答】解：如图，S△PEF＝3，S△CDE＝9，S四边形ABQP＝11．上述三块面积之和为3+9+11＝23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54﹣23＝31．【分析】此题主要利用面积分割，用数基本小三角形面积来解决问题．30．【答案】见试题解答内容【分析】观察图形、根据线段的平移可知，这个图形的周长等于长23厘米、宽12厘米的长方形的周长与两条2厘米、5厘米长的线段之和，据此计算即可解答问题．【解答】解：（23+12）×2+5×2+3×2＝70+10+6＝86（cm）答：图形的周长是86cm．【分析】此题主要考查了组合图形的周长的计算方法，一般都是利用线段平移的方法，将不规则图形的周长转换到规则图形中，利用周长公式计算即可解答问题．31．【答案】见试题解答内容【分析】把三角形倒过来，可以从轴对称图形去考虑，也就是移动7枚棋子，使三角形变成上下对称的轴对称图形．把最上面的1枚硬币移到最下面，把最下面左边2枚和右边2枚移到上面第二行左右各2枚，把第五行边上各1枚移到第三行左右两边各1枚．就把这些硬币变成图2的形式．【解答】【分析】变换图形，要根据轴对称图形，进行解决；原来的图变换成现在的图，是上下对称，那么就把要移动的棋子去掉，也要变成上下对称的图形，然后再进一步解答即可．32．【答案】见试题解答内容【分析】先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分．【解答】解：方法1：先计算四个长条形面积之和，再减去重叠部分．S阴影＝3×25+1×25+2×15+3×15﹣2×l﹣2×3﹣3×1﹣3×3＝155．方法2：可将四组平行线分别移至端线处，如图所示，移动后阴影部分面积不变．长方形ABCD面积为：25×15＝375，中间空白的长方形面积为：（25﹣2﹣3）×（15﹣1﹣3）＝220．所以S阴影＝375﹣220＝155．答：阴影部分的面积是155．【分析】此题主要考查的是长方形的面积公式和平行四边形的面积公式的使用．33．【答案】见试题解答内容【分析】根据图中所给数据，可以进行假设此长方形的长为16x，宽为4y，则可以分别表示出各个正方形的边长，而通过正方形B的边长的两种表示方法得出x与y的关系，根据长方形面积的取值范围得出x的值，从而此题得解．【解答】解：设：长方形的长为16x，长方形的宽为4y，正方形C的边长为7x，正方形B的边长为9x，正方形A的边长为y，则B的边长为3y，有3y＝9xy＝3x所以：Sabcd＝16x×4y＝16×x×4×3x＝192x2因为192b2大于200小于800所以x2＝4x＝2所以Sabcd＝192×4＝768cm2SC＝（7×2）2＝196cm2SB＝（9×2）2＝324cm2SA＝（6）2＝36cm2所以S阴＝768﹣196﹣324﹣36＝212cm2．答：阴影部分面积为212cm2．【分析】此题的关键是能够根据题中数据的特点，选择适当的未知数进行表示各个边长，利用边长间的关系和整个图形的面积进行求解．34．【答案】见试题解答内容【分析】根据图示，可得这个图形的周长是小正方形边长的34倍，用102除以34，求出小正方形的边长；然后根据正方形的边长公式，求出每个小正方形的面积，再乘以16，求出组合图形的面积是多少平方厘米即可．【解答】解：根据图示，可得这个图形的周长是小正方形边长的34倍，小正方形的边长：102÷34＝3（厘米），3×3×16＝144（平方厘米）．答：它的面积是144平方厘米．【分析】此题主要考查了组合图形的面积，解答此题的关键是首先判断出这个图形的周长是小正方形边长的34倍，进而求出小正方形的边长．35．【答案】见试题解答内容【分析】通过画图分析，结合题意，得出立体图形有8个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积＝棱长3，三棱锥的体积=13sh，三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，设正方体棱长为【解答】解：三角形和六边形中间的多面体的体积是：12a3−13×=1=1正方体的体积为a3．所以三角形和六边形中间的多面体占整个正方体的13【分析】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可．36．【答案】24立方厘米、0.024升。【分析】根据题意知道酒精的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知酒精的体积是是酒精瓶容积的66+2【解答】解：32×624毫升＝24立方厘米24毫升＝0.024升答：瓶内酒精的体积是24立方厘米；合0.024升。【分析】本题考查了等积变形问题，关键是理解瓶内空余部分的体积就等于高度是2厘米的圆柱的体积。37．【答案】见试题解答内容【分析】根据图示，用正12边形的面积减去12个边长为1的正三角形的面积，即可求出空白部分面积等于多少平方厘米．【解答】解：12个边长是1的正三角形的面积和为：12×34×1把正12边形每条边两个端点连接中心，所得的角为：360÷12＝30°，则正12边形可以分成12个底边为1，两腰夹角为30°的等腰三角形，设每个等腰三角形的腰为x厘米，可得：1＝x2+x2﹣2x•x•cos30°，解得x2＝2+3则12个等腰三角形面积＝12×(1所以空白部分面积＝6+33答：空白部分面积等于6平方厘米．【分析】此题主要考查了组合图形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握三角形的面积公式．38．【答案】见试题解答内容【分析】都是相互滴一滴，所以变化后两瓶墨水的体积都没变，即红墨水中进来多少蓝墨水，必然有相同体积的红墨水进入蓝黑水，据此解答即可．【解答】解：变化后两瓶墨水的体积都没变，所以红墨水中进来多少蓝墨水，必然有相同体积的红墨水进入蓝黑水，即红墨水中的蓝墨水与蓝黑水中的红墨水一样多．【分析】解答本题关键是理解两瓶的体积不变，吸出和滴入的体积不变．39．【答案】见试题解答内容【分析】如图所示，将原图进行割补，则可以得出，正方形的面积就等于5个小正方形的面积和，于是阴影部分的面积就等于大正方形的面积除以5，据此即可得解．【解答】解：将原图割补为下图：2×2÷5＝0.8（平方厘米）答：阴影部分的面积是0.8平方厘米．【分析】解答此题的关键是：利用割补的方法，将原正方形割补成同样的5个小正方形，从而问题轻松得解．40．【答案】见试题解答内容【分析】图一阴影部分相当于共占了12个小正方形，三角形相当于7个小正方形的面积减去⑤⑥的空白面积，⑤的面积是4个小正方形面积的一半，⑥是一个正方形面积的一半，下面的梯形相当于4个小正方形的面积，由此进行解答即可．图二把①补到②的地方，把③移到④的地方，⑤部分的阴影可以组成一个三角形，一共可以组成14个三角形．【解答】解：图一：2×7﹣4×2÷2+4×2＝14﹣4+8＝18（平方厘米）答：阴影部分的面积是18平方厘米．图二：4×14＝56（平方厘米）答：阴影部分面积是56平方厘米．【分析】本题考查了学生图形的切割组合，把不规则的图形拼成规则的图形．41．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意知：SADE＝SAHE，可把三角形的面积分成几个图形的面积相加的形式，再根据AB+CD＝BC，可知SABGH+SCDEF＝SBCFG，再把它分成几个不同的图形面积相加的形式，再进行解答即可．【解答】解：SADE＝SAHESABI+SBCJI+SCDEJ＝SAIGH+SGIJF+SEFG3+SBCJI+SCDEJ＝SAIGH+12+SEFGSAIGH+SEFG＝SBCJI+SCDEJ﹣9①AB+CD＝BC，可知SABGH+SCDEF＝SBCFGSABI+SAIGH+SCDEJ+SEFJ＝SBCJI+SGIJF3+SAIGH+SCDEJ+SEFJ＝SBCJI+12SAIGH+SEFJ＝SBCJI﹣SCDEJ+9②由①和②知SBCJI﹣SCDEJ+9＝SBCJI+SCDEJ﹣92SCDEJ＝18SCDEJ＝9答：四边形CDEJ的面积是9．【分析】本题的关键是根据面积之间关系运用等量代换的方法进行解答．42．【答案】见试题解答内容【分析】如图，直角梯形ABCD中，AD＝1厘米，AB＝3厘米，AC＝2厘米，在CD上做中点F，AB上做三等份点E（BE＝1厘米）连接EF，则四边形ADFE与四边形BEFC形状相同，面积相等．【解答】解：如图，在CD上做中点F，AB上做三等份点E（使BE＝1厘米），连接EF，则四边形ADFE与四边形BEFC形状相同，面积相等．理由是：如图可知把四边形ADFE与四边形BEFC剪下来，这两个四边形正好能够完全重合，所以线段EF就把这个梯形分成了两个形状相同、大小相等的四边形．【分析】此题可以采用动手操作进行解答．43．【答案】见试题解答内容【分析】平行四边形是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形，面积当然相等．【解答】解：如图所示，分别连接AC、BD，且相交于点O，然后作直线PO，与平行四边形相交于E、F两点，则四边形ABFE和四边形FCDE面积相等．【分析】此题主要考查中心对称图形的性质，利用割补的方法即可解决．44．【答案】见试题解答内容【分析】如图：红三角形与相邻的空白三角形面积相等，把红三角形补到空白三角形处，用大长方形的面积减图中5处空白面积即为阴影多边形的面积；大长方形为4×5＝20个小正方形；①与②结合为4个小正方形，③为一个小正方形，④为3个小正方形，⑤为半个小正方形，据此解答即可．【解答】解：由分析得：（4×5）×2﹣（4+1+3+0.5）×2＝40﹣17＝23（平方厘米）答：阴影多边形的面积是23平方厘米．【分析】分析图形，根据图形特点进行割补，寻求问题突破点．45．【答案】见试题解答内容【分析】把正方形的边长看做单位“1”，根据一边减少了20%，另一边将增加2米，得到的长方形与原来的正方形面积相等，可知减少的面积就等于增加的面积，先求得增加的面积即2×（1﹣20%），也就是减少的面积数，再用减少的面积数除以20%就是原来正方形的边长，再用边长乘边长即得正方形的面积．【解答】解：正方形的边长：2×（1﹣20%）÷20%，＝2×0.8÷0.2，＝8（米）；正方形的面积：8×8＝64（平方米）；答：正方形的面积是64平方米．【分析】解决此题关键是把正方形的边长看做“1”，根据减少的面积就等于增加的面积，先求得正方形的边长，进而求得面积．46．【答案】见试题解答内容【分析】解析有AE＝ED可以得到S△ABE＝S△BED，S△AEF＝S△DEF，这样可以把阴影部分的面积转化成规则图形△BDF或△ABF的面积．又BD＝2DC，那么S△BDF＝2S△CDF．所以如果S△CDF是1份，那么S△BDF和S△ABF都是2份，S△ABC是5份，面积是5，得到1份的面积是1，问题得以解决．【解答】解：因为AE＝ED所以S△ABE＝S△BED，S△AEF＝S△DEF，又因为BD＝2DC，那么S△BDF＝2S△CDF，S阴影部分的面积＝S△BDF＝S△ABF，如果S△CDF是1份，那么S△BDF和S△ABF都是2份，S△ABC是5份，因为△ABC面积为5面积是5，那么阴影部分面积就是2．