2027年高考数学一轮复习(创新设计)第8节　直线与圆锥曲线

第8节直线与圆锥曲线课标要求1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离;相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ>0时，直线l与曲线C相交;Δ＝0时，直线l与曲线C相切;Δ<0时，直线l与曲线C相离.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x＝(1＋k|AB|＝1＋1k2|y1－＝1＋1k2[(y13.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，并整理分别以x2a2＋y2b2＝1，x2a2−y21.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)已知椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a>(2)过椭圆内一点的直线必与椭圆相交.()(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(5)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√解析(1)易知点P(b，0)在椭圆C的内部，因此过点P作不出椭圆的切线.(3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”时，有与渐近线平行的直线l和与双曲线相切的直线l两种情况，因此“直线l与双曲线C相切是直线l与双曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件.(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.2.(人教B选修一P178T13改编)已知M(4，2)是直线l被椭圆x2＋4y2＝36所截得的弦AB的中点，则直线l的方程为()A.x＋2y－8＝0 B.2x－y－6＝0C.2x＋y－10＝0 D.x－2y＝0答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12＋4x22＋4y22＝36，x1＋xy1＋y2＝2×2＝4，两式相减可得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，(*)把x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，y1−y2x1−x2得8＋16k＝0，解得k＝－12所以直线l的方程为y－2＝－12(x化为x＋2y－8＝0.3.(苏教选修一P100T5改编)直线y＝3(x－1)与双曲线x2－y2＝1的公共点个数是.

答案2解析由y＝3(得x2－3x＋2＝0，∵Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0，∴方程组有两个解，∴有2个公共点.4.(人教A选修一P114T2改编)经过椭圆x22＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为答案8解析在x22＋y2＝1中，a2＝2，b所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，故左焦点为F1(－1，0)，而tan60°＝3，故直线l为y＝3(x＋1)，联立x22＋y2＝1得，7x2＋12设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－127，x1x2＝4则由弦长公式得|AB|＝1＋(3)考点一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)若直线mx＋ny＝4与☉O:x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆C:x2A.0或1 B.2C.1 D.0(2)(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线x24－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为答案(1)B(2)1解析(1)由题意知4mm24＋n所以点P(m，n)在椭圆C的内部，则过点P的直线与椭圆C有两个交点，故所求交点个数是2.(2)由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±12x，直线y＝k(x－3)过定点因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±12感悟提升1.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.2.双曲线中与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点;抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.训练1(1)直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆x24＋A.(1，4] B.[1，4)C.[1，4)∪(4，＋∞) D.(4，＋∞)(2)(2026·西安调研)已知抛物线方程为y2＝4x，过点P(0，2)的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有()A.0条 B.1条C.2条 D.3条答案(1)C(2)D解析(1)由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆x24＋只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即m>0，m≠4，12m≤故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).(2)因为点P(0，2)不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意;当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件;当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，由y2＝4x，y＝kx＋2，整理得k由Δ解得k＝12综上所述，满足条件的直线有3条，故选D.考点二弦的有关问题角度1弦长问题例2(1)已知直线l:y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是()A.2 B.4C.8 D.16(2)已知斜率为2的直线经过椭圆x25＋y24＝1的右焦点F，且与椭圆相交于A，B答案(1)C(2)5解析(1)联立y消去y并整理得x2－6x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝1＋k2((2)由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1).由y＝2(x−1)，x25＋y24设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2则|AB|＝(1＋k2)[(角度2中点弦问题例3(1)(2026·肇庆模拟)已知直线l:x－y＋3＝0与双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A，A.y＝±14x B.y＝±2C.y＝±12x D.y＝±4(2)(2026·太原调研)已知直线l交抛物线C:x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则l的斜率为.

答案(1)B(2)－1解析(1)法一(根与系数关系)联立直线x－y＋3＝0与x2a2－y2b2＝1的方程，消去y得(b2－a2)x2－6a2x－9Δ＝(－6a2)2－4(b2－a2)(－9a2－a2b2)＝36a2b2(1＋b2－a2)>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则b2－a2≠0且x1＋x2＝6a得b2＝4a2(满足Δ>0)，故b＝2a，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.法二(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x12a两式相减可得(x即x1＋x由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l:x－y＋3＝0，可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.法三(结论法)由于P(1，4)为AB的中点，∴kAB＝b2a2·x∴b2＝4a2，即b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x两式相减得x12－x22＝－18(整理得y1−y因为MN的中点为(3，－2)，所以x1＋x2＝2×3＝6，所以k＝y1−y2x即直线l的斜率为－13感悟提升1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点;(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解.(3)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p，其中A(x1，y1)，B(x2，y2).训练2(1)(2026·杭州质检)已知顶点在原点，关于y轴对称的抛物线与直线x－2y＝1交于P，Q两点，若|PQ|＝15，则抛物线的方程为()A.x2＝－4y B.x2＝12yC.x2＝－4y或x2＝12y D.以上都不是(2)已知P(1，1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，经过P答案(1)C(2)x＋2y－3＝0解析(1)设抛物线的方程为x2＝2ay，则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得x2－ax＋a＝0，所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，则|x1－x2|＝(x所以|PQ|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1所以a2－4a－12＝0，解得a＝－2或a＝6，所以x2＝－4y或x2＝12y.(2)法一易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12x22由①－②得(x∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x1−x22＋y又x2－x1≠0，∴k＝y1−y经检验，k＝－12满足题意∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x即x＋2y－3＝0.法二(利用结论)k＝－b2a2·x0y0＝－∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x即x＋2y－3＝0.考点三直线与圆锥曲线的综合例4(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x2a2＋y2b(1)求C的方程;(2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为2，求|AB|.解(1)由题意得2a＝4，解得a＝2.由e＝ca＝22，得c＝2又b2＝a2－c2，所以b＝2.所以C的方程为x2(2)由题意得l的斜率存在且不为0，设l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－2，联立y＝kx−2，x24＋y22＝1，消去由Δ＝16(2k2－1)>0，得k2>12设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x设直线l与x轴交于点M，则M2kS△AOB＝12|OM||y1－y2＝122k|(kx1－2)－(kx2－2)|＝|x1－＝(＝42k2−11＋2k2所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋3感悟提升1.解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.2.涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.训练3(1)过抛物线C:y2＝8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于()A.43 B.4C.163 D.(2)(2026·安徽十校联考)已知F1，F2分别是椭圆x28＋y24＝1的左、右焦点，P，A，B为椭圆上三个不同的点，直线PA的方程为x＝2，且∠APB的平分线经过点Q(1，0)，设△AF1F2，△BF1F2的内切圆的半径分别为r1，r2答案(1)D(2)5解析(1)由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，因为过抛物线C:y2＝8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k(x－2)，与C:y2＝8x联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2>0，则x1x2＝4，因为|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，所以2|AP|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以x1即3(x1＋2)＝x2＋2，解得x2＝3x1＋4，代入x1x2＝4，可得3x12＋4x解得x1＝23或x1＝－2(舍去)，所以x2则|AB|＝x1＋x2＋4＝23＋6＋4＝32(2)由题意，不妨设P(2，2)，则A(2，－2).已知Q(1，0)，则直线PQ的方程为y＝2(x－1)，则直线x＝2关于直线PQ的对称直线PB的方程为x－22y＋2＝0，联立x消去x得5y2－42y－2＝0，所以yPyB＝－25因为yP＝2，所以yB＝－25则r1一、单选题1.直线y＝kx－k＋1与椭圆x2A.相交 B.相切C.相离 D.不确定答案A解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.2.直线l过抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p＝()A.14 B.C.1 D.2答案C解析由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点坐标为p2，±1，代入抛物线方程解得3.过双曲线x23－y26＝1的右焦点F，且倾斜角为30°的直线交双曲线于A.435 C.1635 答案C解析由双曲线的方程得F(3，0)，直线AB的方程为y＝33(x－3)，将其代入双曲线方程消去y得5x2＋6x－27＝0，解得x1＝－3，x2＝95将x1，x2代入①，得y1＝－23，y2＝－23故|AB|＝−3−＝1634.(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则A.23 B.C.－23 D.－答案C解析联立y＝x＋m，x23＋y2＝1，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2<m<2，由椭圆方程知，F1(－2，0)，F2(2，0)，△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即|−2＋m解得m＝－23或m＝－32(舍去5.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l:x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为()A.(1，－1) B.(2，0)C.12，−答案A解析∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，∴kPQ＝2y又∵P，Q关于直线l对称，∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，∴PQ中点的纵坐标为y1又∵PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为－1＋2＝1.∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).6.已知双曲线C:x29－y216＝1，过点P(3，3)作直线l，使A.1条 B.2条C.3条 D.4条答案D解析由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y＝±43x由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.7.已知倾斜角为π4的直线l与椭圆C:x24＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，OA.－1 B.－1C.－13 D.－答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则kAB＝y1−y2x1−x2＝1，x所以kOP＝y0所以kABkOP＝y1将A，B两点坐标代入椭圆方程可得x两式作差可得x1所以kABkOP＝y12−则kOP＝－14二、多选题8.已知直线l:y＝x＋m与椭圆C:x2则()A.若C与l至少有一个公共点，则m≤22B.若C与l有且仅有两个公共点，则|m|<22C.若m＝32，则C上到l的距离为5的点只有1个D.若m＝－2，则C上到l的距离为1的点只有3个答案BCD解析联立y得4x2＋6mx＋3m2－6＝0，则Δ＝12(8－m2).令Δ＝12(8－m2)≥0，则|m|≤22，A错误;令Δ＝12(8－m2)>0，则|m|<22，B正确;令l与C相切，则Δ＝12(8－m2)＝0，即m＝±22，直线y＝x＋32与直线y＝x－22的距离d＝|32−(−2如图，直线y＝x－2与直线y＝x－22和直线y＝x间的距离均为1，因此C上到l的距离为1的点只有3个，D正确.9.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与x轴交于点A，过点A作斜率为k的直线l与C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点.若直线y＝3(x－1)经过点F，则()A.p＝2B.x1x2＝1C.|k|≥1D.|FM|2＋|FN|2的取值范围是(8，＋∞)答案ABD解析因为抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，且直线y＝3(x－1)经过点F，所以F(1，0)，则p2解得p＝2，故A正确;所以抛物线方程为y2＝4x，则A(－1，0)，设过点A作斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋k，联立y2＝4xk2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，显然k≠0，Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16－16k2>0，解得－1<k<0或0<k<1，故C错误;由根与系数的关系可得x1＋x2＝－2k2−4k2，x1x2因为|FM|＝x1＋1，|FN|＝x2＋1，所以|FM|2＋|FN|2＝x12＋x22＋2(x1＋x2)＋2＝(x1＋x2)2＋2(x1＋x2＝4k令t＝4k2，则t∈(4，＋∞)，则4k24k2−2＝t(所以|FM|2＋|FN|2的取值范围是(8，＋∞)，故D正确.故选ABD.三、填空题10.(2022·全国甲卷)记双曲线C:x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C答案2((1，5]内的任意值均可)解析双曲线C的渐近线方程为y＝±bax若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c又e>1，∴e∈(1，5]，∴填写(1，5]内的任意值均可.11.已知点A，B是双曲线C:x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M答案9解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵点A，B是双曲线C上的两点，∴x122两式相减得(＝(y∵M(3，2)是线段AB的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，∴6(x∴kAB＝y112.已知抛物线C:x2＝4y的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为1，且FA·FB＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为.

答案32解析由题可知，抛物线的焦点为F(0，1)，因为直线FA的斜率为1，所以直线AP的方程为y＝x＋1，与抛物线C的方程联立，得x2－4x－4＝0，所以Δ＝(－4)2－4×(－4)>0，设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4，故|AP|＝1＋12＝2×32＝8.因为FA·FB＝0，所以FA⊥FB，所以直线FB的斜率为－1，直线BQ的方程为y＝－x＋1，与抛物线C的方程联立，得x2＋4x－4＝0.所以Δ＝42－4×(－4)>0，设B(