导数中极值求值试题及详细答案

导数中极值求值试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数f(x)=x³-3x²+4在区间(1,4)上的极小值点是________.A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.若函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为________.A.3B.-3C.2D.-23.函数f(x)=x³-3x²-9x+5的单调递增区间是________.A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)4.已知函数f(x)=x³-3x²+2x，则方程f(x)=1在区间(0,3)内有________个实根.A.0B.1C.2D.35.设函数g(x)=x³-6x²+ax+5，若g(x)在x=1处取得极大值，在x=3处取得极小值，则实数a的值为________.A.9B.3C.-9D.-36.函数h(x)=x³-3x²+2在区间[-2,4]上的最大值是________.A.8B.10C.11D.13二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分）7.下列关于函数f(x)=x³-3x的说法中，正确的有________.A.f(x)在x=-1处取得极大值B.f(x)在x=1处取得极小值C.f(x)的单调递增区间为(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.f(x)的单调递减区间为(-√3,√3)8.设函数F(x)=x³-3x²+2x，则下列说法中正确的有________.A.F(x)在x=1处取得极大值0B.F(x)在x=2处取得极小值0C.F(x)的最大值是2D.F(x)的最小值是-29.已知函数f(x)=x³-ax²+bx-a，若f(x)在x=1处取得极大值，且在x=2处取得极小值，则下列结论中正确的有________.A.a=3B.b=4C.f(x)在x=-1处取得极小值D.f(x)在x=3处取得极大值三、解答题（本大题共4小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10.(本小题满分15分)求函数f(x)=x³-6x²+9x+1的单调区间和极值。11.(本小题满分16分)已知函数g(x)=x³-3x²+2x+c。(1)求函数g(x)的单调递增区间和单调递减区间；(2)若g(x)在x=2处取得极小值-1，求函数g(x)在区间[1,4]上的最大值。12.(本小题满分17分)设函数f(x)=x³-px²+qx，其中p,q为实数。(1)若f(x)在x=1处取得极大值，在x=-1处取得极小值，求p,q的值；(2)在(1)的条件下，讨论函数f(x)的单调性，并求f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。13.(本小题满分18分)设函数h(x)=x³-3x²+2x。(1)求函数h(x)的单调区间；(2)证明：对于任意x₁,x₂∈R，且x₁≠x₂，都有|h(x₁)-h(x₂)|>|x₁-x₂|；(3)求函数H(x)=h(x)-|x-1|在区间[0,3]上的最大值和最小值。试卷答案一、选择题1.B解析：f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。考察导数符号变化：当x∈(1,2)时，f'(x)<0，函数单调递减。当x∈(2,4)时，f'(x)>0，函数单调递增。因此，x=2是f(x)在区间(1,4)上的极小值点。2.A解析：f'(x)=3x²-a。由题意，f'(1)=0，代入得3(1)²-a=0，解得a=3。3.C解析：f'(x)=3x²-6x-9=3(x²-2x-3)=3(x-3)(x+1)。令f'(x)>0，得x-3>0或x+1<0，即x>3或x<-1。故函数的单调递增区间为(-∞,-1)∪(3,+∞)。4.C解析：方程f(x)=1可化为x³-3x²+2x-1=0。令h(x)=x³-3x²+2x-1，则问题转化为求h(x)在(0,3)内的零点个数。h'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令h'(x)=0，得x=1±√(1/3)。由于1-√(1/3)∈(0,1)，1+√(1/3)∈(1,2)。考察导数符号：当x∈(0,1-√(1/3))时，h'(x)>0，h(x)单调递增。当x∈(1-√(1/3),1+√(1/3))时，h'(x)<0，h(x)单调递减。当x∈(1+√(1/3),3)时，h'(x)>0，h(x)单调递增。计算h(0)=-1，h(1-√(1/3))=(1-√(1/3))³-3(1-√(1/3))²+2(1-√(1/3))-1>0，h(1+√(1/3))=(1+√(1/3))³-3(1+√(1/3))²+2(1+√(1/3))-1<0，h(3)=0。因此，h(x)在(0,1-√(1/3))内有唯一零点，在(1-√(1/3),1+√(1/3))内有唯一零点，在(1+√(1/3),3)内有唯一零点。共有3个零点。5.A解析：g'(x)=3x²-12x+a。由题意，g'(1)=0且g'(3)=0，代入得3(1)²-12(1)+a=0和3(3)²-12(3)+a=0。解得a=9。6.D解析：h'(x)=3x²-6x+2=3(x-1)²-1。令h'(x)=0，得x=1±√(1/3)。考察导数符号：当x∈(-2,1-√(1/3))时，h'(x)>0，h(x)单调递增。当x∈(1-√(1/3),1+√(1/3))时，h'(x)<0，h(x)单调递减。当x∈(1+√(1/3),4)时，h'(x)>0，h(x)单调递增。计算端点和极值点处的函数值：h(-2)=(-2)³-3(-2)²+2(-2)=-8-12-4=-24h(1-√(1/3))=(1-√(1/3))³-3(1-√(1/3))²+2(1-√(1/3))=2(1-√(1/3))>0h(1+√(1/3))=(1+√(1/3))³-3(1+√(1/3))²+2(1+√(1/3))=-2(1+√(1/3))<0h(4)=4³-3(4)²+2(4)=64-48+8=24比较这些值，h(x)在区间[-2,4]上的最大值是24。7.A,B,C,D解析：f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1或x=1。考察导数符号：当x∈(-∞,-1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。当x∈(-1,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减。当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。因此，f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=(-1)³-3(-1)=2；在x=1处取得极小值f(1)=1³-3(1)=-2。单调递增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)。所以A,B,C,D均正确。8.A,B,C,D解析：F'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x+2/3)=3[(x-1)²-1/3]=3(x-1-√(1/3))(x-1+√(1/3))。令F'(x)=0，得x=1±√(1/3)。考察导数符号：当x∈(-∞,1-√(1/3))时，F'(x)>0，F(x)单调递增。当x∈(1-√(1/3),1+√(1/3))时，F'(x)<0，F(x)单调递减。当x∈(1+√(1/3),+∞)时，F'(x)>0，F(x)单调递增。因此，F(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值F(1-√(1/3))=(1-√(1/3))³-3(1-√(1/3))²+2(1-√(1/3))=4(1-√(1/3))，在x=1+√(1/3)处取得极小值F(1+√(1/3))=4(1+√(1/3))。计算F(1)=1³-3(1)²+2(1)=0。因此，F(x)在x=1处取得极大值0，F(x)在x=2处取得极小值0。最大值是F(1-√(1/3))=4(1-√(1/3))>0，最小值是F(1+√(1/3))=4(1+√(1/3))>0。所以A,B,C,D均正确。9.A,B,C,D解析：F'(x)=3x²-2ax+b。由题意，F'(1)=0且F'(2)=0，代入得3(1)²-2a(1)+b=0和3(2)²-2a(2)+b=0。解得a=3，b=6-2a=6-6=0。因此F(x)=x³-3x²-6x-a=x³-3x²-6x-3。此时F'(x)=3x²-6x-6=3(x²-2x-2)=3(x-1-√3)(x-1+√3)。令F'(x)=0，得x=1-√3或x=1+√3。考察导数符号：当x∈(-∞,1-√3)时，F'(x)>0，F(x)单调递增。当x∈(1-√3,1+√3)时，F'(x)<0，F(x)单调递减。当x∈(1+√3,+∞)时，F'(x)>0，F(x)单调递增。因此，F(x)在x=1-√3处取得极大值，在x=1+√3处取得极小值。由于-1<1-√3<1+√3，考察F(x)在x=-1处的值：F(-1)=(-1)³-3(-1)²-6(-1)-3=-1-3+6-3=-1。又F'(x)在x=-1处的符号为F'(-1)=3(-1)²-6(-1)-6=3+6-6=3>0，说明F(x)在x=-1处单调递增，且F(-1)<F(1-√3)，所以F(x)在x=-1处取得极小